速度势函数和流函数

无旋运动与势函数,1,1、势函数存在的条件无旋运动：按照矢量运算，任何一个函数的梯度再取旋度必恒等于零，负号表示流动和梯度方向相反。（梯度方向：低值向高值）,梯度：,标量场的【梯度】()是一个矢量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。上面两个图中，标量场是黑白的，黑色表示大的数值，而其相应的梯度用蓝色箭头表示。,2,势函数,无旋运动时，其速度矢是可以由函数的梯度来表示的，这个函数就称为速度矢的【（位）势函数】。可见，用一个标量函数就把三维的速度矢都表示出来了，减少了未知量。,3,等(位)势面：,取t为一固定时刻，若有此时的几何图像是一个空间曲面，称为等势函数面【等位势面】。当取大小不同的常数值时，上式就是等势面族。可知：（1）速度矢与等势面垂直。（2）流动（或说速度矢）是从高位势流向低位势。（3）等位势面彼此紧密的地方，速度值大；等位势面彼此疏松的地方，速度值小。,4,散度：势函数与速度分量：称为三维拉普拉斯算符，则：是一个二阶偏微分方程泊松方程（Poisson），由此可得到【势函数】与【速度矢】之间的互求关系。,势函数与散度：,5,流函数与平面运动：,【平面运动】需要满足下列两个条件：在所有平行于某个A面的平面上，流体质点的运动都是在该平面上进行的。在A面的垂线上，各物理量都相等。若取A面为XOY平面，z轴垂直向上，以上两个条件就是：平面运动比一般的空间运动简单，具体说来速度只有二个方向的分量u,v，所有物理量只是x,y的函数。,6,在大气中，常用XOY平面运动作为大气运动的一种近似模型，前提条件是：研究的问题中XY方向的尺度Z方向的尺度，Z方向的速度分量及物理量沿Z方向的变化比起其它方向小的多，可以近似认为Z方向的速度分量为零，其它物理量沿Z方向的变化也为零。,7,流函数：,我们对流函数的讨论是建立在二维运动XOY，且运动无辐散。即：由无辐散条件，可以找到一个函数与速度矢对应，我们把这个函数写成，的全微分为：,8,流函数：,（1.77）中为二维矢量微商符上面的就是流函数，（1.77）就是流函数与速度矢的关系。,9,流函数与流线的关系,根据流线方程的求法，（*）的流线方程为：（1.75）可积的充要条件是无辐散，与（1.76）对比，发现是一样的。对（1.76）积分，得：上式时间取定，常数也取定时，就代表了某时刻的某一条流线，或等流函数线，此曲线上的切线处处跟流速矢方向一致。,10,注意：,流函数引入的条件是流体运动为二维，而流体是不可压缩的，不论流体是有旋还是无旋，流函数都存在。如将流函数应用到一般的三维流体运动则会引起相当大的解析困难。）引入流函数的优点：可以减少表征流体运动的变量。2个变1个。流函数还可以用来表示流体体积通量。,11,流函数与体积通量：,图中自南向北的4条线是流线（等流函数线），任取AB曲线，在该线上任一点的速度矢是，法向单位矢是，曲线单位矢是上式表明，两点的流函数值之差等于过这两点的任何曲线的流体的体积通量（体积流量）值，跟曲线的形状、长短无关。,12,流函数与涡度的关系,即流函数的二维拉普拉斯运算等于流体涡度的垂直分量,13,一般的二维流动,（1）速度矢的分解一般的二维流体运动，不一定无旋或无辐散，而是既有旋又有辐散，此时我们可以把一般的二维流体运动的速度矢分成两部分，一部分是有旋无辐散，另一部分是无旋有辐散，即有：,14,速度矢的分解,称为无辐散涡旋流(流函数对应)称为无旋辐散流(势函数对应),15,速度矢的分解,已知速度矢，如何得到速度的分解：1）根据速度求出涡度和散度，即：2）我们在前面已经给出了【势函数与散度】的关系，【流函数与涡度】的关系，如下：这是两个泊松方程，连立求解就得到势函数和流函数,16,3）根据辐散流和势函数的关系，涡旋流和流函数的关系，得到两个风速分量，即：,17,拉普拉斯流动,满足以下条件的为【拉普拉斯流动】：两维平面运动（u,v不为零，w=0）理想流体（不考虑粘性，0=）无辐散流（D=0）；无旋流,18,拉普拉斯流的特点：,特点一