机器人-工业机器人技术与应用——齐次变换

工业机器人技术与应用齐次变换,回顾：空间任一刚体在参考坐标系下的位姿描述。,1.直观、物理意义明确。2.把刚体运动转换成矩阵的运算。,坐标系OXYZ中的点xbybzbT向另一个坐标系OXYZ变换，变换后的坐标可写成,齐次变换矩阵,所谓齐次变换，就是把被变换坐标系所描述的量变换成用参考坐标系所描述的量。,齐次变换矩阵可分解成一个平移矩阵和一个旋转矩阵之积。,受机械结构和运动副的限制，在工业机器人中，被视为刚体的连杆的运动一般包括平移运动、旋转运动和平移加旋转运动。,1.平移的齐次变换空间某一点在直角坐标系中的平移,由A(x,y,z)平移至A(x,y,z),即,a=Trans(x,y,z)a,平移算子,动坐标系在固定坐标系中的齐次变换有2种情况：定义1：如果所有的变换都是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移，则依次左乘，称为绝对变换。定义2：如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为依次右乘，称为相对变换。,算子左乘:表示点的平移是相对固定坐标系进行的坐标变换。算子右乘:表示点的平移是相对动坐标系进行的坐标变换。该公式亦适用于坐标系的平移变换、物体的平移变换,如机器人手部的平移变换。,例动坐标系A相对于固定坐标系的X0、Y0、Z0轴作(-1,2,2)平移后到A；动坐标系A相对于自身坐标系(即动系)的X、Y、Z轴分别作(-1,2,2)平移后到A。已知A,写出坐标系A、A,2旋转的齐次变换点在空间直角坐标系中的旋转如图所示。A(x,y,z)绕Z轴旋转角后至A(x,y,z),则A与A之间的关系为：,记为:a=Rot(z,)a,同理，绕x轴、Y轴旋转算子内容为：,绕Z轴旋转算子内容为：,3.一般旋转变换,所谓一般旋转变换，即其旋转轴线不与参考系任何轴线重合，而是参考系中某一矢量，这一矢量的方向用其上的单位矢量k来表示。,图中所示为点A绕任意过原点的单位矢量k旋转角的情况。kx、ky、kz分别为k矢量在固定参考坐标轴X、Y、Z上的三个分量,且。可以证明,其旋转齐次变换矩阵为：,该式为一般旋转齐次变换通式，概括了绕X、Y、Z轴进行旋转变换的情况。反之，当给出某个旋转齐次变换矩阵，则可求得k及转角。变换算子公式不仅适用于点的旋转，也适用于矢量、坐标系、物体的旋转。左乘是相对固定坐标系的变换；右乘是相对动坐标系的变换。,反之，若给出某个旋转齐次矩阵,则可根据求出其等效矢量k及等效转角,4.等效旋转轴及等效旋转角,（1）多值性：和值并不唯一，一般选取。（2）病态情况：当很小时，转轴不能确定，需要其它方法。,注意：,例题：已知转动变换矩阵,试求：等效转轴与转角。,可以证明，任何一组绕过原点的轴线的复合转动总是等效于绕某一过原点的轴线的转动R(k,).,已知坐标系中点U的位置矢量，将此点绕Z轴旋转90，再绕Y轴旋转90，如图所示，求旋转变换后所得的点W。,平移加旋转的齐次变换平移变换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中。上例中点U若还要作4i-3j+7k的平移，则只要左乘上平移变换算子即可得到最后的列阵表达式。,齐次变换矩阵的数学意义：,（1）同一点在不同坐标系B和A中的变换；（2）描述坐标系B相对于坐标系A的位置和方位；（3）点的运动算子。,为什么说任一4*4阶的齐次坐标变换矩阵T可以是一个变换，也可以表示一个坐标系？T为变换时，其中什么子矩阵表示旋转变换？什么子矩阵表示平移变换？T为坐标系时，其原点、坐标轴用什么表示？试用矩阵,加以说明，并绘图。,每次运动,T,多次运动,T1、T2、Tn,T1*T2*Tn,最终变换矩阵,多个变换矩阵相乘,通过多个连杆位姿的传递，我们可以得到机器人末端执行器的位姿，即进行机器人正运动学的讨论。,如图所示单操作手臂，并且手腕也具有一个旋转自由