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心理與教育統計學,胡志偉老師變異數分析,變異數分析,變異數分析的目的進行幾個平均數之間的比較。如果我們的資料只包含兩個實驗情境，ANOVA分析的結果其實和t檢驗（t-test）是一樣的。為何叫做變異數分析？雖然ANOVA的目的是比較（或分析）不同實驗情境的平均數（亦即，分析實驗變項對資料大小的改變），但是它是透過解析資料的變異情形來分析實驗變項的效果，所以這個程序叫做變異數分析。,變異數切分,ANOVA的核心概念是，資料的變異數可以按造造成資料變異情形的原因加以切分。SS_TotalSS_ErrorSS_Treatment,SS_Total,SStotal代表的是所有資料的總變異情形是SSwithin（或SSerror；代表的是組內資料的變異情形）和SSbetween（代表的是組間資料的變異情形；或稱為SSeffect或Sstreat）的總合。,SS_error,SSerror（或Sswithin）組內變異常被稱為誤差變異（errorvariance）或誤差項（errorterm）；這個變異的來源無法用實驗操弄來解釋。最可能造成這個變異的原因是受試者之間具有個別差異，所以不同的受試者在實驗中會有不同的表現；亦即，造成資料的變異。,SS_Effect,SSeffect（SSbetween或SStreat）組間變異的形成可以用實驗操弄來解釋。如果實驗的獨變項是有效的，則不同組的受試者應該會在實驗中有不同的表現。也就是說，實驗的效果會展現在幾個實驗情境的平均數上；不同實驗情境的平均數不同。不同實驗情境之平均數的變異情形會在資料的變異數分析上顯現出來，成為SSeffect；所以我們可以將這個變異成分稱為效果變異。,從資料結構看ANOVA,設Xji為實驗資料中的一個數據；它是屬於第J個實驗組中的第I個資料。理論上，經過實驗後，觀察到的Xji可被分為幾個成分。Xji=j+eji代表母群平均數j代表第J實驗組的資料的實驗效果eji代表實驗誤差,從資料結構看ANOVA,當我們利用實驗資料進行計算時，我們會用樣本數來估計母群參數，所以公式（Xji=j+eji）就變為以下的形式：Xji=M.(Mj.-M.)+(Xji-Mj.)M.：資料的總平均數Mj.：第J實驗組之資料的平均數,SS_Total計算公式,Xji-M.=(Mj.-M.)+(Xji-Mj.)(Xji-M.)2=(Mj.-M.)+(Xji-Mj.)2=(Mj.-M.)2+(Xji-Mj.)2+2(Mj.-M.)(Xji-Mj.)ji(Xji-M.)2=nj(Mj.-M.)2+ji(Xji-Mj.)2亦即：SStotal=SStreat+SSerror,顯著檢驗,進行統計顯著考驗時，我們首先要知道待檢驗之統計數的樣本分配（samplingdistribution），然後再假設虛無假設為真的情況下，計算獲得帶檢驗之統計數的機率。在ANOVA裡，待檢驗的統計數是效果變異和誤差變異的比值；而兩個變異數比值所形成的樣本分配為F分配，所以我們可以用F分配來進行ANOVA的顯著性檢驗。,實驗設計,簡單的說，所謂的實驗就是，從母群中取得一個樣本，然後從樣本中收集資料的程序；而在一個實驗中，研究者採用之收集資料的程序便是所謂的實驗設計。這是一份討論統計的材料，所以除了最必要的實驗設計知識外，本文討論的是實驗資料的分析；有關實驗設計的部分，各位應該可以在實驗心理學或心理學研究方法這類的課程中取得。,實驗的變項,設計實驗時，一個研究者通常會做所謂的實驗操弄（treatments）；他會操弄實驗的獨變項以便造成不同的實驗情境（conditions）。參與實驗的個體（experimentalunit，心理學理我們通常將實驗個體稱為受試者，subjects，或參與者，participants）會被分派到這些實驗情境中。根據不同的實驗設計模式，受試者可能只會接受一種實驗處理（亦即，獨變項），也可能會接受兩個貨兩個以上的實驗處理。處理完畢後。研究者會從受試者身上取得一些能夠反應出實驗操弄效果的反應（亦即，依變項）。,資料分析,當資料收集完畢後，這位研究者會利用他所收集到的樣本資料推論不同實驗情境所代表之母群的參數；而一般研究者最常用來分析這類資料的方法就是ANOVA。根據前一節的說明，我們需要計算SStotal、SSeffect和SSerror，才能瞭解實驗操弄有沒有效果。SStotal：將所有資料視為一個整體，然後計算這些資料的變異情形。SSerror：將屬於同一實驗情境的資料視為一個整體，然後計算一個實驗情境的變異情形，最後再將所有實驗情境的變異情形加起來。SSeffect（SumoftheSquaresforEffects）：它是各組平均數和總平均數之差的平方合。,MS和顯著性,變異數分析是藉著變異數的比較，推論各組資料的平均數的差異；所以我們比需將各個計算出來的平方合（SS）轉換成變異數的形式。亦即，我們會將各個平方合除以它們的自由度，這樣便可以得到所謂的meansquares(MS；也就是變異數）。要檢驗實驗效果（effect）是否顯著，就必須評估MStreat的顯著性。比較的方法是找出MStreat和MSerror之比值的樣本分配，並設立拒絕區間，然後計算實驗所發現的MStreat和MSerror之比值落於這個拒絕區間中。,ANOVATable,完全隨機設計,單變項的完全隨機設計（completelyrandomizeddesign）是一種最簡單，或許也是使用最普遍的實驗設計方法；這種設計含有一個獨變項，而變項中包含K個程度；亦即，含有k個實驗情境。這種設計的特色是，實驗中的每個實驗情境都是由一群不同的受試者組成。這些受試者都是從母群中隨機選取出來的，所以他們之間是相互獨立的；亦即，一位受試者的實驗表現不會影響另一位受試者的表現。,完全隨機設計,實驗完畢，收集了所有的資料後，便開始資料分析的工作。ANOVA的目的是推論所有實驗情境所屬之母群的平均數是否相同，所以分析的虛無假設如下：H0：1=2=.=kH1：至少有兩個母群的平均數不同。,ANOVA的假設,資料應符合等距資料的要求（intervalscale）各組資料均從其所屬母群中隨機選取的獨立樣本（independentandrandomsamples）資料所屬之母群為常態分配（normaldistribution）各樣本所屬母群的變異情形相等（homogeneityofvariance）。,ANOVA的假設,對ANOVA的研究顯示，它是一種頗堅強（robust）的統計分析方法；亦即，當資料違反其假設時，對ANOVA造成的影響並不大。一般來說，當資料分配對稱，各組的資料數相等資料的最大與最小變異數相差在四倍以內時這些資料便可以用ANOVA來分析，而不會產生太大的推論誤差。問題是，當（1）各組的資料數不相等，且（2）資料違反變異相等假設時，這些資料遍布應該用ANOVA來分析；因為在這種情況下，統計分析實際犯的第一類錯誤（TypeIerror）可能比分析時設的值要高許多。,資料是否符合常態分配,我們可以利用數種統計程序來檢查資料是否符合常態分配；例如Shapiro-WilksWtest和Kolmogorov-SmirnovDtest（又稱做K-SLillieforstest）。如果我們只需要知道資料的對稱性，則我們可以藉著以下的描述統計方法粗略的看看資料是否對稱。1.Q3Median=MedianQ12.Q1Xsmallest=XlargestQ33.Mean=Median=Mode,檢驗變異數相等假設,至於變異數相等假設方