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文档简介

第四章向量空间,4.1向量空间,4.2向量内积,4.3正交矩阵,的标准正交基两组标准正交基间的过渡矩阵正交矩阵及其性质求标准正交基的方法,【注】1标准正交基不唯一；,2特点:设是的一组标准正交基,则,例如,设,一、的标准正交基,二、两组标准正交基间的过渡矩阵,证明：因为=Q,则T=QTT,所以,T=QTTQ,所以T=E,T=E,故,(2)Q为正交矩阵,则也是正交矩阵;,(3)若P,Q都是n阶正交矩阵,则PQ也是n阶正交矩阵;,定义2实数域R上的n阶矩阵Q满足,称Q为正交矩阵.,则,(4)Q为正交矩阵,则,三、正交矩阵及其性质,1若和均是的标准正交基,则过渡矩阵Q是正交矩阵.,2若是标准正交基,Q是正交矩阵,则是标准正交基.,3若是标准正交基,Q是正交矩阵,则是标准正交基.,小结：设,例1设是的一组标准正交基,证明,是一组标准正交基.,证明：设,则,且,即Q为正交矩阵,所以,是一组标准正交基.,答：(4)不正确。,【注】设,为n维向量,在n阶正交矩阵A的作用下|A|=|,且T=(A)T(A).,向量在正交矩阵A作用下变为A称为正交变换.,四、求标准正交基的方法,1施密特正交化方法,令,即,则是与等价且两两正交的向量组.,2在一组基的基础上，求标准正交基的步骤：,1用施密特正交化方法,将其化为正交向量组;,2将正交向量组中每个向量单位化(也称标准化).,例4已知是的一组基，将其化为标准正交基.,解答见书上187页例4。,作业:P16214
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