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文档简介

.,1,注:(1)两个复数相等，是指二者实部、虚部分别相同；(2)两个复数之间无法比较大小，除非都是实数.,1.1复数,1、复数的概念,其中,实部,虚部,共轭,其中x,y为实数.,一、复数及其四则运算,.,2,例1,解,令,实数m取何值时，复数,是（1）实数；（2）纯虚数.,(1)如果复数是实数，则y=0,.,3,加、减：,乘法：,注:,2、复数的四则运算,除法：,.,4,容易证明:复数的运算满足分配律、交换律、结合律.,另外，还经常用到以下性质：,以上各式证明略.,.,5,例1设,证,例2,.,6,例3,解,.,7,.,8,有序实数对(x,y),平面上一点P,实轴、虚轴、复平面,Z平面、w平面,1.复平面,二、复数的几种常见表示法,代数表示,复数,.,9,2.复数的向量表示,模：,辐角：,几何表示,.,10,显然,为整数.,.,11,.,12,根据,上式称为复数的三角表示.,可以得到,例2求的三角表达式.,例1.,3.复数的三角表示,.,13,4、复数的指数表示,由欧拉公式,可以得到复数的指数表示式:,求例2中的指数表达式.,.,14,(1)南极、北极的定义,x,y,O,N,S,z,5、复数的球面表示,.,15,x,x,O,N,S,z,P(z),z,球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.,(2)复球面的定义,用来表示复数的这个球面称为复球面.,全体复数与复球面-N成一一对应关系.,.,16,因而球面上的北极N就是复数的几何表示.,x,x,O,N,S,z,P(z),z,(3)扩充复平面的定义,我们规定:北极N与一个模为无穷大的假想的点对应,这个假想的点称为“复数无穷远点”记作.,复平面加上后称为扩充复平面，记作C,.,17,注：(1)如不声明，我们讨论的都是有限复平面。,关于的运算，规定如下：,仍然不确定。,.,18,例3.下列方程各表示什么曲线？,3）写出直线的复数形式方程.,1）,解：1)的关键是知道复数模的几何意义，,所以：1）表示圆周.,2）,(2)复数的各种表达式可以互相转换，在讨论具体问题时应灵活选用.,.,19,2）化为实方程，为此代入,，得,化简，得,，表示一条直线.,3）由,得,代入直线方程,因而直线的方程为,，其中为实数.,.,20,例4,解,(三角式),(指数式),把复数,化为三角表示式与指数表示式，并求z的辐角主值.,.,21,例5,证,.,22,两边同时平方,.,23,小结,学习的主要内容有复数的四则运算、共轭运算和模、辐角;复数的各种表示法.并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面.,注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应,所谓无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为一谈,.,24,作业：P251.1.1(b
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