高三数学数列解题方法集锦

高三复习-数列解题方法集锦数列是高中数学的重要内容之一，也是高考的重点。 而且，因为多以解题的形式出现，复习的时候应该重视。 近年来高考数列问题不仅考察了数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，还有效地考察了学生的各种能力。一、数列基础知识1 .数列an的通项an与前n项的和Sn的关系这包括两个问题，已知Sn要求an和已知an要求Sn1.1已知的Sn要求an对于这样问题，能够使用an=.众所周知，1.2an要求Sn这样的问题实际上是数列的总和问题。 数列加法一般有反转相加、反转相位减法、通项分解法3种方法。2 .递归数列：要解决这样的问题，一般需要关于两种特殊的数列，转化为等差数列和等比数列的关系问题来解决。例1知道数列an的前n项和Sn=n2-2n 3，求出数列an的通项an，判断数列an是否为等差数列。解：由于Sn=n2-2n 3，因此Sn-1=(n-1)2-2(n-1) 3=n2-4n 62式的减法运算是an=2n-3(n2 )，但是在n=1的情况下，由于a1=S1=2，所以an=另外，因为a2-a1a3-a2，所以数列an不是等差数列。注意：一般来说，数列an是等差数列Sn=an2 bnSn .数列an是等比数列Sn=aqn-a .例2数列an的前n项之和Sn=，数列an为等差数列。证明： Sn=，所以二式减法，得：所以也就是说：说同样的话：即，即加上两个表达式，结果如下：所以数列an是等差数列。例3得知数列an前n项之和Sn an=2n 1，求出数列an的通项an .解： Sn an=2n 1，因此Sn 1 an 1=2(n 1) 1，通过二式减法运算因为2an 1-an=2，即2 an1- an=2，2 an1-4=an-2，所以S1 a1=3，a1=，因此，a1-2=，即，以数列an为首，是公比的等比数列an-2=()n-1=- ()n，因此an=2 - ()n。例4 (2000年全国)是an以最初的项为1的正项数列，如果设(n 1)an 12-nan2 an 1an=0、(n=1、2、3、)，则其通式为an=.分析： (1)作为填补问题，因为不需要解题顺序，所以可以采用不完全归纳法。n=1，得到：2a22 a2-1=0，解，a2=.n=2，得到：3a32 a3-=0，解，a3=.同样，a4=由此，an=。(2)由于(n1)从an12-nan2an1an=0开始，(n 1)an 1-nan(an 1 an)=0，因此，(n 1)an 1=nan，其表示数列为常数数列，因此nan=1，an=。(n 1)an 1=nan，取得：因此的双曲馀弦值。例5求以下各项之和(1)(2)1 221 322 423 n2n-1。(3)12 23 34 n(n 1)(4)解： (1)sn=，则Sn=，加上2式，则2Sn=(n 2)=(n 2)()=(n 2)2n，因此Sn=(n 2)2n-1。想一想：你怎么追求？(Sn=1 221 322 423 n2n-1时2 Sn=12 222 323 (n-1)2n-1 n2n。二式减法。 得到- Sn=1 21 22 2 n-1-n2 n=2n(1-n)-1 .Sn=2n(n-1) 1。(3) 122334n (n-1 )=(121 ) (222 ) (323 )(n2n )=(12 22 32 n2) (1 2 3 n )=的(4)222222222222222卡6532220=的二、等差数列和等比数列1 .定义：数列an为等差数列an 1-an=dan 1-an=an-an-1；数列bn是等比数列。2 .通项式和前n项和式：数列an是等差数列，通项式an=a1 (n-1)d，前n项和Sn=。数列an为等比数列，公式an=a1qn-1，第一个n项和Sn=3 .性质：等差数列当m n=p q时am an=ap aq每个连续m项的和构成等差数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m构成等差数列等比数列当m n=p q时aman=apaq每个连续m项的和构成等比数列，即由Sm、S2m-Sm、S3m-S2m构成等比数列(4)函数的思想：等差数列可以看作一次函数型的函数，等比数列可以看作指数函数型的函数。 利用函数的思想观点方法，可以分析和解决有关数列的问题。例如将6sn作为等差数列an的前n项之和，将S3和S4的等比中间项作为S5，将S3和S4的等差中间项作为1，可知求出等差数列an的通项。 (1997年高考试题)解：设等差数列的公差为d也就是说解：所以。评价：当未知数等于方程的个数时，用求解方程的方法求出这两类特殊数列的第一项和公差及公比，解决其他问题。例7设等比数列an的上位n项之和为Sn，S3 S6=2S9时，求出数列an的公比q (1996年的大学入学问题)。解：如果q=1，则S3=3a1、S6=6a1、S9=9a1、已知S3 S6=2S9、获得： 3a1 6a1=18a1、解： a1=0，这是与数列an等比数列的矛盾，因此q1 .已知的S3 S6=2S9，获取：整理：的双曲馀弦值。例8在等差数列an中，得知a7=8，求出S13 .分析：在这个问题中，有两个未知数：第一项a1和公差d，但由于只有一个方程式，所以不能像例6那样通过求解方程式来解决问题，必须利用这两种数列的性质，或者利用整体思想来解决问题。解：因为a7=8，所以a1 a13=2a7=16，所以S13=例9等差数列an中，已知a10、Sn是其上位n项之和.以已知S3=S11，求出Sn的最大值.分析：与例8相同，未知数的个数比方程式的个数多，因此必须考虑等差数列的性质。解：由于已知： S3=S11，因此S3=S11，因此a4a5a 6a 10 a1=0. a4a1=a5a 10=a6=a7a 8，因此a7 a8=0。所以a70、a80所以S7最大。(1)本问题利用函数的思想，也可以将Sn表现为某个变量的函数(例如n )，求出该函数的最大值。(2)本问题也可以利用方程式和不等式的思想来求解，即Sn最大只需求an0和an 10，只需求解该不等式组即可。三、数列综合问题对于综合问题，要注意函数、方程、不等式等与其他数学知识的关联，也要注意数学思想方法的应用，如归纳法、类比、叠加等。例10等差数列an的前n项之和为Sn，设bn=、且b4=、S6-S3=15，可知求数列bn的通项式和的值。分析：需求bn求Sn，因为Sn是数列an的前n项之和，所以应该先求an。 由于数列an是等差数列，因此只要能够找到与a1和d相关的两个方程式即可。解：设数列的第一个项目为a1，公差为d .的双曲馀弦值。因为an=n，所以Sn=，bn=。=2示例f(x)=a1x a2x2 a3x3 anxn和a1、a2、a3、an构成等差数列，其中n为正偶数，并且f(1)=n2，f(-1)=n；(1)求出数列an的通项an比较(f(0.5)和3的大小，说明理由。分析：很明显，只要能够将f(1)=n2、f(-1)=n转换成与最初和公差相关的两个方程式即可。解： (1)如果将数列公差设为d，则由于f(1)=a1 a2 a3 an=n2，因此na1 d=n2、即2a1 (n-1)d=2n .另外，f(-1)=-a1 a2-a3 -an-1 an=n、即=n、d=2.解a1=1.an=1 2(n-1)=2n-1 .(2)f(0.5)=，将其两侧相乘2式减法如下所示=。2220例12 (2001年春季)在1与2之间插入正数a1、a2、a3、an，使这n 2个正数成为等比数列，另外，在1与2之间插入正数b1、b2、b3、bn，使这n 2个正数成为等差数列。 记为An=a1a2a3an、Bn=b1 b2 b3 bn。(1)求出数列An和Bn的通项(2)n7时，比较An和Bn的大小，证明你的结论。分析：本问题的关键在于求出An和Bn，如果能够注意到1、a1、a2、a3、An、2成的等比数列、1、b1、b2、b3、Bn、2成的等差数列，则容易考虑利用这2种数列的性质。解： (1)由于是1，a1，a2，a3，an，二成等比数列，所以a1An=a2an-1=a3an-2=12，由于an2=(a1a2a 3an ) (a2a 3an )=(a1an ) (a2an-1 ) (a3an-2 )(ana1)=2n，所以an=因为1、