关于行列式的一般定义和计算方法

行列式的一般定义和计算方法n阶行列式的定义n=阶的行列式(1)2 N阶的行列式是N！术语的代数和；3.n阶行列式的每个项都是不同行和列中n个元素的乘积。功能：(1)(项目数)是3！术语的代数和；(2)(项目的构成)展开式中的每个项目都是从行列式的不同行和列中选取的三个元素的乘积。它的一般项目是：(3)(符号定律)三个正项的列标签的排列是123，231，312。他们都被安排好了；三个负项的列是321，213，132，他们都是奇数排列。行列式的性质性质1:行列式及其转置行列式具有相同的值。即=；行列式满足行的性质也满足列的性质。属性2交换两行(列)行列式，行列式的值改变符号。例如， D=ad-bc，=bc-ad=-D在表r的第一行，表c的第j列。交换I，j两行表示为r，交换I，j两列表示为CC。属性3:如果一个行列式的两行(或两列)完全相同，那么行列式的值等于零。性质4:行列式的行(或列)的所有元素乘以常数K的结果等于行列式乘以常数K(第一行乘以K，记为R)推论1:一个行列式的一行(或一列)中所有元素的公因式可以在行列式的符号前面提到。推论2:如果一个行列式的一行(或一列)中的所有元素都是零，那么行列式的值等于零。推论3:如果一个行列式的两行(或两列)的相应元素是成比例的，那么行列式的值等于零。性质5:如果行列式D的一行(或一列)中的所有元素都可以表示为两个项的和，那么行列式D等于两个行列式D1和D2的和。=属性6:将行列式的一行(或一列)的元素乘以相同的数，并将其与另一行(或另一列)的相应元素相加，而不改变行列式的值。推论如果一个行列式的行(列)的每个元素都是M个数(m2)的和，那么行列式等于M个行列式的和。一个n阶行列式，如果它的元素满足：证明：当n是奇数时，这个行列式为零。每一行(或每一列)提出一个(-1)，并将其转换为D=(-1)nD性质7行列式的一行(列)的每个元素与另一行(列)的相应元素的代数余因子的乘积之和等于零。按行：按列：将性质7和拉普拉斯定理结合成以下结论：(1)和(2)行列式的计算1.通过行列式定义直接计算例1行列式的计算解决方案Dn中不为零的项以一般形式表示为。倒序数t (n-1 n-2.1n)等于，因此2.利用行列式的性质计算例2n阶行列式的元素满足Dn称为反对称行列式，证明奇数阶反对称行列式为零。证据：从知识来看，就是因此，行列式Dn可以表示为由行列式的性质当n为奇数时，dn=-dn，因此Dn=0。3.转化为三角行列式如果一个行列式可以适当地转换成三角形，结果就是行列式主对角线上元素的乘积。因此，三角剖分是行列式计算的一种重要方法。例3N阶行列式的计算解答：这个行列式的特点是每行(列)的元素之和相等。根据行列式的性质，增加第2、3栏，n到第1列，行列式不变，因此得到4.降阶方法降阶法是将行列式按某一行(或列)展开，从而降低一阶，更一般地说，是利用拉普拉斯定理，从而降低多阶。为了使运算更简单，通常要简化列公式的性质，使更多的零出现在行列式中，然后展开。例4N阶行列式的计算决定将Dn扩展到第1行。5.反公式法反演公式法：找出Dn与Dn-1或Dn与Dn-1、dn-2之间的关系，为n阶行列式Dn。称为反演公式(其中dn、dn-1、dn-2等。具有相同的结构)。那么通过递推公式找到dn的方法就叫做递推公式法。例5证明证明：按第1列展开Dn递推公式是用这个递推公式得到的6.使用范德蒙行列式例6行列式的计算该解将第1行中的-1乘以第2行，将新的第2行中的-1乘以第3行，依此类推，直到新的第n行中的-1乘以第n行，然后得到范德蒙行列式7.边缘法(升序法)边缘法(也称为升序法)是一种在原行列式上增加一行一列，保持原行列式不变的方法。例7N阶行列式的计算解决方案：(箭头行列式)8.数学归纳例8计算N阶行列式解决方法：通过数学归纳法。当n=2时假设n=k，有然后当n=k 1时，Dk 1根据第一列进行扩展，得到因此，对于任何正整数n，都有9.拆卸方法一行(或一列)的元素以两个数之和的形式书写，然后利用行列式的性质将原始行列式以两个行列式之和的形式书写，从而简化了问题并便于计算。例9计算行列式解决方案：以上介绍了计算n阶行列式的常用方法。计算行列式时，应根据具体问题掌握行列式的特点，灵活选择方法。只有在学习中不断练习和总结，我们才能更好地掌握行列式的计算。(1)；证明。关于行列式的消去项(其中c代表列r代表行)(2)=(a-b)3；证明=(a-b)3(3)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a b c d)；证明(c2、c3、c4减去第一列的数字)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a b c d)。(4)=xn a1xn-1 an-1x an。用数学归纳法证明。当n=2时，命题成立。假设(n-1)阶行列式命题成立，即Dn-1=xn-1 a1 xn-2 an-2x an-1，然后Dn被第一列展开，有=xD n-1 an=xn a1xn-1 an-1x an。因此，n阶行列式的命题成立。6.设置n阶行列式D=det(aij)，上下旋转D，或逆时针旋转90度，或按照次对角线依次翻转，证据，D3=d。证明，因为D=det(aij)，所以。同样可以证明。7.计算下列行列式(Dk是k阶的行列式):(1)，其中对角线上的元素是A，未写入的元素是0；解决办法(按线N展开)=an-an-2=an-2(a2-1)。(2)；解决方法是将第一行乘以(-1)并分别将其与其余行相加，以获得,将每一列添加到要获取的第一列=x (n-1)a(x-a)n-1。(3)；根据问题6的结果，有这个行列式是范德蒙德行列式。示例3练习3:证明：证据：左边的从最后一行开始，从每一行减去前一行，得到：1 2 3 .n-1 n1 1 1 .1 1-n.1 1-n 1.1 1然后进行列转换，从每列中减去第一列，得到：1 1 2 .n-2 n-11 0 0 .0