课件第6章 相量法

6相量法,中南大学,姜霞,电工技术B,交流电如何描述，为什么？交流电如何计算，为什么？,引言,一、正弦量及其描述,瞬时值表达式：,i(t)=Imcos(wt+),波形：,周期T(period)和频率f(frequency):,频率f：每秒重复变化的次数。,周期T：重复变化一次所需的时间。,单位：Hz，赫(兹),单位：s，秒,正弦量为周期函数：f(t)=f(t+kT),6.1正弦量,正弦交流电路,激励和响应均为正弦量的电路（正弦稳态电路）称为正弦电路或交流电路。,（1）正弦稳态电路在电力系统和电子技术领域占有十分重要的地位。,研究正弦电路的意义：,正弦函数是周期函数，其加、减、求导、积分运算后仍是同频率的正弦函数,正弦信号容易产生、传送和使用。,优点,6.1正弦量,(2)正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号可以分解为按正弦规律变化的分量。,对正弦电路的分析研究具有重要的理论价值和实际意义。,傅里叶级数展开,6.1正弦量,幅值(amplitude)(振幅、最大值)Im,(2)角频率(angularfrequency),(3)初相位(initialphaseangle),单位：rad/s，弧度/秒,反映正弦量变化幅度的大小。,相位变化的速度，反映正弦量变化快慢。,反映正弦量的计时起点。,i(t)=Imcos(wt+),2,t,二、正弦量的三要素,初相位：正弦量在t=0时刻的相角，,单位：弧度或度(0)。,相位：正弦量在t时刻的相角，即,6.1正弦量,*电网频率（工频）：中国50Hz；美国、日本60Hz*有线通讯频率：300-5000Hz*无线通讯频率：30KHz-3104MHz,小知识：,6.1正弦量,初相位：最大值与纵轴之间的角度，与计时起点有关。,规定：|,最大值点在纵轴的左边,最大值点在纵轴的右边,同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。,提前到达最大值点,推迟到达最大值点,6.1正弦量,【例】已知正弦电流波形如图，103rad/s，（1）写出i(t)表达式；（2）求最大值发生的时间t1。,由于最大值发生在计时起点右侧,【解】（1）求i(t)表达式,（2）求最大值发生的时间t1,三、正弦量的相位差,设u(t)=Umcos(wt+yu)i(t)=Imcos(wt+yi),相位差：j=(wt+yu)-(wt+yi)=yu-yi,j0，u超前(领先)i，或i滞后(落后)u,j0，i超前(领先)u，或u滞后(落后)i,初相角之差,6.1正弦量,j=0，同相：,j=(180o)，反相：,规定：|(180),特殊相位关系：,=90,同时到最大或最小值,正交,u超前i90或i滞后u90,6.1正弦量,【例】计算下列两正弦量的相位差。,不能比较相位差,注意：两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符号，即同一形式，且在主值范围比较。,【解】,常用转换公式:,6.1正弦量,四、周期性电流、电压的有效值,周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平均效果，工程上采用有效值来表示。,1、周期电流、电压有效值(effectivevalue)定义:,物理意义,当一交流电和直流电分别通过两个相等的电阻时，若在交流电的一个周期T内，两个电阻消耗的能量相等，则称该直流电的数值为交流电的有效值。,6.1正弦量,有效值也称均方根值(root-meen-square),同样，可定义电压有效值：,6.1正弦量,2、正弦有效值与最大值的关系,设i(t)=Imcos(t+),6.1正弦量,同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：,若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；,U=380V，Um537V。,（1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。,（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一般为有效值。,（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。,注意:,6.1正弦量,时域分析过程示意图,正弦交流电路,建立电路方程(含微积分方程),得时域响应表达式,正弦函数微积分或几个同频率正弦函数相加减的结果仍是同频率正弦量。,正弦电路电压、电流都是随时间按正弦规律变化的函数。在含有电感和(或)电容的正弦电路中，电路方程是含有微积分形式的方程。因此，在时域内对正弦电路进行分析时，需要建立含微积分的电路方程，分析过程如图所示。,思考：能否用一种简单的数学变换方法以避免繁琐的三角函数及微积分运算？,6.1正弦量,五、问题的提出：,电路方程是微分方程：,两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。,正弦稳态电路特点：若所有激励为频率相同的正弦量，则线性电路响应为同频率的正弦量。,6.1正弦量,i1,i2,i1+i2i3,角频率：有效值：初相位：,因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，故只要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。可想到复数，复数也包含一个模和一个幅角，因此，可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算，使计算变得较简单。,i3,实际是变换的思想,6.1正弦量,一、复数A的表示形式,A=a+jb,几何意义：复平面上一个有向线段,几何意义：复平面上的一个点,复数的模,复数的幅角,工程上的简化形式,6.2复数,二、复数两种形式的关系：,欧拉公式：,极坐标形式直角坐标形式(直接展开),直角坐标形式极坐标形式,a1、a2分别是A在横轴和纵轴的投影。,6.2复数,【例】把下列复数化为极坐标形式,1、,注意：,1、两种形式的互换要熟练！,2、互换中要保留实部、虚部符号，注意初相角的象限！,2、,4、,3、,同理:,【解】,6.2复数,1.复数的相等,两复数相等的充要条件是：,或,2.复数的相减加,必须用直角坐标形式,平行四边形法则,三、复数的运算,6.2复数,3.复数乘除运算采用直角坐标形式,6.2复数,4.复数乘除运算采用极坐标形式,除法：模相除，角相减。,乘法：模相乘，角相加。,则:,乘除运算应尽量采用极坐标形式。,6.2复数,6.2复数,故+j,j,-1都可以看成旋转因子。,几种不同值时的旋转因子：,5.旋转因子：,复数ejq=cosq+jsinq=1q,Aejq：相当于A逆时针旋转一个角度，而模不变。故把ej称为旋转因子。,6.2复数,几种常用关系：,6.2复数,正弦量-有物理意义,设一个复函数,对A(t)取实部：,对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数,A(t)包含了正弦量三要素：I、w，复常数仅包含了I,。,A(t)还可以写成,复函数-无物理意义,一、正弦量的相量表示,6.3正弦量的相量,称为正弦量i(t)对应的相量。,同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：,两者之间为对应关系,并非相等关系。,6.3正弦量的相量,相量的几何意义：,A(t)是旋转相量,旋转相量在纵轴上的投影就是正弦函数,6.3正弦量的相量,试写出电流的瞬时值表达式。,已知：,试用相量表示i,u。,其中：,6.3正弦量的相量,二、相量图,相量图：在复平面上用有向线段表示相量的图。,同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。,余弦函数可用相量表示，同样正弦函数也可用相量表示。但必须所有的时间函数都是正弦量。,6.3正弦量的相量,画相量图的要求（注意事项）：,1.同频率的正弦量才能表示在同一个相量图中；,2.以角速度逆时针方向旋转；,3.选定一个参考相量(设初相位为零。),选R为参考相量,6.3正弦量的相量,三、相量法的应用,1.同频率正弦量的加减,故同频正弦量相加减运算变成对应相量的相加减运算。,可得其相量关系为：,6.3正弦量的相量,这实际上是一种变换思想，由时域变换到频域,时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间为自变量分析电路。,频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率为自变量分析电路。,相量法：将正弦时间函数“变换”为相量后再进行分析,属于频域分析。,时域,频域,6.3正弦量的相量,6.3正弦量的相量,同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。,6.3正弦量的相量,2.正弦量的微分，积分运算,微分运算:,积分运算:,（乘以j）,（除以j）,6.3正弦量的相量,用相量运算：,相量法的优点：,（1）把时域问题变为复数问题；,（2）把微积分方程的运算变为复数方程运算；,（3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。,6.3正弦量的相量,相量法：以相量表示正弦量对正弦稳态电路进行分析的方法。,注意：,相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。,相量法用来分析正弦稳态电路。,6.3正弦量的相量,得时域响应表达式,建立含微积分的电路方程(时域分析过程),正弦交流电路,正弦电流电路相量分析法过程示意:,6.3正弦量的相量,时域:对于任一集中参数电路，在任一时刻，流出（或流入）任一结点的电流代数和等于零。,1.KCL：,频域:以相量表示正弦量，有,一、基尔霍夫定律的相量形式,在正弦稳态电路中，对于任一结点，流出（或流入）该结点的电流相量代数和等于零。,6.4电路元件、电路定律的相量形式,对于任一集中参数电路，在任一时刻，对任一回路，按一定绕行方向，其电压降的代数和等于零。,2.KVL：,时域:,频域:,以相量表示正弦量，有,在正弦稳态电路中，对任一回路，按一定绕行方向，其电压降相量的代数和等于零。,6.4电路元件、电路定律的相量形式,二、电阻元件VCR的相量形式,6.4电路元件、电路定律的相量形式,1.时域关系形式：,时域模型,同相,瞬时功率：,3.波形图及相量图：,瞬时功率以2交变。始终大于零，表明电阻始终吸收功率,同相位,平均功率：,U、I为有效值,6.4电路元件、电路定律的相量形式,三、电容元件VCR的相量形式,6.4电路元件、电路定律的相量形式,1.时域关系形式：,2.相量关系形式：,时域模型,电容电压滞后电流900,或,瞬时功率：,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消,3.波形图及相量图：,平均功率:,无功功率:,意义:反映电容元件与电源进行能量交换的最大速率.,6.4电路元件、电路定律的相量形式,四、电感元件VCR的相量形式,6.4电路元件、电路定律的相量形式,1.时域关系形式：,2.相量关系形式：,时域模型,电感电压超前电流900,瞬时功率：,瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚好互相抵消,3.波形图及相量图：,平均功率:,无功功率:,意义:反映电感元件与电源进行能量交换的最大速率.,6.4电路元件、电路定律的相量形式,【例】试判断下列表达式的正、误：,L,6.4电路元件、电路定律的相量形式,6.4电路元件、电路定律的相量形式,五、线性受控源（同样可以用相量法来处理）,线性电阻、电感、电容的两端电压以及流过它们电流的相量形式的约束关系都跟电阻的欧姆定律相似，所以称它们为相量形式的欧姆定律。,试问该元件为什么元件（R、L、C）。,【例】一个元件电压、电流为关联参考方向，且电压和电流分别为,所以该元件为C,【例】已知正弦电路如下图所示，且电阻、电感和电容电压的有效值分别为,求端口电压u的有效值。,有效值不满足KCL和KVL!,注意：,6.4电路元