第四章 参数模型

.,第四章功率谱估计的现代方法(参数模型),.,第一节概述,信号模型,成形滤波器,一、系统描述方法,.,上述方法存在的问题：,数据量小时，谱估计方差大。因此，要求大数据量若信号是时变的，但又希望实时处理，上述方法做不到。因此，应建立输入输出间的模型。表现输入输出间的变化规律。通过模型提取特征参数，以用于模式识别，数据压缩等。方便短数据处理用模型参数估计功率谱,.,信号的现代建模方法（Modernmodelingmethodforsignal）是建立在具有最大的不确定性基础上的预测。提出了众多的数学模型(mathematicalmodels)。ARMA、AR、MA三种模型。,经典信号建模法（classicalmodelingmethodforsignal）前面已经指出，医学信号处理的目的是提取包含于随机信号中的确定性成分，以便在一定的准确性（最小二乘意义）上进行预测。这就是建立各种各样的确定性数学模型，包括代数、微分、积分、差分方程模型。这是经典的信号建模方法。,建立模型的方法,.,二、建立参数模型的基本思想,若令：,白噪声,为信号产生模型-正过程,建立信号的模型-逆过程,建模的过程就是调整使输出为白噪声，,建立后，将白噪声通过逆滤波器后，即可产生统计特性与原信号相同的信号。,互为逆滤波器,.,建模的难点,模型参数的理解（是否与系统的物理参数有对应关系）ARMA、AR、MA三种模型，实际系统究竟是哪种模型？根据Wold的证明：任何平稳的ARMA（自回归移动平均）模型或MA模型均可用无限阶或阶数足够的AR模型去近似。因此本章着重介绍AR模型的基本原理和方法。,.,第二节三种参数模型,1、MA模型随机信号由当前的激励和若干次过去的激励线性组合产生。该模型的系统函数是：表示系统阶数，系统函数只有零点，没有极点，所以该系统一定是稳定的系统，也称为全零点模型，用MA（）来表示。,.,2、AR模型,随机信号由本身的若干次过去值和当前的激励值线性组合产生：该模型的系统函数是：p是系统阶数，系统函数中只有极点，无零点，也称为全极点模型，系统由于极点的原因，要考虑到系统的稳定性，因而要注意极点的分布位置，用AR(p)来表示。,故：,可见：A(z)即为白化滤波器,.,3、ARMA模型,ARMA是AR与MA模型的结合：该模型的系统函数是：它既有零点又有极点，所以也称极零点模型，要考虑极零点的分布位置，保证系统的稳定，用ARMA(p，q)表示。如何用信号流图表示？,.,第三节模型的建立,模型参数：j=1,2,p；噪声方差,、信号的零均值处理,、模型的规范化方程,自相关函数自协方差函数,对模型两边同时乘以x(n-m)，然后求数学期望：,.,当m0时，故：,可由前p个Rx的值递推得到，且与模型系数有关,当m时，,故：,.,令m=0,1,2,3,p，则有：,称其为Y-W规范方程组。,求解思路：由x(n)估计出Rx(0),Rx(1)，Rx(p),即可求出p+1个未知数。,问题：p=?,.,【例】已知自回归信号模型AR（3）为：式中是具有方差=1的平稳白噪声，求a.自相关序列，m0，1，2，3，4，5。b.用a求出的自相关序列来估计AR（3）的参数，以及输入白噪声的方差大小。,解：a.已知的模型参数：14/24，9/24，1/24。利用Y-W方程，求得：,R（0）=4.9377R（1）4.3287R（2）4.1964R（3）3.8654,利用公式也可以求出R（4）3.6481，R（5）3.4027，当然还可以求出无穷多的自相关序列值。,.,b.把a中求得的自相关序列作为已知值，利用Y-W方程，求的估计。,14/24，9/24，1/24，1,可以发现：对AR模型参数是无失真的估计，因为已知AR模型，我们可以得到完全的输出观测值，因而求得的自相关函数没有失真，当然也就可以不失真的估计。,.,设想按如下方法计算：,(1)设p，求得,(2)根据作预测：,预测误差为：,预测误差为：,(3)检查预测误差输出是否是白噪声，若是，则阶数p确定；若不是，则p增，重复上述步骤。,缺点：计算量太大。,.,、L-D算法,矩阵x的Toplitz特性：(1)对角线元素相同(0);(2)与对角线平行的线上的元素相同;(3)为对称阵,则有：,其中：分别为的倒置向量。,对于k阶模型有：,.,对于k+1阶模型有：,.,这里，令：，,令其为0，则,由模型知：,则：k=p时，,.,.,L-D算法的步骤,令k=0，则,令k=k+1,3按式(5)有：,按式(6)有：,按式(4)、(7)有：,当达到模型阶次时，结束，否则，返回(2)。,或当达到给定阶次时，结束。,.,AR模型的稳定性及其阶次的确定,AR模型的稳定的充要条件,的极点都在单位圆内。,（1）由于矩阵Rx的Toplitz特性，决定其正定性，必满足上述条件。,（2）,.,模型阶次的确定,前述：递推结束条件：。但实际计算中，自相关函数不是精确值，而是估计出来的，随着模型阶次升高，参数增多，导致计算误差增大，该条件不可能满足。,模型阶次若选小了，真实谱峰可能丢失；若选大了，出现虚假谱峰。,常用准则：,(1)最终预测误差（FPE）准则：,AR(k)的最终预测误差（FPE）定义为：,.,(2)信息论准则从提取观测序列中的最大信息量出发，定义准则函数：当其取最小值时的k值即为最优阶次。,.,第节模型的应用,谱估计,模型,(1)谱估计曲线平滑,(2)谱分辨率高，对谱峰的跟踪性能好，但对谱谷的跟踪性能不好。,AR谱的特点:,.,.特征提取,