千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第36炼-向量的数量积——寻找合适的基底

第5章第36节寻找运动矢量的数积适当的基矢量第36运动向量的整数乘积33到354将寻找适当的基础在大学入学考试中，常常发生计算几何学图形中的两个向量的数积的问题，如果没有找到计算数积的要素(模长、角度)，则考虑用适当的两个向量(称为基底)表现两个向量来进行运算。 这也是几何图形处理矢量数乘积的重要方法一、基础知识：(1)相关的平面向量定理和数量积算法：1、平面向量的基本定理：如果向量是两个非共线向量，则对于平面上的任何一个向量，仅存在实数对。 其中是一组平面向量的基础。 (简单来说，非共线的两个向量可表示所有向量)2 .向量的数积运算。 其中是向量的角度3、确定向量角度：向量角度是指的起点重叠的角度这里：相同方向：相反方向：4、数量乘积算法：(1)交换规则：(2)系数结合律：(3)分配律：由于矢量数积中存在交换规则和分配规则，所以几个矢量数积运算的展开式和实数系数积的展开式规则相同例如5、如果是这样的话由此可知，知道基底的类型和数量积，用基底表现的话就可以计算出来(二)选择适当的基础解题程序和技术；1、如何选择“合适”的基础：主题知道两个向量模型长度，求数量乘积？ 如果有的话，那就是那个。 因此，在这种主题中，能够首先确定那些向量的数积和模型长度是已知的。 以一般的边形成的矢量为基础的图形是等边三角形、已知的两侧的直角三角形、矩形、特殊角的菱形等。2、向量的表现：求数量积的两个向量能否用你选择的基底表现，常用的方法如下(1)矢量的加减运算(2)“爪”的字型图：那么，以上的点，如果是的话，其中的知二可以求出1。 特别是如果是边的中心线3、计算数量乘积：求出的向量用基地表示后，代入求出的公式进行计算即可，但在计算过程中必须注意基底的角度二、例题精炼示例1:在图中，边缘上的点，想法：因为模型长度未知(还要求)，角度未知，所以直接求数量积很难。 可以考虑是否有适当的基础来计算。 并且，模长已知，求出数量积，条件齐全，适合作为基础。 用：答案：例2 :如图所示，如果知道里面有想法：观察条件，直接式求解是困难的。 考虑到选择两个向量表现，因为在条件中(积累了数量)，(形成了型长)，所以可以考虑作为基底使用。 只要显示下一步骤(底边比率关于“指甲”字型图)，就可以理解所以呢答案：例如3:边的长度为1的正三角形为_想法：如图所示，由于等边三角形的三边是已知的，角度是已知的，因此对于三边的矢量，两个数积都能够计算，因此考虑到用三边矢量来表现的话，表现的方法较多，例如可以看到爪的字形图(注意矢量角度)答案：小炼说：“因为这个问题是等边三角形，所以可以建立以坐标的原点、某条直线为轴、某条直线为轴的系统。” 坐标完成时，是计算完成的日子，该方法计算简单。示例4 :如图所示，在中，如果每个点都位于边缘上，并且点是中点，则的值为()A. B. C. D想法：因为在本问题中知道两个向量的角度，所以作为一个基础来考虑。 我在想用水来表示，并制作数量积就可以了解答：然后，有如下的事情从已知中得到的东西：答案： c示例5 :如果已知向量的角度为且为，则实数值为_想法：因为在问题中知道模型长度的角度，所以只要将其作为基底选择表示，并据此求出即可解答：即从式中：可以解答案：例6 :边的长度为正三角形时，的最大值为_答案：想法：给出的是等边三角形，三边形成的向量可以用两个数量积求解。 因此，通过三边向量表现，进行数量积运算，利用消元能够求出最大值解答：然后呢等号成立条件：答案：(1)本问题在最后求最高值时，可以利用平均不等式快速解决问题(2)请注意，在消除元时，消除元本身有范围时，该范围由主元承担。 例如，在本问题中，如果使用消元，则满足条件除了已知条件以外，即例7 :如图所示，为四边形且等边三角形时，构想：可根据条件分析，求出边所成向量的两个之间的数量积，其共同边为，因此作为突破口求出的数量积需要变换，可以得到，因此可以进一步求解解答：在里面在等边三角形中答案：小炼说： (1)要求时不要角度不同，要注意补充其角度(2)求也可以投影定义求解，即上面的投影例8 :如图所示，四边形满足，中点为()A. B. C. D构想：本问题抓住这个条件，寻求公式中的主要解决。 由图可知，各自为中心线，能够以条件中的向量表示，并能求出式的值解答：答案： d例9 :菱形边的长度，点分别在上面，如果是()A. B .C. D构想：由于本问题已知菱形的边和边的角度，因此求出菱形的4边的向量的2个数的乘积，因此可以将问题中给出的向量表现为菱形的边，进一步列举相关的方程式，通过解方程式求出解答：答案： d例10 :已知向量为条件：且点为内动点，_构想：因为本问题的模块长度是众所周知的，所以对变形可以得到更多的条件：同样，求出的公式中的向量都可以用表达式重新计算。解答：赋值可得：一样答案：(1)正题处理关系时，从一开始两侧同时模长平方，得到数量积的关系也是“矢量方程数量积方程”的常见变形方法(2)在处理关系时，可以通过数学键从和发现图像中的特征，估计两