高三数学-选修系列不等式选讲

选修系列第二部分 不等式选讲【高考目标导航】一、绝对值不等式1考纲点击（1）理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a+b|a|+|b|(a,bR);|a-b|a-c|+|b-c|(a,b,cR).(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+b|c;|ax+b|c;|x-a|+|x-b|c.2.热点提示（1）以选择题的形式考查绝对值不等式，同时与不等式的性质相结合；（2）以考查绝对值不等式的解法为主，兼顾考查集合的交、并、补运算。二、证明不等式的基本方法1考纲点击通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法。2热点提示（1）以一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等知识为背景考查不等式的常用证明方法；（2）与数列等知识综合考查不等式的证明方法。【考纲知识梳理】一、绝对值不等式1绝对值三角不等式定理1：如果a,b是实数，则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时，等号成立。注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当，不共线时，|+|+|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。（2）不等式|a|-|b|ab|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是ab0，左侧“=”成立的条件是ab0且|a|b|;不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab0，左侧“=”成立的条件是ab0且|a|b|。定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)时，等号成立。2绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a=0a0|x|ax|-axa|x|ax|xa 或x-a x|xR且x0R注：|x|以及|x-a|x-b|表示的几何意义（|x|表示数轴上的点x到原点的距离；| x-a |x-b|）表示数轴上的点x到点a,b的距离之和（差）（2）|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c-cax+bc;| ax+b|c ax+bc或ax+b-c.（3）|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。二、证明不等式的基本方法1比较法（1）作差比较法理论依据：aba-b0;ab a-b0.证明步骤：作差变形判断符号得出结论。注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系。（2）作商比较法理论依据： 证明步骤：作商变形判断与1的大小关系得出结论。2综合法（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式。3分析法（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法。（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止。注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚。当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程。4放缩法（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键。【要点名师透析】一、绝对值不等式（一）绝对值三角不等式性质定理的应用例“|x-a|m,且|y-a|m是“|x-y|2m”(x,y,a,mR)的（A）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件思路解析：利用绝对值三角不等式，推证与|x-y|2m的关系即得答案。解答：选A。（二）绝对值不等式的解法例解下列不等式：思路解析：（1）利用公式或平方法转化为不含绝对值的不等式。（2）利用公式法转化为不含绝对值的不等式。（3）利用绝对值的定义或去掉绝对值符号或利用数形结合思想求解。（4）不等式的左边含有绝对值符号，要同时去掉这两个绝对值符号，可以采用“零点分段法”，此题亦可利用绝对值的几何意义去解。解答：（1）方法一：原不等式等价于不等式组即解得-1x1或3x5,所以原不等式的解集为x|-1x1或3x5.（2）由不等式，可得或解得x2或x-4.原不等式的解集是x| x2.（3）原不等式或不等式不等式原不等式的解集是x|2x4或x=-3.(4)分别求|x-1|,|x+2|的零点，即1，-2。由-2,1把数轴分成三部分：x1.当x-2时，原不等式即1-x-2-x5,解得-3x-2;当-2x1时，原不等式即1-x+2+x5，因为31时，原不等式即x-1+2+x5,解得1x2.综上，原不等式的解集为x|-3x2.（三）含参数的绝对值不等式例若关于x的不等式|x+2|+|x-1|a的解集为，求实数a的取值范围。思路解析：把不等式问题转化为函数的图象，利用数形结合思想求解；也可以运用绝对值的几何意义求解。解答：令。的图象如图所示。由图可知，当a0,b0,求证：思路解析：不等式左、右两边是多项式形式，可用作差或作商比较法，也可用分析法、综合法。解答：作差法（二）利用综合法证明不等式例思路解析：以上五个不等式的左边都含有（或隐含有）或，因此只要利用得出及的范围，就能够证出以上三个不等式。解答：由（三）利用分析法证明不等式例已知a0，求证：思路解析：当从条件直接去推证不等式的方向不明确时，可考虑用分析法证明。解答：要证原不等式成立，只需证（四）利用放缩法证明不等式例设是和1中最大的一个，当时，求证：解答：【感悟高考真题】1.（2011山东高考理科4）不等式|x-5|+|x+3|10的解集是（A）-5,7 （B）-4,6（C）(-,-57，+) （D）(-，-46,+)【答案】选D.时，不等式化为，解得时，不等式化为，不等式不成立时，解得由得或另解：利用绝对值的几何意义，表示实数轴上的点到点与的距离之和，要使点到点与的距离之和等于10，只需或，于是当，或时可使成立，答案应选D.2.（2011江西高考理科15）对于实数x，y，若1, 1,则的最大值为 .【答案】答案：53（2011江西高考文科15）对于，不等式的解集为_【答案】4（2011陕西高考理科T15A）若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是 【答案】当时，；当时，；当时，；综上可得，所以只要，解得或，即实数的取值范围是5（2011陕西高考文科T15A）若不等式对任意R恒成立，则的取值范围是 【答案】当时，；当时，；当时，；综上可得，所以只要，即实数的取值范围是6.（2011福建卷理科T21）（3）(本小题满分7分)设不等式的解集为M.（I）求集合M；（II）若a，bM，试比较ab+1与a+b的大小.【答案】（I）由得，解得，所以（II）由（I）和可知所以，故.7.（2011江苏高考21D）选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）解不等式：【答案】原不等式等价于：，解集为8.（2011新课标全国高考理科24）设函数,其中.（）当时，求不等式的解集；（）若不等式的解集为 ，求a的值.【答案】（）当时，可化为.由此可得 或.故不等式的解集为或.() 由 得 此不等式化为不等式组 或即 或因为，所以不等式组的解集为由题设可得= ，故.9.（2011新课标全国高考文科24）设函数,其中.（）当时，求不等式的解集；（）若不等式的解集为 ，求a的值.【答案】（）当时，可化为.由此可得 或.故不等式的解集为或.() 由 得 此不等式化为不等式组 或即 或因为，所以不等式组的解集为由题设可得= ，故.10（2010陕西文数）15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A.（不等式选做题）不等式3的解集为.解析：11（2010福建理数）21本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲已知函数。 （）若不等式的解集为，求实数的值；（）在（）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。解答：（3）选修4-5：不等式选讲【解析】（）由得，解得，又已知不等式的解集为，所以，解得。（）当时，设，于是=，所以当时，；当时，；当时，。【考点模拟演练】一、选择题1 下列各式中，最小值等于的是（ ） A B C D 【答案】D 2 若且满足，则的最小值是（ ） A B C D 【答案】D 3 设, ，则的大小关系是（ ） A B C D 【答案】B ，即5 设，且，若，则必有（ ） A B C D 【答案】D 6 若，且, ，则与的大小关系是 A B C D 【答案】A ，即7. 若，则的最小值是（ ） A B C D 【答案】A 由得，而8. ，设，则下列判断中正确的是（ ） A B C D 【答案】B 即，得，即，得，所以9.若，则函数的最小值为（ ） A B C D 非上述情况【答案】B 10. 设，且， ， ，则它们的大小关系是（ ） A B C D 【答案】A 为平方平均数，它最大二、填空题11 若实数满足，则的最小值为 【答案】 即，12 若是正数，且满足，用表示中的最大者，则的最小值为_ 【答案】 ，即13设函数f(x)|2x1|x3，则f(2)_；若f(x)5，则x的取值范围是_答案：61,1解析：f(2)|2(2)1|(2)36，|2x1|x35，即|2x1|2x， x22x12x，解得1x1.14解关于x的不等式：|3的解集是_答案：x|x解析：方法一：|33，将之视为多个绝对值问题，将数轴按0，分成三段：或或x1或.所求不等式的解集为x|x方法二：|30，不等式两边同乘|x|，得|2x1|3|x|，两边再平方，得(2x1)20.该一元二次不等式的解集即原不等式的解集为x|x15若2x3y1，则4x29y2的最小值为_答案：解析：由柯西不等式(4x29y2)(2222)(4x6y)24，4x29y2.当且仅当，即2x3y时取等号由，得，16.于是4x29y2的最小值为.4已知实数a，b，c满足abc2，则a22b2c2的最小值为_答案：8解析：由柯西不等式，得：(a22b2c2)12()212(abc)2，abc2，(a22b2c2)(2)2，a22b2c28，当且仅当，即a2bc时，a22b2c2取最小值8.三、解答题17已知函数f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集为x|1x5，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)f(x5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围解析：解法一：(1)由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2.(2)当a2时，f(x)|x2|.设g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|，所以当x3时，g(x)5；当3x2时，g(x)5；当x2时，g(x)5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)f(x5)m即g(x)m对一切实数x恒