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文档简介

第九章内积空间和希尔伯特空间，第九. 1内积空间的基本概念，教育目标：1，掌握内积空间和希尔伯特空间的定义，可以用定义证明2 .掌握和运用施瓦兹不等式和极化等式3 .培养学生的抽象、理解、摘要、归纳能力和转移能力，教育重点：是内积空间和希尔伯特教育难点：证明了过程和运用。 在复欧几里德空间中，除了向量中长度的概念之外，将a和b的内积定义为由：表示的复共轭，用内积定义内积和向量a的长度的关系时，在已明确了两个向量a和b正交的有限维的复欧几里德空间中，(1) 中定义的内积具有以下性质：1.2.3。复欧几里德空间的欧几里德几何学中使用的内积的性质主要是以上3个，所以利用这3个性质，我们也向一般的线性空间导入了内积的概念。 定义1是复线性空间，如果对中的任意一个对应两个向量，并且满足以下条件：1.2.3 .则称为乘积的内积，称为内积空间。 如果是实际的线性空间，条件3根据内积的定义，可以立即得到下式：作为内积空间，是上面的范数。 事实上，由内积定义(2)式证明，为了证明范数不等式，施瓦兹(Schwarz )不等式：的引理1(Schwarz不等式)在内积中成为内积空间时，对于其中的任意向量，不等式成立，且仅在与线性相关的情况下不等式(4)中号成立。 如果是：那么容易理解(4)式对于所有的事情都成立。 如果每多个根据内积条件1，上式方括号中式子有时成为0， 如果两侧相乘且由开放方法证明的Schwarz不等式与线性相关联，则通过直接计算建立(4)式中信号，相反，如果(4)式中信号成立，则假定其与自然线性相关联，并且从Schwarz不等式推导过程，使得易于理解，即， 与线性相关.经证明的. Schwarz不等式表明范数不等式很快满足.(3)式定义的范数称为从内积导出的范数，因此内积空间是特殊的范数空间，如果(3)式中范数完备， 作为从内积导出的范数，通过计算，能够容易地证明对于其中的任意2个向量，平行四边形成立是向平面的平行四边形的内积空间的扩展.相反，如果是范数线性空间，则范数对中的任意向量为平行四边形的式(5) 如果满足，则内积一定能够被定义为从内积导出范数，因此式(5)是内积空间中的范数的特征性质，以下，列举内积空间的例1对中的任意向量时，内积在易知按(6)中成为内积空间，定义了从内积(6)导出的范数， 第7章第8节例4中当时定义的范数.因此，由第7章第8节的定理2可知，成为Hilbert空间.例2 .如果进行定义，则(7)内积也成为Hilbert空间.例3中，不成为内积空间.事实上，虽然是命令，但不满足平行四边形式(5)， 在这种说明中，范数不能从内积导出，因此不成为内积空间.例4中，由于不成为内积空间，因此证明不满足平行四边形式不是内积空间. 可以直接计算证明内积和范数之间成立以下不等式，(8)式被称为极化常数式，表示可以用导出内积的范数来表现。作为实内积空间，极化常数式成为Schwarz不等式，内积是2个变量的连续函数。 事实上，因为收
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