03-4 振型函数的正交性与连续系统的响应.振型叠加法.ppt

从上面的讨论中可以看出，在一些简单的情况下，模式函数是三角函数，并且它们的正交性是自然的。 与有限自由度系统一样，连续系统也具有固有振动型正交性的重要特性。 在一些复杂情况下，模式函数还包括双曲函数，并且尚未描述模式函数在其正交性和更一般的情况下的正交性。 3.5模函数的正交性仅通过波束弯曲振动的模函数来论证正交性。 用Yr(x )和Ys(x )表示与r次和s次的固有振动频率r和s对应的2个不同的下一个振动型函数，代入上式，将梁横向振动的振动型函数式作为(1)、(2)，用Ys(x )乘以式(1)，用梁全长进行积分，用Yr(x )乘以式(2)，用梁全长进行积分，作为(1)、(2)，用Yr(x )乘以式(2)。 类似地，应注意，两个所变换的方程为(3)、(4)，其中两个方程对应于向左减法运算，并且位于方程：的右手侧上，x=0和x=L的端点边界条件。 在固定端、铰链端、自由端的任意组合梁中，上式的右边等于零。 通过减去上述公式，模式函数Yr(x )和Ys(x )与质量(x )-a (x )正交是简单支撑条件下波束振动型函数的质量的正交性条件，假定Yr(x )和Ys(x )为对应于不同固有频率的模式函数(RS，RS ) (3)关于振动型函数相对于刚性EJ(x )的正交性、(4)关于固定支承端、铰链端、自由端的任意组合的梁，表示振动型函数相对于刚性EJ(x )的正交条件，因此，弯曲振动型函数相对于刚性EJ(x )的正交性实际上是振动型函数的二次导数所具有的正交性另外，设Yr(x )和Ys(x )为正规模式函数，式中的RS是克隆符号。 此外，振型函数的标准化能够考虑以下的关系，通过以上的2式将振型函数标准化。 在研究离散系统响应时，采用了模式叠加法。 另外，通过利用系统的模式矩阵进行坐标变换，能够将系统相互结合的物理坐标运动方程式变换为解结合的固有坐标运动方程式，能够针对多个单自由度系统的每个问题处理多自由度系统的响应分析问题。 3.6连续系统的响应模式叠加法、多自由度离散系统振动微分方程式：离散系统响应求解法模式叠加法、多自由度离散系统的自由振动：特征矩阵：模式方程式：固有频率方程式：n个固有频率，求出n个模式向量、模式矩阵：离散系统响应求解法3354模式叠加法、对角矩阵、 对于模式矩阵正交性：正则模式矩阵：离散系统响应求解方法模式叠加法、正则模式矩阵正交性：正则坐标变换：比例衰减，针对上述运动微分方程式完全解耦的一般衰减，假定衰减矩阵的非对角元素为0，并解耦运动微分方程式！ 经坐标变换，连续系统可以以一系列单自由度系统的形式进行处理，也可以简单得出系统对初始激励、外部激励的响应，还可以求出系统对外部激励的公共响应。 此外，将连续系统的位移表现为振动型函数的级数，通过利用振动型函数的正交性，能够将系统物理坐标的偏微分方程式转换为一系列固有坐标的二次常微分方程式组。 对于具有无限自由度的连续系统，也可以以同样的方式分析系统的响应。 以梁的屈曲振动为例，说明振动型叠加法在连续系统中的应用。 设梁的弯曲刚性为EJ(x )，单位体积质量为(x )，截面积为A(x )，分布激励载荷为f(x，t )。 梁的屈曲振动微分方程是非齐次偏微分方程，其全解包括两个部分：一部分是对应于齐次方程的通解，相当于自由振动解的另一部分是对应于不齐次项的特解，即强制振动的响应。 给出激励函数f(x，t )可获得激励的响应。导入给定的边界条件下的固有振动频率为r、对应的模式函数为Yr(x )、正规坐标qr(t )，利用模式重叠法转换梁横向振动的偏微分方程式与给