2011-2017新课标高考数学导数分类汇编(文)

2011-2017新课标(文科)导数压轴题分类汇编【2011新课标】21. 已知函数，曲线在点处的切线方程为。（1）求、的值；（2）证明：当，且时，【解析】（1）由于直线的斜率为，且过点，故 即解得，。（2）由（1）知f(x)=，所以，考虑函数，则，所以x1时h(x)0，而h(1)=0故时，h(x)0可得，时，h(x)0时，(x-k) f (x)+x+10，求k的最大值【解析】（1）的定义域为，若，则，所以在单调递增. 若，则当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增. （2）由于，所以. 故当时，等价于. 令，则. 由（1）知，函数在单调递增，而，所以，在存在唯一的零，故在存在唯一的零点. 设此零点为，则. 当时，；当时，. 所以在的最小值为. 又由，可得，所以. 由于式等价于，故整数的最大值为2【2013新课标1】20. 已知函数f(x)ex(axb)x24x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y4x4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值【解析】(1)f(x)ex(axab)2x4. 由已知得f(0)4，f(0)4.故b4，ab8. 从而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)4ex(x2)2x44(x2).令f(x)0得，xln 2或x2.从而当x(，2)(ln 2，)时，f(x)0；当x(2，ln 2)时，f(x)0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2)【2013新课标2】21已知函数f(x)x2ex.(1)求f(x)的极小值和极大值；(2)当曲线yf(x)的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围【解析】(1)f(x)的定义域为(，)， f(x)exx(x2)当x(，0)或x(2，)时，f(x)0；当x(0,2)时，f(x)0.所以f(x)在(，0)，(2，)单调递减，在(0,2)单调递增故当x0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)0；当x2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)4e2.(2)设切点为(t，f(t)，则l的方程为yf(t)(xt)f(t)所以l在x轴上的截距为m(t).由已知和得t(，0)(2，)令h(x)(x0)，则当x(0，)时，h(x)的取值范围为，)；当x(，2)时，h(x)的取值范围是(，3)所以当t(，0)(2，)时，m(t)的取值范围是(，0)，综上，l在x轴上的截距的取值范围是(，0)，【2014新课标1】21设函数，曲线处的切线斜率为0（1）求b;（2）若存在使得，求a的取值范围。【解析】（1），由题设知 ,解得b =1 （2） f (x)的定义域为(0,+),由(1)知, ，(i)若，则，故当x(1,+)时, f (x) 0 , f (x)在(1,+)上单调递增.所以,存在1, 使得 的充要条件为，即所以-1 a -1;(ii)若，则，故当x(1, )时, f (x) 0 , x()时,，f (x)在(1, )上单调递减，f (x)在单调递增.所以,存在1, 使得 的充要条件为，而，所以不符合题意.() 若，则。综上，a的取值范围为：【2014新课标2】21. 已知函数，曲线在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2.（1）求a；（2）证明：当时，曲线与直线只有一个交点。【解析】（1），曲线在点（0，2）处的切线方程为，由题设得，所以（2）由（1）知，设由题设知当时，单调递增，所以在有唯一实根。当时，令，则 在单调递减，在单调递增，所以所以在没有实根综上在R由唯一实根，即曲线与直线只有一个交点。【2015新课标1】21. 设函数。（1）讨论的导函数零点的个数；（2）证明：当时，。【解析】【2015新课标2】21. 已知.（1）讨论的单调性；（2）当有最大值,且最大值大于时,求a的取值范围.【解析】已知. （2）由（1）知，当【2016新课标1】21. 已知函数fx=x-2ex+a(x-1)2.(I)讨论f(x)的单调性；(II)若f(x)有两个零点，求的取值范围.【解析】(I)(i)设，则当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增. (ii)设，由得x=1或x=ln(-2a).若，则，所以在单调递增.若，则ln(-2a)1,故当时，；当时，所以在单调递增，在单调递减.若，则，故当时，当时，。所以在单调递增，在单调递减.(II)(i)设，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.又，取b满足b0且，则，所以有两个零点.(ii)设a=0，则所以有一个零点.(iii)设a0，若，则由(I)知，在单调递增.又当时，0，故不存在两个零点；若，则由(I)知，在单调递减，在单调递增.又当时0，故不存在两个零点.综上，a的取值范围为.【2016新课标2】20. 已知函数（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若当时，求的取值范围【解析】（1）当时，切点坐标对求导，得，从而切线斜率，所以切线方程为，即（2）对求导，得，再求导，得当时，函数在区间内单调递增，所以（）若，则当时，函数在区间内单调递增，所以（）若，则结合函数在区间内单调递增，可知方程存在唯一零点，设为，则当时，函数在区间内单调递减，所以，不成立 综上，的取值范围是【2016新课标3】21. 设函数.（1）讨论的单调性；（2）证明当时，；（3）设，证明当时，.【解析】（1）由题设，的定义域为，令，解得.当时，单调递增；当时，单调递减. （2）由（1）知，在处取得最大值，最大值为.所以当时，.故当时，即. （3）由题设，设，则，令，解得.当时，单调递增；当时，单调递减. 由（2）知，故，又，故当时，.所以当时，. 【2017新课标1】21. 已知函数=ex(exa)a2x（1）讨论的单调性；（2）若，求a的取值范围。【解析】（1）函数的定义域为，若，则，在单调递增.若，则由得.当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增.若，则由得.当时，；当时，故在单调递减，在单调递增.（2）若，则，所以.若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时，.若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时.综上，的取值范围为.【2017新课标2】21. 设函数f(x)=(1-x2)ex.（1）讨论f(x)的单调性；（2）当x0时，f(x)ax+1，求a的取值范围。【解析】（1）f（x）=（1x2）ex，xR，f（x）=（12xx2）ex，令f（x）=0可知x=1，当x1或x1+时，f（x）0，当1x1+时f（x）0，f（x）在（，1），（1+，+）上单调递减，在（1，1+）上单调递增；（2）由题可知f（x）=（1x）（1+x）ex下面对a的范围进行讨论：当a1时，设函数h（x）=（1x）ex，则h（x）=xex0（x0），因此h（x）在0，+）上单调递减，又因为h（0）=1，所以h（x）1，所以f（x）=（1x）h（x）x+1ax+1；当0a1时，设函数g（x）=exx1，则g（x）=ex10（x0），所以g（x）在0，+）上单调递增，又g（0）=101=0，所以exx+1因为当0x1时f（x）（1x）（1+x）2，所以（1x）（1+x）2ax1=x（1axx2），取x0=（0，1），则（1x0）（1+x0）2ax01=0，所以f（x0）ax0+1，矛盾；当a0时，取x0=（0，1），则f(x0)(1x0)(1+x0)2=1ax0+1，矛盾