华师大版九年级数学教案第二十三章圆新课标原创

华师大版九年级数学 第二十三章 圆23.1圆的认识 (一)巩固练习教学目的：1、 理解圆及弦、弧、优弧、劣弧、圆心角、圆周角的概念，了解弧、弦、圆心角、圆周角的关系。2、 探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。【知识重点与学习难点】1、圆的概念与日常中“圆”的概念的区别，几何中的圆是一条封闭的曲线，而日常生活中的“圆”是一个圆盘。圆概是轴对称图形又是中心对称图形。2、理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧、弓形、圆周角等与圆有关的概念。半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于900（直角）。900的圆周角所对的弦是圆的直径。在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等等与圆有关的性质。3、重点要放在图形的识别上，如从图形中能正确地识别出哪些图形是圆的弦、哪些图形是圆的弧。4、难点：圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。【方法指导与教材延伸】1、确定一个圆需要有两点，一是圆心确定位置，二是半径确定大小，若只固定圆心，半径不确定，那么将会得到一系列的同心圆；若只固定半径大小，圆心不确定，那么将会得到一系列的等圆，因而只有将圆心的位置和半径的大小都确定之后，圆才能被确定下来。2、等弧是指两条能够完全重合的弧，而不是指长度相等的两条弧，所以，等弧必须出现在同圆或等圆中，如果两个圆既不是同一个圆也不是半径相等的等圆，那么分别属于这两个圆的两条弧就一定不可能是等弧。【例题选讲】例1、填空题：如图，O中，AB、CD是两条直径，弦CEAB，的度数是40，则BOD ；分析：由CEAB可得=，又的度数是40计算得的度数是1100，即BOD=AOC=1100。例2、选择题：1.在O与O中，若AOBAOB，则有( )(A) ； (B) ； (C) ； (D) 与的大小无法比较； 分析：由于不知是同圆或是同心圆，所以无法比较，即选D。2.下列命题中，假命题是( )(A)长度相等的弧是等弧； (B)等弧必须是同圆或等圆中的弧，否则不能互相重合；(C)度数相等的弧不一定是等弧； (D)等弧的度数相等；分析：（A）答案中由于不知是同圆或是同心圆，所以是假命题。即选A。3.在同圆或等圆中，如果圆心角BOA=2COD则下列式子中能成立的是( )(A)AB2CD； (B)AB2CD (C) ； (D) 2；分析：这题很容易选A答案，这是误解，应正确画出示意图，由三角形二边之和大于第三边的性质来判断，应选正确的答案B。例3、已知：O中，弧BC所对的圆周角是BAC，圆心角是BOC， 求证：BAC= BOC.分析：本题有三种情况：（1） 圆心O在BAC的一边上 （2） 圆心O在BAC的内部（3） 圆心O在BAC的外部 如果圆心O在BAC的边AB上,只要利用三角形内角和的性质和等腰三角形的性质即可证明。 如果圆心O在BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将这个角转化为上述情况的两个角的和或差即可。证明:(1) 圆心O在BAC的一条边上 OA=OC=C=BAC =BAC=BOC.BOC=BAC+C (2)(3)略小结：我们知道有一些命题的证明是要分情况来逐一进行讨论的，大家应该明确，要不要分情况证明，主要看各种情况的证明方法是否相同，如果相同，则不需要分情况证明，如果不同，则必须分情况证明，即不能重复，也不能遗漏例4：OA、OB、OC都是O的半径，AOB=2BOC， 求证：ACB=2BAC.分析: AOB和ACB都对着弧AB, BOC和BAC都对着弧BC,因此,根据圆周角的性质可得出它们之间的关系证明： ACB=AOB BAC=BOC =ACB=2BAC AOB=2BOC 例5、如图，等腰三角形ABC中，ABAC，以AB为直径的半圆交BC于D，交AC于E，已知为40，求A与的度数；分析：等腰三角形的三线合一和直径所对的圆周角是直角的性质结合起来，可考虑添加辅助线AD。证明：连结AD直径AB=ADB=900=ADBC=A=2DACAB=AC=A=800DAC=的度数=DAC=40的度数是40ADBC =BAD=DACAB=AC =BAD=40 DAC=40 = 的度数是400的度数=DAB 的度数是40 直径AB=的度数是1800=-=的度数是1000例6、已知：如图，AB是O的直径，C为AB延长线上一点，CE交O于点D，且CD=OA。求证：分析：因为AOE是COE的一个外角，且与C不相邻，所以AOE=C+E，现在要证明即为AOE=3C，所以只要证得E=2C即可，又由于OE为半径，而连结OD后OD也是半径，故OE=OD，所以ODE=E，从而可证。证明：连结OD。CD=OA=ODC=COD又OD=OEE=ODEAOE=C+E=C+ODE=C+COD+C=3C， 说明：由于在一个圆中的半径总是相等的，可以利用相等的半径来得到相等的角，从而得出某些角的关系。巩固练习一、填空题：1. 在圆中80的弧所对的圆心角的度数是 ；2. 顶点在 上的角叫圆心角，圆心到弦的距离叫 ；3. 在O中，的度数为60，的长是圆周长的 ；4. 40的圆心角所对的弧是圆周的 ；5. 一条弦长恰好为半径长，则弦所对的弧是半圆的 ；6. 如图，AB、CD是O的直径，OEAB，OFCD，则 ， ， ， ； 7. O中的一段弧的度数为100，则AOB ； 8圆内接五边形各边相等，各边所对的优弧的度数为 ；9一条弦等于其圆的半径，则弦所对的优弧的度数为 ；10一条弦把圆分成13两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为 ；11已知A、B、C为O上三点，若、度数之比为123，则AOB ，BOC ，COA ；12 如图，CD是半圆的直径，O是圆心，E是半圆上一点且EOD45，A是DC延长线上一点，AE交半圆于B，如果ABOC，则EAD ；二、选择题：13.在同圆或等圆中，如果 ，则AB与CD的关系是( )(A)AB2CD； (B)AB2CD； (C)AB2CD； (D)ABCD；14.如图，在O中A、B、C分别为圆周上的三点，ABC的外角的度数为n，那么AOC的度数为( )(A)2n ；(B) n；(C) 180n；(D) 90n15. 下列每张方格纸上都画有一个圆，只用不带刻度的直尺就能确定圆心位置的是（ ） （A） （B） （C） （D） 16.如图，AB为O的直径，C、D是O上的两点，BAC20，则DAC的度数是( ) (A)30 ； (B) 35； (C) 45； (D) 70；17中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分然后连结五等分点而得（如图）五角星的每一个角的度（ ） （A）30（B）35（C）36（D）37三、证明题：18.已知：如图，ABCD，求证：ADBC；19如图，四边形ABCD内接于半圆O，AB是直径（1）请你添加一个条件，使图中的四边形ABCD成等腰梯形，这个条件是 （只需填一个条件）。（2）如果CDAB，请你设计一种方案，使等腰梯形ABCD分成面积相等的三部分，并给予证明20如图，BE是ABC的外接圆O的直径，CD是ABC的高。（1） 求证：ACBC=BECD。（2） 已知：CD=6，AD=3，BD=8，求O的直径BE的长。参考答案：一、180，2顶点在圆上的角、弦心距，3，4，56、，7100，8288，9300，1090，1160120180，1215，二、13C，14A，15A，16B，17C，三、18=，-=-，=， 19. 20（1）证明：连结EC。BE为直径，BCE=900，ADC=ECB，又A=E，ADCECB，ACBC=BECD，（2）解：在RtACD和BCD中，CD=6，AD=3，BD=8， ，由（1）知ACBC=BECD，即10=BE6， BE=， 0的直径为。23.1圆的认识 (二) （补充“垂径定理”）教学目的：3、 探索并了解圆周角的对称性，掌握垂径定理，并学会运用垂径定理，解决有关的证明，计算。4、 掌握过圆心作一条与弦垂直的线段的辅助线的作法。【知识重点与学习难点】4、难点： 利用圆的轴对称图形来发现“垂径定理”3通过探究、发现定理，培养观察，分析、逻辑思维能力和归纳能力，提高的阅读质疑能力，通过选择最优方法、培养思维的灵活性。如通过垂径定理的证明，渗透几何变换思想。【试一试】1、垂径定理的发现：如图可以知道，圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴。如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为E，再将纸片沿着直径CD对折，观察右图在O中任意一条弦AB将圆周分为哪几部分？观察右图垂直于弦AB的直径CD和弦AB将圆周分为哪几部分？这几部分间存在什么关系？EA与EB存在什么关系？比较AE与EB、与，你能发现什么结论？总结出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧。2、分析定理的题设和结论。 题设 结论 注意：题设中的两个条件缺一不可。 垂径定理的实质可以理解为：一条直线，如果它具有两个性质：(1)经过圆心；(2)垂直于弦，那么这条直线就一定具有另外三个性质：(3)平分弦，(4)平分弦所对的劣弧，(5)平分弦所对的优弧(如图所示) 推论1：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； (3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧， 推论1的实质是：一条直线(如图) (1)若满足：i)经过圆心，ii)平分弦，则可推出:iii)垂直于弦，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧 (2)若满足：i)垂直于弦，ii)平分弦。则可推出：iii)经过圆心，iv)平分弦所对的劣弧，v)平分弦所对的优弧 (3)若满足；i)经过圆心，ii)平分弦所对的一条弧，则可推出：iii)垂直于弦，iv)平分弦，v)平分弦所对的另一条弧 推论2： 圆的两条平行弦所夹的弧相等 如图中，若ABCD，则ACBD 注意：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径作为辅助线。 【例题选讲】例1如图，AB是O的直径，弦CD与AB相交，过A，B向CD引垂线，垂足分别为E，F，求证：CE=DF。 证明：过O作OMCD于M， CM=DM， AECD，BFCD， AE/OM/FB， 又O是AB中点， M是EF中点（平行线等分线段定理）， EM=MF， CE=DF。 说明：此例是垂径定理及平行线等分线段定理相结合构成的命题。由于C、D两点是轴对称点，欲证CE=DF，那么E，F也必是轴对称点，由于E，F是垂足，那么E，F也应关于某条垂线成轴对称点，这样，这两个知识的结合部分仍是含有共同的对称轴。 例2已知ABC内接于O，且AB=AC，O的半径等于6cm，O点到BC的距离为2cm，求AB的长。 分析：因为不知道ABC是锐角三角形，还是钝角三角形（由已知分析，ABC不会是直角三角形，因为若是直角三角形，则BC为斜边，圆心O在BC上，这与O点到BC的距离为2cm矛盾），因此圆心有可能在三角形内部，也可能在三角形外部，所以需分两种情况进行讨论： （1） 假若ABC是锐角三角形，如图，由AB=AC， 可知， ，点A是弧BC中点， 连结AO并延长交BC于D，由垂径推论 可得ADBC，且BD=CD，这样OD=2cm， 再连结OB，在RtOBD中OB=6cm， 可求出BD的长，则AD长可求出， 则在RtABD中可求出AB的长。 （2） 若ABC是钝角三角形，如图， 连结AO交BC于D，先证ODBC， OD平分BC，再连结OB，由OB=6cm， OD=2cm，求出BD长，然后求出AD的长， 从而在RtADB中求出AB的长。 略解：（1）连结AO并延长交BC于D，连结OB， AB=AC， ，ADBC且BD=CD， OD=2，BO=6， 在RtOBD中，由勾股定理得：BD=4， 在RtADB中，AD=OA+OD=8， 由勾股定理可得：AB=4 (cm) （2）同（1）添加辅助线求出BD=4， 在RtADB中，AD=AO-OD=6-2=4， 由勾股定理可得：AB= (cm)， AB=4cm或4cm。 说明：凡是与三角形外接圆有关的问题，一定要首先判断三角形的形状，确定圆心与三角形的位置关系，防止丢解或多解。 例3已知如图：直线AB与O交于C，D，且OA=OB。 求证：AC=BD。 证明：作OEAB于点E， CE=ED， OA=OB， AE=BE， AC=BD。 请想一下，若将此例的图形做如下变化，将如何证明。 变化一，已知：如图，OA=OB， 求证：AC=BD。 变化二：已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AC=BD。 说明：这三道题的共同特点是均需要过点O作弦心距，利用垂径定理进行证明，所变化的是A，B两点位置。 例4如图，O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，DEB=600，求CD的长。 解：作OFCD于F，连结OD， AE=1，EB=5， AB=6，OA=3， OE=OA-AE=3-1=2，在RtOEF中， DEB=600， EOF=300，EF=OE=1， OF=， 在RtOFD中，OF=，OD=OA=3， DF= (cm)， OFCD，DF=CF， CD=2DF=2 (cm) 说明：因为垂径定理涉及垂直关系，所以就可出现与半径相关的直角三角形，求弦长，弦心距，半径问题，常常可以利用弦心距、半径和半弦组成一个直角三角形，用其性质来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连结半径作为辅助线，然后用垂径定理来解题。 例5、如图大O的半径为6cm，弦AB=6cm，OCAB于C，以O为圆心OC的长为半径作圆，交OA、OB于点D、E。(1)求小O的半径OC的长(2)求证：ABDE分析：求OC的长的问题实际上是一个解直角三角形的问题，而求证ABDE则可以利用三线八角来完成。（1） 解：OA=OB=AB=6cm AOB为等边三角形 底边AB上的高OC也是底边上的中线 OC=（2） 证明：AOB是等边三角形 A=AOB=600 在ODE中，OD=OE，DOE=600 ODE为等边三角形 ODE=600 ODE=A DEAB说明：这里用到了等腰三角形“三线合一”的性质，若要证明“OC垂直平分DE”，如何表达较为简便？【同步练习】一、判断正误： 1直径是圆的对称轴。 （ ）2三点确定一个圆 （ ）3平分弦的直径垂直弦 （ ）4在同圆中，等弦对等弧 （ ）5圆心角相等，它们所对的弧相等 （ ）6在同圆中，等弧对等弦 （ ）7线段AB是O的直径，点C在直线AB上，如果ACAB，则点C一点在O的内部 （ ）8正方形ABCD，根据经过不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，它可以确定四个圆。 （ ）9在O中， ，那么它们所对弦的关系是AB=2CD。 （ ）10O的半径为5cm，点P到圆的最小距离与最大距离之比为2：3，则OP长为1cm。 （ ）二、填空题：1. 在半径为R的圆中，垂直平分半径的弦长等于 ；2. 已知O的半径为5cm，的度数为120，则弦AB的长是 ；3. 已知O的半径为R，弦AB的长也为R，则AOB ，弦心距是 ；4. 已知：O的半径为2cm，弦AB所对的劣弧为圆的，则弦AB的长为 cm，AB的弦心距为 cm；5已知：O中，弦AB垂直直径CD于点P，半径4cm，OP2cm，则AOB ，ADC ，的度数为 ，ADC的周长为 cm；6。O的弦AB是半径OC的垂直平分线，则的度数为 ；7在O中，弦CD与直径AB相交于E，且AEC30，AE1cm，BE5cm，那么弦CD的弦心距OF cm，弦CD的长为 cm；三、选择题：1、 下列四个命题中：圆心角是顶点在圆心的角；两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；两条弦相等，它们的弦心距也相等；在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等；其中，正确的命题是( ) (A) ；(B) ；(C) ；(D) ；2、若两条弧的度数相等，则( )(A)两条弧所对的弦相等；(B)两弧所对的弦心距相等；(C)两弧的长度相等；(D)两弧所对的圆心角相等；3、半径为4cm，120的圆心角所对的弦长为( )(A)5cm；(B)cm；(C)6cm；(D)cm；4、在O中，弦AB所对的劣弧为圆的，有以下结论：为60；AOB60； AOB60；AOB是等边三角形； 弦AB的长等于这个圆的半径。其中正确的结论是( ) (A) ；(B) ；(C) ；(D) ；5、在O中，圆心角AOB90，点O到弦AB的距离为4，则O的直径的长为( )(A)；(B) ；(C)24；(D)16；6、在同圆或等圆中，若的长度等于的长度，则下列说法正确的个数是( )的度数等于的度数；所对的圆心角等于所对的圆心角；和是等弧；所对的弦的弦心距等于所对的弦的弦心距；(A)1个；(B)2个；(C)3个；(D)4个；7、在O中，两弦ABCD，OM、ON分别为这两条弦的弦心距，则OM、ON的关系是( )(A)OMON；(B) OMON；(C) OMON；(D)无法确定；8、下列语句中，正确的有( )相等的圆心角所对的弧相等；平分弦的直径垂直于弦；长度相等的两条弧是等弧；经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴； (A)1个；(B)2个；(C)3个；(D)4个；四、解答题： 1、 某种仪器上的一块圆形玻璃被打碎了，它的残片如图所示。你能帮助配一块大小完全相同的玻璃吗？如能，请说出方法并画出它的大小。2、如图，在O中，弦AB/EF，连结OE，OF交AB于C，D， 求证：AC=DB。 3、如图，AB是O直径，CD是弦，AECD于E，BFCD于F，连结OE，OF，求证：OEF=OFE 4、在ABC中，C=900，AC=15，BC=8，分别以A、B为圆心，AC、BC的长为半径画圆，分别交AB于P、Q。求PQ的长。5、已知AB是O的直径，P是OA上任意一点，C是O上任意一点。求证：PA6、已知如图，BC为半圆O的直径，ADBC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且AE=BE。求证：（1）（3） AHBC=2ABBE参考答案一、1（直径所在直线是圆的对称轴） 2（经过不在同一直线上的三个点确定一个圆） 3（平分弦（不是直径）的直径垂直弦） 4（在同圆中，等弦所对的优（劣）弧等，因为一条弦对两条弧） 5 6、 7、 8、 9、 10、（OP的长是1cm或25cm） 二、1、R 2、5 3、600， 4、2，1 5、1200，600，600， 6、1200 7、1，4三、1、C 2、D 3、B 4、D 5、B 6、D 7、A四、解答题：1、提示：在残片的圆弧上任取三点A、B、C，连结AB、AC并作AB、AC的中垂直线，得交点即圆心，再画圆。2、证明：作ONEF交AB于M， AB/EF， OMAB， OE=OF， OEF=OFE， OCD=OEF，ODC=OFE， OCD=ODC， OC=OD， CM=DM， AM=BM， AC=BD 3证明：作OMCD于M， AECD于E，BFCD于F， AE/OM/BF， OA=OB，EM=FM， OE=OF，OEF=OFE 4、提示：PQ=AP+BQ-AB=15+8-17=65、提示：当C与A、B不重合时，连结CO，PA=AO-PO=CO-POPC，又PCPO+CO=PO+BO=PB，PAPCPB；当C、B重合时，PC=PB；当C、A重合时。PC=PB；当C、A重合时，PA=PC PA。6、证明（1）BC是半圆O的直径BAC=90.即BAD+DAC=90ADBC，DAC+C=90.BAD=C.（又AE=BE，ABE=BAD. C=ABE. AE=AF.（2）连结AF，在AFH和BCH中，AFB=BCA，AHF=BHC，AFHBCH.（ AB=AF，AB=AF ABH=C，ABH+AHB=90，DAC+C=90，AHB=DAH.AE=EH=BE. BH=2BE. 将、代入，有AHBC=2ABBE23.2与圆有关的位置关系 (一)教学目的：1、掌握点与圆、直线与圆的位置关系。2、掌握直线和圆的三种位置以及位置关系的判定和性质。3、通过点与圆、直线与圆以及圆与圆位置关系的学习，培养综合运用圆有关方面知识的能力4、培养用运动变化的观点，去观察图形，研究问题的能力。5、渗透类比、分类、化归、数形结合的思想，指导相应的学习方法，不仅学会数学，而且会学数学。【知识重点与难点】1、重点：掌握直线和圆的三种位置关系的性质与判定2、难点：如何引导学生发现隐含在图形中的两个数量d和r，并加以比较直线和圆的三种位置关系。【方法指导与教材延伸】1、点与圆的位置关系：每一个圆都把平面上的点分成三类，即（1）点在圆内；（2）点在圆上；（3）点在圆外。点和圆的位置关系是由这个点到圆的距离与半径的数量大小关系决定的，设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则: 点在圆内dr注：（1）=是由已知点与圆的位置关系确定d与r的大小关系； B,由条件A推出结论B的因果关系；另一方面表示B=A，由条件B推出结论A的因果关系。2、直线和圆相交、相切、相离的概念： 当直线由远而近对圆(或圆由远而近对直线)作相对运动时，会得到直线与圆的三种不同位置关系： 直线和圆没有公共点，叫做直线和圆相离； 直线和圆有唯一公共点，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点。 直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线。 相离 相切 相交 说明：直线和圆相切是指直线和圆有一个并且只有一个公共点。与“有一 个公共点”的含义是不同的。要避免出现“直线和圆有一个公共点时叫做直线和圆相切”的错误。3直线和圆的位置关系的性质和判定： 根据直线和圆相交、相切、相离的定义结合图形(2)容易看出如果O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，那么会有下面的结论： 直线l和O相交dr； 直线l的O相切dr； 直线l和O相离dr。 (1)直线l和O相交(2)直线l的O相切(3)直线l和O相离上面三个命题的左边反映的是两个图形的位置关系，右边反映的是圆心到直线l的距离与圆的半径这两个数量的大小关系。因而它们既可作为直线与圆的各种位置关系的判定，又可以作为圆与直线位置关系的性质，换句话说直线和圆的位置关系可以用它们的交点的个数来区分。也可以用圆心到直线的距离与半径的大小来区分。它们是一致的。从下表中可清楚了解这种相互依从关系：直线和圆的位置相交相切相离公共点个数210圆心到直线距离d与半径r的关系drdrdr公共点名称交点切点无直线名称割线切线无图形说明： 根据直线与圆相交的定义，用直尺(或三角形板)在纸上移动，靠眼睛观察。当它与圆只有一个公共点时，画出直线，即为已知圆的切线。【例题选讲】例1、求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上。 已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。 求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上。 证明： 四边形ABCD是菱形ACBD，垂足为O，且ABBCCDDA M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点OMONOPOQAB根据圆的定义可知：M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上。 例2、若RtABC的三个顶点A、B、C在O上，求证：RtABC斜边AB的中点是O的圆心。 证明：ABC是直角三角形，AB是斜边取AB中点M，则MCMAMB又OAOBOC O是AB中点 故M与O重合，即AB的中点是O的圆心。例3、如图，ABC中，C90，B60，ACx，O的半径为1，问：当x在什么范围内取值时，AC与O相离、相切、相交。分析：由于直线与圆的位置关系取决于圆心到直线的距离d与圆的半径r间的数量关系，所以作ODAC于D，分别由AC与O相离、相切、相交可得知相应的OD与O半径r间的关系式，从而求出x的范围。 解：作ODAC于D，在RtABC，C90B60，A30ODAOx(1)当x1，即x2时，AC与O相离；(2)当x1，即x2时，AC与O相切；(3)0x1，即0x2时，AC与O相交。例4、如图，O直径AB的两端点到直线MN的距离分别为m、n，AB6，当m、n分别为下列长度时，MN与O有怎样的位置关系？m1，n4；m1.5，n4.5；m 4，n4分析：由于O的半径已经知道，因此只需求出O到MN的距离，作OHMN于H，可得OH(mn)，然后比较OH与半径的大小，便得到直线与圆的位置关系。 解：过点O作OHMN于H，则ACOHBD 又OAOBHCHDOH (ACBD)(mn) OH(14)2.5OHAB，MN与O相交； OH(1.54.5)3OHAB，MN与O相切； OH (44)OHAB，MN与O相离。 说明：应用直线和圆的位置关系的判定公式，判定直线和圆的位置关系时，一定要找准半径的长和圆心到直线的距离，然后比较两者的大小，按公式判断位置关系。例5、已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，以腰DC的中点E为圆心的圆与AB相切，梯形的上底AD与下底BC的方程x210x160的两根，求圆的半径r。 分析：对于“直线与圆相切dr”这句话应从两个方面理解：从左往右看是相切的性质，从右往左看是相切的判断，所以要求圆E的半径，主要是要求E到AB的距离。解：如图，过E作EFAB于F。 E是CD的中点，且EFAB，DAAB，BCAB， EF是梯形ABCD的中位线。 AD、BC是方程x210x160的两根。 ADBC10EF(ADBC)5 O与AB相切，rEF5例6、如图，一个圆球放置在V型架中。图9-2是它的平面示意图，CA、CB都是O的切线，切点分别是A、B，如果O的半径为cm，且AB6cm，求ACB。解：如图，连结OC交AB于点D，ABODCCA、CB分别是O的切线，CACB，OC平分ACB，OCABAB6，BD3。在RtOBD中，OBsinBOD，BOD60B是切点，OBBC，OCB30， ACB60。例7、如图，直角梯形ABCD，ADBC，ADC135，DC8，以D为圆心，以8个单位长为半径作D，试判定D与BC有向几个交点？ 分析：D与BC交点的个数，决定于点D到BC的距离，作DEBC于E，计算DE的长度，即可作出判断。解：作DEBC于EADBC ADCC180 又ADC135，C45 DEC为等腰直角三角形 CD8 DE8，即点D到BC的距离是8个单位， 因此D与BC只有一个交点。巩固练习1、在矩形ABCD中，AB8，AD6，以A为圆心作圆，如果B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是？ 2、试述点和圆的位置关系？ 3、直线和圆的公共点的数目不能超过 ，这是因为 。 4、RtABC的斜边AB6厘米，直角边AC3厘米，以C为圆心，2厘米为半径的圆和AB的位置关系是 ，4厘米为半径的圆和AB的位置关系是 ，若和AB相切，那么半径长为 。 5、过圆上一点可以和圆的 条切线；过圆外一点可以作圆的 条切线，过 点，不存在圆的切线。 6、O的半径为6，O的一条弦AB长为3 ，以3为半径的同心圆与AB的位置关系是：A相离 B相切 C相交 D无法确定 7、等边ABC的面积为3cm2，以A为圆心的圆与BC所在的直线l： (1)没有公共点；(2)有唯一的公共点；(3)有两个公共点。 求这三种情况下点A到直线l的距离d的范围。 (1) (2) (3)8、已知RtABC的斜边AB8cm，AC4cm，以点C为圆心、半径分别为2cm和4cm画两个圆，这两个圆与AB有怎样的位置关系？半径为多长时，AB与C相切？ 9、在射线OA上取一点A，使OA4cm，以A为圆心，作一直径为4cm的圆，问：过O的射线OB与OA的锐角取怎样的值时，OA与OB(1)相离；(2)相切；(3)相交。10已知菱形ABCD中，A60，对角线AC、BD相交于O，边长AB16，以O为圆心，半径为多长时所作的圆才能与菱形四条边都相切？参考答案1 解：ABCD是矩形，AB8，AD6，则AC10 B、C、D三点中至少有一点在OA内，至少有一点在OA外，则6r102答：圆内的点与圆心的距离小于半径的点； 圆上的点与圆心的距离等于半径的点；圆外的点与圆心的距离大于半径的点。3答：不能超过2个，这是因为同一直线上三点的圆不存在。4解：在RtABC中，斜边AB6厘米，直角边AC3厘米， BC3厘米 作CDAB于D，则CD633CD厘米。 故以C为圆心，2厘米为半径的圆和AB的位置关系是相离，4厘米为半径的圆和AB的位置关系是相交，若和AB相切，则半径长为厘米。51，2，圆内。6解：由依题知O到AB的距离 5 以3为半径的同心圆与AB的位置关系是相离，选A。7解：过A作ADBC，垂足为D，得BDBC， 在RtABD中 由勾股定理得；BC 由三角形面积公式得，BCADBCBC3 BC2 ADBC3 (1)当A与直线l没有公共点时，dAD，即d3cm（图(1)） (2)当A与直线l有唯一公共点时，dAD，即d3cm（图(2)） (3)当A与直线l有两个公共点时，dAD，即d3cm（图(3)）8解：在RtABC的斜边AB8cm，AC4 BC4，作CDAB于D 由CDABACBC得 以2cm为半径，C为圆心画圆与AB相离。 以4cm为半径，C为圆心画圆与AB相交。 以2cm为半径，C为圆心画圆与AB相切。9解：如图，作ACOB于C，则 ACOAsin4sin (1)当AC2即4sin2 sin时，A与B相离，此时30 (2)当AC2，即sin，30时，A与B相切。 (3)当AC2，即sin，30时，A与B相交10解：作OEAB于E， AB16，OAB30 OBAB8，AOAB8 OEABAOOB OE4 答：半径为4时，以O为圆心所作的圆才能与菱形四边都相切。23.2 与圆有关的位置关系同步练习1已知O的半径为5 cm，A为线段OP的中点，当OP=6 cm时，点A与O的位置关系是（ ） A点A在O内 B点A在O上 C点A在O外 D不能确定 2两个圆的圆心都是O，半径分别为r1、r2，且r1OAr2，那么点A在 （ ）Ar1内 Br2外 Cr1外，r2内 Dr1内，r2外3如图，O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一直线上，图中弦的条数为（ ）A2 B3 C4 D54如图已知等边三角形ABC的边长为cm，下列以A为圆心的各圆中，半径是3cm的圆是（ ）5直线与半径r的O相交，且点O到直线的距离为5，则r的值是（ ）Ar5 Br5 Cr5 Dr56OA平分BOC，P是OA上任一点（O除外），如果以P为圆心的圆与OC相交，那么P与OB的位置关系是（ ）A相切 B相离 C相交 D以上都有可能7半径分别为1cm 和2cm 的两圆外切,那么与这两圆都相切且半径为3cm 的圆的个数有（ ） A5个 B4个 C3个 D2个8如图一个圆环的面积为9，大圆的弦AB切小圆于点C，则弦AB的长为（ ）A9 B18 C3 D99如图，同样大的硬币，其中一个固定，另一个沿着其周围滚动，滚动时，两枚硬币总是保持有一点相接触（相外切），当滚动的硬币沿固定的硬币周围滚动一圈，回到原来的位置时，滚动的那个硬币自转的周数为（ ）A1 B2 C3 D410已知两圆的半径分别是2，3，圆心之间的距离是d，若两圆有公共点，则下列结论正确的是（ ）Ad1 Bd5 C1d5 D1d511设O1和O2的半径分别是R和r，圆心之间的距离O1O25,且R，r是方程的两根，则O1和O2 的位置关系是（ ）A内切 B外切 C相交 D相离12已知O的直径为8cm，点A，B，C与圆心O的距离分别为4cm，3cm，5cm，则点A在 上，点B在 ，点C在 。13一条过圆心的弦AB长8 cm，此圆的半径是 ，AB的垂直