2017年广州市高三一模文科数学试卷及答案

2017年广州市普通高中毕业班文科数学综合测试（一）第卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数的虚部是（ ）A B C D2已知集合，则实数的值为（ ） A B C D3已知，且，则（ ）A B C D 4阅读如图的程序框图. 若输入，则输出的值为（ ） A B C D 5已知函数 则（ ）A B C D6已知双曲线的一条渐近线方程为，,分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上, 且, 则等于（ ）A B C D7四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）A B C D8如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）9设函数，若曲线在点处的切线方程为，则点的坐标为（ ）A B C D或10九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥为鳖臑，平面，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面 积为（ ） A B C D11已知函数是奇函数，直线与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）A在上单调递减 B在上单调递减 C在上单调递增 D在上单调递增12已知函数, 则的值为（ ）A B C D第卷二、填空题：本小题共4题，每小题5分13已知向量，若，则 14若一个圆的圆心是抛物线的焦点，且该圆与直线相切，则该圆的标准方_ 15满足不等式组的点组成的图形的面积是，则实数的值是_16在中，当的周长最短时，的长是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 已知数列的前项和为，且（）（）求数列的通项公式； () 求数列的前项和18（本小题满分12分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值若该项质量指标值落在内，则为合格品，否则为不合格品表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图（）根据图，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数；（）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？（）根据已知条件完成下面列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附：（其中为样本容量）0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828甲生产线乙生产线合计合格品不合格品合计19（本小题满分12分）如图1，在直角梯形中，/，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接,，得到如图2所示的几何体（）求证：平面；（）若，与其在平面内的正投影所成角的正切值为，求点到平面的距离20（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且过点（）求椭圆的方程；（）若是椭圆上的两个动点，且使的角平分线总垂直于轴，试判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由21（本小题满分12分）已知函数（）若函数有零点，求实数的取值范围；（）证明：当时，请考生在第2223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线（）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（）求曲线上的点到直线的距离的最大值23（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数. （）若，求实数的取值范围；（）若R，求证：.2017年广州市普通高中毕业班文科数学综合测试（一）答案评分说明:1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题不给中间分一、选择题 （1）B （2）A （3）C （4）B （5）A （6）C（7）B （8）D （9）D （10）C （11）D （12）B二、填空题 （13） （14） （15） （16）三、解答题(17) 解: （）当时，即， 1分 解得 2分当时， 3分即， 4分所以数列是首项为，公比为的等比数列5分所以（nN*） 6分() 因为， 8分所以 9分 10分 11分 12分 (18) 解：（）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为，因为 ， 1分则 3分 解得 4分（）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件， 则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为 5分 乙流水线生产的产品为不合格品的概率为， 6分 于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线生产的不合格品件数分别为： 8分（）列联表:甲生产线乙生产线合计合格品354075不合格品151025合计5050100 10分 则， 11分 因为 所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线 的选择有关” 12分(19) 解：() 因为平面平面，平面平面，又，所以平面. 1分 因为平面，所以 2分 又因为折叠前后均有，, 3分所以平面. 4分() 由（）知平面，所以在平面内的正投影为， 即为与其在平面内的正投影所成角. 5分 依题意， 因为 所以. 6分 设，则, 因为，所以， 7分即， 解得，故. 8分 由于平面，, 为的中点,由平面几何知识得,同理,所以. 9分因为平面，所以. 10分设点到平面的距离为, 则, 11分 所以，即点到平面的距离为. 12分 (20) 解:() 因为椭圆的离心率为, 且过点, 所以, . 2分 因为, 解得, , 3分 所以椭圆的方程为. 4分()法1：因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对 称. 设直线的斜率为, 则直线的斜率为. 5分 所以直线的方程为,直线的方程为. 设点, ,由消去,得. 因为点在椭圆上, 所以是方程的一个根, 则, 6分所以. 7分同理. 8分所以. 9分又. 10分所以直线的斜率为. 11分所以直线的斜率为定值，该值为. 12分法2：设点， 则直线的斜率, 直线的斜率. 因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称. 所以, 即, 5分 因为点在椭圆上, 所以， . 由得, 得, 6分 同理由得, 7分 由得, 化简得, 8分由得, 9分得. 10分得,得. 11分所以直线的斜率为为定值. 12分法3：设直线的方程为，点， 则, 直线的斜率, 直线的斜率. 5分 因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称. 所以, 即, 6分 化简得. 把代入上式, 并化简得 . (*) 7分 由消去得, (*) 则, 8分代入(*)得, 9分整理得,所以或. 10分若, 可得方程(*)的一个根为，不合题意. 11分若时, 合题意.所以直线的斜率为定值，该值为. 12分 (21) 解:()法1: 函数的定义域为.由, 得. 1分 因为,则时, ;时, . 所以函数在上单调递减, 在上单调递增. 2分 当时, . 3分 当, 即时, 又, 则函数有零点. 4分所以实数的取值范围为. 5分法2：函数的定义域为.由, 得. 1分令，则.当时, ; 当时, .所以函数在上单调递增, 在上单调递减. 2分故时, 函数取得最大值. 3分因而函数有零点, 则. 4分所以实数的取值范围为. 5分 () 要证明当时, , 即证明当时, , 即.6分 令, 则. 当时, ;当时, . 所以函数在上单调递减, 在上单调递增. 当时, . 7分 于是,当时, 8分 令, 则. 当时, ;当时, . 所以函数在上单调递增, 在上单调递减. 当时, . 9分 于是, 当时, 10分 显然, 不等式、中的等号不能同时成立. 11分 故当时, . 12分（22）解： () 由 消去得, 1分 所以直线的普通方程为. 2分 由, 3分 得. 4分 将代入上式, 得曲线的直角坐标方程为, 即. 5分 () 法1:设曲线上的点为, 6分则点到直线的距离为7分8分 当时, , 9分 所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.10分法2: 设与直线平