心理统计学——8-方差分析

第八章方差分析方差分析(AnalysisofVariance)简称ANOVA,又叫变异数分析,能够解决多个总体均值是否相等的检验问题,其主要功能在于分析实验数据中不同来源的变异对总体变异的贡献大小,从而确定实验中的自变量是否对因变量有重要影响.Z检验、检验是比较两个平均值差异的统计方法。然而,在大多数的实验中,包含两种以上实验处理,需要同时比较两个以上的样本平均数,这时需要用方差分析。可以把方差分析看成是检验的扩展。,8.1方差分析的原理及其基本过程8.2单因素方差分析8.3多因素方差分析,8.1方差分析的原理及其基本过程8.1.1基本原理例8.1某饮料生产企业研制出一种新型饮料。饮料的颜色共分四种：橘黄色、粉色、绿色和无色透明。这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售的因素全部相同。现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售情况，见下表：问饮料的颜色是否对销售量产生影响。,该饮料在五家超市的销售情况,别的因素已作适当的控制，各超市销售量的差异可能是抽样的随机性造成的，也可能是由于人们对不同颜色有所偏爱造成的。所以上述问题归结为一个检验问题。即检验饮料颜色对销售量是否有影响。零假设H0：123=4备择假设H1:1、2、3、4中至少有两个不相等,因素：自变量、独立的变量，方差分析研究的对象。如本例中颜色是因素。因素的水平：一个因素的不同情况或取值。如：饮料中四中不同的颜色（无色、粉色、绿色、橘黄色）因变量：自变量影响的结果。如：销售量单因素方差分析：只有一个因素，一个因变量多因素方差分析：有多个因素，一个因变量,对变异的分解，即平方和分解。例8.2下表是A、B、C三种实验处理的数据，其中表示有三种实验处理；5表示每种实验处理中有5个实验数据；Xj表示某一种实验处理的平均数;Xt表示总平均数。,如果F1,说明数据的总变异中大部分是由实验误差或个体差异造成的,不同的实验处理A、B、C之间差异不大，即实验处理基本无效；如果F1且落入F分布的临界区外,即只有实验处理的作用显著地大于组内变异的作用时,才能确认实验处理的有效作用,A、B、C三种处理之间的差异显著。方差分析的主要任务是检验组间方差在统计上是否显著地大于组内方差。,8.1.2基本过程(步骤)1、建立假设2、求平方和3、确定自由度4、求均方5、进行F检验6、列出方差分析表,1、建立假设H0：12=3H1：1、2、3中至少有两个不等2、求平方和可以直接从原始数据求平方和，公式为：,3、确定自由度k=3,n=5,dfb=k-1=3-1=2,dft=nk-1=35114，dfw=dft-dfb=14-2=12=k(n-1)4、求均方,5、进行F检验（单侧）,6、列出方差分析表,8.1.3方差分析的基本条件1、方差分析的基本假设(1)总体正态分布总体、每个子总体服从正态分布；(2)变异的可加性总变异可以分解成几个不同来源的部分,这几个部分变异的来源在意义上必须明确,而且彼此要相互独立。(3)各处理内的方差一致(方差齐性)总体、各子总体的方差相等。各实验处理内的方差彼此应无显著差异。这是方差分析中最重要的假定。若不能满足，原则上不能进行方差分析。,2、方差分析中的方差齐性检验齐性检验常用哈特莱（Hartley）法,8.2单因素方差分析8.2.1、单因素完全随机设计的方差分析一个因素，一个因变量完全随机设计(Completerandomizeddesign):把被试随机分成若干组,每个组分别接受一种实验处理。完全随机分组后，各实验组的被试之间是相互独立的，因而这种设计又称“独立组设计”或被试间设计。该设计的不足之处：误差项既包括实验本身的误差又包括个体差异引起的误差，因而它的检验效率往往不高。,单因素的完全随机设计分几种情况：1、等重复设计各实验处理组的样本容量相同。例8.3为研究不同科目的教师当班主任,对学生某一学科的学习是否有影响。把40名学生随机分派到5名教不同科目的班主任负责的班级中，经过一段时间以后对这40名学生进行数学考试，结果见下表。用方差分析的方法检验5组不同班主任的学生数学成绩是否有显著差异。（其中，A表示班主任教数学，B表示班主任教语文，C表示班主任教生物，D表示班主任教地理，E表示班主任教物理）。,解:(1)建立假设H0:1=2=3=4=5(2)平方和,(5)F检验F=MSb/MSw=78.6/24.17=3.252,查F分布表(单侧)F0.05(4,35)=2.64,FF0.05,p0.05,在不同班主任的班级中数学成绩有显著不同。(6)方差分析表,*表示在0.05水平上显著;*表示在0.01水平上显著,2、不等重复设计各实验处理组样本容量不同。方差分析过程与等重复设计时基本相同。只是在计算组间平方和时，注意公式中的各组不同。,例8.4把20名被试随机分成4组,每组(5人)接受一种教学方法,问四种教学方法是否有显著差异?教学方法:ABCD每组人数:5555每组平均数:55.487.2每组方差:1.991.041.201.76,解:(1)求平方和,8.2.2单因素随机区组设计的方差分析在完全随机设计中,SSt=SSb+SSw,即总变异=组间变异+组内变异。实际上，这时，组内变异不仅反映了实验的随机误差，而且还反映了实验组内被试间个体差异。单因素的完全随机化实验设计把可以控制的个体差异作为随机误差而不加以控制，从而增大了实验误差，使F检验不敏感。随机区组设计就是要从实验误差中将被试的个体差异区分开来，从而增加实验数据的有效信息，降低实验误差。,随机区组设计的原则是同一组内的被试应尽量“同质”。被试的分配分三种情况：(1)一个被试作为一个区组,不同的被试(区组)均需接受全部个实验处理;(2)每一区组内被试的人数是实验处理数的整数倍;(3)区组内的基本单元不是个别被试,而是以一个团体为单元。随机区组设计由于同一区组接受所有实验处理，试实验处理之间有相关，所以也称为相关组设计（被试内设计）。它把区组效应从组内平方和中分离出来。这时，总平方和组间平方和区组平方和误差项平方和,随机化区组设计的方差分析的步骤：（1）建立假设H10：所有个出来的总体平均数是相同的，即不存在处理效应。H20：个区组的总体平均数是相同的，即不存在区组效应。（2）求平方和,(3)自由度dft=N-1,dfb=k-1,dfr=a-1,dfe=(k-1)(a-1)(4)均方,(5)进行F检验,(6)列出方差分析表随机区组设计(单因素)的方差分析表,例8.5有四种小学语文实验教材,分别代号为A、B、C、D。为比较其教学效果，按随机区组实验(设计)原则,将小学分为城镇重点小学、城镇一般小学和乡村小学三个区组，分别代号为I、II、III，并分别在每个区组中随机地抽取4所小学，它们分别被随机地指派实验一种教材。经一年教学后通过统一考试得到各校的平均成绩如下表。问四种教材的教学效果是否一致？,解：本例为随机区组设计，k=4,a=3,四种处理，三个区组。,四种教材的随机区组设计方差分析,由以上检验可知,四种教材中至少有两种教材的效果存在显著差异;不同区组之间差异不显著。,例8.6交通管制员工作压力研究。有三种方案(A、B、C)能减轻管制员的压力，问这三种方案的效果有无显著效果？空中交通管制员压力测试的随机区组设计,实验中不同管制员之间的差异是很大的，每个管制员作为一个区组。组内方差随机误差管制员个人差异导致的误差。需要将个人差异从误差项中分离出来，以提高F检验的效率。,解：,空中交通管制员测试的ANOVA表方差来源平方和自由度均方F值F0.05处理21210.55.534.1区组3056.03.163.33误差19101.9总计7017,结论：这三种工作方案在对空中交通管制员平均压力效果方面有差异。,8.2.3方差分析中的多重比较(各平均数之间的比较)方差分析的主要目的是通过F检验讨论组间变异在总变异中的作用,借以对两组以上的平均数进行差异显著性检验,得到的是一个整体的结果。如果F检验不显著，说明实验中的自变量（因素）对因变量没有显著影响，检验就此结束。如果F检验的结果显著，此时，往往不能结束。它表明多组平均数两两比较中至少有一对平均数间的差异达到了显著水平，至于哪一对并没有回答。需要专门的分析技术，即方差分析中的多重比较。,我们自然可以想到，是否可以用t检验对各组平均数两两成对地进行比较来寻找哪些有显著差异的平均数对呢？答案是否定的。,8.3多因素方差分析简介1、几个基本概念（1）因素和水平（2）交互作用（3）总平方和的分解在两因素的完全随机设计中SSt=SSA+SSB+SSAB+Sse在两因素的随机区组设计中SSt=SSR+SSA+SSB+SSAB+SSe,2、两因素方差分析举例例8.7研究不同的教学方法（A）和不同的教学态度（B）对儿童识字量的作用，将20名被试随机分成四组（每组5人），每组接受一种实验处理（即两因素水平之间组合之一），结果见下表：A因素表示教学方法：a1为集中识字，a2为分散识字；B因素表示教学态度：b1为“严肃”，b2为“轻松”；因变量为“识字量”。,（2）自由度dft=20-1=19,dfb=4-1=3,dfw=dft-dfb=19-3=16,dfA=2-1=1,dfB=2-1=1,dfAB=dfb-dfA-dfB=3-1-1=1(3)均方,从结果可以看出，两因素之间的交互作用非常显著，表明集中识字与分散识字效果的不同是受不同教学态度影响的。同样，不同的教学态度对识字量的不同作用也受到识字教学方式的影响。如果方差分析的结果，交互作用不显著，则对每个因素主效应的检验是重要的；若交互作用显著，则对每个主效应检验就意义不大了。交互作用显著表明两个因素对实验结果具有共同的重要性。,简单效应分析:当交互作用显著时,要进一步分析一个因素的各水平在另一个因素的哪些水平上显著,即简单效应分析。具体到例8.7，进一步讨论b1,b2在A因素的哪一个水平上差异显著（a1,a2在B因素的哪一个水平上差异显著）。,简单效应分析的方差分析表,F.05（1，16）4.49，F.01（1，16）8.53虽然A因素从整体上不显著，但它在b2水平上显著，表明不同的识字教学方式，在轻松的教室气氛中差异显著；而在严肃的情境中二者差异不显著。B因素在a1,a2两个水平上都显著，表明不管用哪一种教学方法，不同的教学态度均有显著差异。其中，在集中识字教学中两种教学态度使识字量的差异更显著。,思考题1、一家著名汽车杂志对美国制造的三种中等型号极品汽车进行驾驶测试后按各种标准进行比较。在耗油量测试中，每个牌子的汽车进行500英里行使测试，每加仑行驶英里数的数据报告如下：,在0.05下，判断三种汽车每加仑平均行驶里程数是否有显著差异。,思考题2、选择字处理以及数据库管理系统软件的一个重要因素是需要用多长时间来学习使用。为评价3种文件管理系统，