高三一轮复习导学案01-第01章-第01节——集合的概念与运算-第02节——命题及其关系、充分条件与必要条件

1.1集合的概念及其基本运算1集合与元素(1)集合元素的三个特征：_、_、_.(2)元素与集合的关系是_或_关系，用符号_或_表示(3)集合的表示法：_、_、_、_.(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为_、_、_.2集合间的基本关系(1)子集、真子集及其性质对任意的xA，都有xB，则AB(或BA)若AB，且在B中至少有一个元素xB，但xA，则_(或_)_A；A_A；AB，BCA_C.若A含有n个元素，则A的子集有_个，A的非空子集有_个，A的非空真子集有_个(2)集合相等若AB且BA，则AB.3集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算并集：ABx|xA，或xB；交集：AB_；补集：UA_.U为全集，UA表示A相对于全集U的补集(2)集合的运算性质并集的性质：AA；AAA；ABBA；ABABA.交集的性质：A；AAA；ABBA；ABAAB.补集的性质：A(UA)U；A(UA)；U(UA)A.难点正本疑点清源1正确理解集合的概念正确理解集合的有关概念，特别是集合中元素的三个特征，尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运用在解决含参数问题时，要注意检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误2注意空集的特殊性空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性例如：AB，则需考虑A和A两种可能的情况3正确区分，0，是不含任何元素的集合，即空集0是含有一个元素0的集合，它不是空集，因为它有一个元素，这个元素是0.是含有一个元素的集合0，0.1已知全集U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,5，B1,3,5,7，则A(UB)_.2若全集UR，集合Ax|x1x|x0，则UA_.3已知集合Ax|a1x1a，Bx|x25x40，若AB，则实数a的取值范围是_4已知集合A1,2，Bx|mx10，若ABA，则m的可能取值组成_ _5已知R是实数集，Mx|1，Ny|y，则N(RM)等于 ()A.(1,2) B.0,2 C. D.1,2题型一集合的基本概念例1(1)已知Aa2，(a1)2，a23a3，且1A，求实数2 013a的值；(2)x，x2x，x33x能表示一个有三个元素的集合吗？如果能表示一个集合，说明理由；如果不能表示，则需要添加什么条件才能使它表示一个有三个元素的集合探究提高(1)加强对集合中元素的特征的理解，互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意(2)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题若集合Ax|ax23x20的子集只有两个，则实数a_.题型二集合间的基本关系例2已知集合Ax|0ax15，集合B.(1)若AB，求实数a的取值范围；(2)若BA，求实数a的取值范围；(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由探究提高在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答分类讨论的一般步骤：确定标准；恰当分类；逐类讨论；归纳结论 已知集合Ax|log2x2，B(，a)，若AB，则实数a的取值范围是(c，)，其中c_.题型三集合的基本运算例3设UR，集合Ax|x23x20，Bx|x2(m1)xm0若(UA)B，则m的值是_探究提高本题的主要难点有两个：一是集合A，B之间关系的确定；二是对集合B中方程的分类求解集合的交并补运算和集合的包含关系存在着一些必然的联系，这些联系通过Venn图进行直观的分析不难找出来，如ABABA，(UA)BBA等，在解题中碰到这种情况时要善于转化，这是破解这类难点的一种极为有效的方法设全集是实数集R，Ax|2x27x30，Bx|x2a2m1，即m2时，B，满足BA；若B，且满足BA，如图所示，则即2m3.故m2或2m3，即所求集合为m|m3 批阅笔记(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容解答此类问题的关键 是抓住集合间的关系以及集合元素的特征(2)在解答本题时，存在两个典型错误一 是忽略对空集的讨论，如S时，a0；B时，m1Dx|x1或x03如果全集UR，Ax|2x4，B3,4，则A(UB)等于 ()A(2,3)(3,4)B(2,4)C(2,3)(3,4D(2,4二、填空题4已知集合A1,3，a，B1，a2a1，且BA，则a_.5已知集合A(0,1)，(1,1)，(1，2)，B(x，y)|xy10，x，yZ，则AB_.6定义集合运算：ABz|zxy(xy)，xA，yB，设集合A0,1，B2,3，则集合AB的所有元素之和为_三、解答题7已知集合Ax|x22x30，Bx|x22mxm240，xR，mR(1)若AB0,3，求实数m的值； (2)若ARB，求实数m的取值范围8对任意两个集合M、N，定义：MNx|xM且xN，M*N(MN)(NM)，设My|yx2，xR，Ny|y3sin x，xR，求M*N.B组专项能力提升题组一、选择题1设集合A1,2,3,5,7，BxZ|11，Py|y，x2，则UP等于 ()A.B.C(0，)D(，04已知集合Ax|log2x10，By|y，则(RA)B等于 ()A. B.C(3,2 D.二、填空题5已知集合A(，0，B1,3，a，若AB，则实数a的取值范围是_6(2010重庆)设U0,1,2,3，AxU|x2mx0，若UA1,2，则实数m_.7设Ax|x|3，By|yx2t，若AB，则实数t的取值范围是_三、解答题8已知集合Ax|0，Bx|x22xm0，(1)当m3时，求A(RB)；(2)若ABx|1x4，求实数m的值答案要点梳理1.(1)确定性互异性无序性(2)属于 不属于(3)列举法描述法图示法区间法(5)有限集无限集空集2.(1)ABBA2n2n12n23.(1)x|xA，且xBx|xU，且xA基础自测1.2,42.x|0x13.(2,3)4.5.B题型分类深度剖析例1解(1)当a21，即a1时，(a1)20，a23a31与a2相同，不符合题意.当(a1)21，即a0或a2时，a0符合要求.a2时，a23a31与(a1)2相同，不符合题意.当a23a31，即a2或a1.当a2时，a23a3(a1)21，不符合题意.当a1时，a23a3a21，不符合题意.综上所述，a0.2 013a1.(2)因为当x0时，xx2xx33x0.所以它不一定能表示一个有三个元素的集合.要使它表示一个有三个元素的集合，则应有x0且x2且x1且x2时，x，x2x，x33x能表示一个有三个元素的集合.变式训练10或例2解A中不等式的解集应分三种情况讨论：若a0，则AR；若a0，则A.(1)当a0时，若AB，此种情况不存在.当a0时，若AB，如图，则，又a0，a0时，若AB，如图，则，.又a0，a2.综上知，当AB时，a8或a2.(2)当a0时，显然BA；当a0时，若BA，如图，则，.又a0，a0时，若BA，如图，则，.又a0，0a2.综上知，当BA时，a2.(3)当且仅当A、B两个集合互相包含时，AB.由(1)、(2)知，a2.变式训练24例31或2变式训练3解(1)Ax|x3，当a4时，Bx|2x2，ABx|x2，ABx|2x3.(2)RAx|x3，当(RA)BB时，BRA，即AB.当B，即a0时，满足BRA；当B，即a0时，Bx|x，要使BRA，需，解得a0.综上可得，实数a的取值范围是a.例4A变式训练460,1,2,3课时规范训练A组1.C2.C3.A4.1或25.(0,1)，(1,2) 6.187.解由已知得Ax|1x3，Bx|m2xm2.(1)AB0,3，m2.(2)RBx|xm2，ARB，m23或m25或m3，NMy|3y3y|3y3或3y0.B组1.C2.B3.A4.A5.a06.3 7.(，3)8.解由0，所以1x5，所以Ax|1x5.(1)当m3时，Bx|1x3，则RBx|x1或x3，所以A(RB)x|3x5.(2)因为Ax|1x5，ABx|1x4，所以有4224m0，解得m8.此时Bx|2xb”是“a2b2”的充分条件；“|a|b|”是“a2b2”的必要条件；“ab”是“acbc”的充要条件3. “x2”是“0，BxR|x0，则“xAB”是“xC”的 ()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5.已知，的终边在第一象限，则“”是“sin sin ”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件题型一四种命题的关系及真假判断例1以下关于命题的说法正确的有_(填写所有正确命题的序号)“若log2a0，则函数f(x)logax (a0，a1)在其定义域内是减函数”是真命题；命题“若a0，则ab0”的否命题是“若a0，则ab0”；命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆命题为真命题；命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”等价探究提高(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)认真仔细读题，必要时举特例 有下列四个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x22xq0有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题其中真命题的序号为_题型二充分、必要、充要条件的概念与判断例2指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)(1)在ABC中，p：AB，q：sin Asin B；(2)对于实数x、y，p：xy8，q：x2或y6；(3)非空集合A、B中，p：xAB，q：xB；(4)已知x、yR，p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0.探究提高判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题 给出下列命题：“数列an为等比数列”是“数列anan1为等比数列”的充分不必要条件；“a2”是“函数f(x)|xa|在区间2，)上为增函数”的充要条件；“m3”是“直线(m3)xmy20与直线mx6y50互相垂直”的充要条件；设a，b，c分别是ABC三个内角A，B，C所对的边，若a1，b，则A30是B60的必要不充分条件其中真命题的序号是_题型三充要条件的证明例3求证：关于x的方程ax22x10至少有一个负根的充要条件是a1.探究提高(1)条件已知证明结论成立是充分性，结论已知推出条件成立是必要性(2)证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明(3)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论 已知数列an的前n项和Snpnq(p0，且p1)，求证：数列an为等比数列的充要条件为q1.1.等价转化思想在充要条件关系中的应用试题：(12分)已知p：2，q：x22x1m20 (m0)，且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围审题视角(1)先求出两命题的解集，即将命题化为最简(2)再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组，得出结论规范解答解方法一由q：x22x1m20，得1mx1m， 2分綈q：Ax|x1m或x0， 3分由2，解得2x10， 5分綈p：Bx|x10或x9.m9.12分方法二綈p是綈q的必要而不充分条件，p是q的充分而不必要条件， 2分由q：x22x1m20，得1mx1m，q：Qx|1mx1m， 4分由2，解得2x10，p：Px|2x10 6分p是q的充分而不必要条件，PQ，或即m9或m9.m9. 12分 批阅笔记本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏 的问题化归为简单、熟悉的问题来解决一般地，在涉及字母参数的取值范围的充 要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.方法与技巧1当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个(或n个)作为大前提2数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都是真的3命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假(2)等价法：利用AB与綈B綈A，BA与綈A綈B，AB与綈B綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法(3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件失误与防范1否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定是只否定命题的结论要注意区别2判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆1.2命题及其关系、充分条件与必要条件(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.(2011陕西)设a，b是向量，命题“若ab，则|a|b|”的逆命题是 ()A.若ab，则|a|b|B.若ab，则|a|b|C.若|a|b|，则abD.若|a|b|，则ab2.已知集合Mx|0x1，集合Nx|2xy，则x|y|”的逆命题B.命题“x1，则x21”的否命题C.命题“若x1，则x2x20”的否命题D.命题“若x20，则x1”的逆否命题二、填空题4. “mbc2，则ab；若sin sin ，则；“实数a0”是“直线x2ay1和直线2x2ay1平行”的充要条件；若f(x)log2x，则f(|x|)是偶函数.其中正确命题的序号是_.6.已知p(x)：x22xm0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围为_.三、解答题7.已知p：|x3|2，q：(xm1)(xm1)0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围.8.设p：实数x满足x24ax3a20，其中a0，且綈p是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围.B组专项能力提升题组一、选择题1.(2011福建)若aR，则“a2”是“(a1)(a2)0”的 ()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.已知p：1，q：|xa|1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为()A.(，3 B.2,3C.(2,3 D.(2,3)3.集合Ax|x|4，xR，Bx|x5”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题4.设有两个命题p、q.其中p：对于任意的xR，不等式ax22x10恒成立；命题q：f(x)(4a3)x在R上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a的取值范围是_.5.若“x2,5或xx|x4”是假命题，则x的取值范围是_.6.在“a，b是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式x2axb0的解集是非空数集，则a24b0”，给出下列命题：若a24b0，则不等式x2axb0的解集是非空数集；若a24b0，则不等式x2axb0的解集是空集；若不等式x2axb0的解集是空集，则a24b0；若不等式x2axb0的解集是非空数集，则a24b0；若a24b0，则不等式x2axb0的解集是非空数集；若不等式x2axb0的解集是空集，则a24b0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是_(按要求的顺序填写).7.(2011陕西)设nN，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_.三、解答题8.已知全集UR，非空集合A，B.(1)当a时，求(UB)A；(2)命题p：xA，命题q：xB，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.答案要点梳理1.判断真假判断为真判断为假2.(1)若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p(2)逆命题否命题逆否命题(3)相同没有3.(1)充分条件必要条件(2)充要条件基础自测1.32.3.充分不必要4.C5.D题型分类深度剖析例1变式训练1例2解(1)在ABC中，ABsin Asin B，反之，若sin Asin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180)，所以只有AB.故p是q的充要条件.(2)易知，綈p：xy8，綈q：x2且y6，显然綈q綈p，但綈p 綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件.(3)显然xAB不一定有xB，但xB一定有xAB，所以p是q的必要不充分条件.(4)条件p：x1且y2，条件q：x1或y2，所以pq但q p，故p是q的充分不必要条件.变式训练2例3证明充分性：当a0时，方程为2x10