高中数学集合及其应用例题精讲

【精品】高中数学集合及其应用例题精讲【例1】若集合，1，4，则满足条件的实数x的值为 （）A.4B.2或2C.2 D.2解析：根据，得，但，由元素的互异性.答案：C技巧提示：牵涉到集合中的元素，必须考虑集合中元素具有确定性、互异性、无序性.又例：若31，求实数的范围.答案：a0，1，3，【例2】已知， ，则集合中元素的个数是 （）A.0 B.1C.2 D.多个错解分析：根据为直线上的点集，为单位圆上的点集，中元素的个数是2，选C.解析：根据，得，为数集，为单位圆上的点集，.答案：A技巧提示：用描述法给出的集合一定要先看代表元素，再看代表元素满足的条件.交集是由两个集合的公共元素组成的集合.又例：设集合 ， ，则的子集的个数是（）A.0 B.2 C.4 D.8解析：显然都是坐标平面内的点集，抛物线与圆有三个交点，即集合有个元素，有8个子集.答案：D【例3】若为三个集合，则一定有 （）A.B.C. D.解析：（），（） ，又，故选A.答案：A技巧提示：理解集合的运算性质是解答本题的关键.（），（）就是交运算和并运算的重要性质.本题也可利用Venn图直接得出结论.又例：已知全集，则正确表示集合和关系的韦恩（Venn）图是（ ）解析：， ，U.答案：B. 【例4】设集合Ax|x2ax120，Bx|x2bxc0，且AB，AB3，4，AB3，求a、b、c的值.解析：AB3，3A且3B，将3代入方程：x2ax120中，得a1，从而A3，4.将3代入方程x2bxc0，得3bc9.AB3，4，ABA，BA.AB，BA，B3.方程x2bxc0的判别式b24c0，由得c3b9，代入整理得：（b6）20，b6，c9.故a1，b6，c9.技巧提示：由于集合中的元素是以方程的解的形式给出的，因此要从集合中元素的特性和交、并集的含义进行思考.【例5】设集合A、B是非空集合，定义ABx|xAB且xAB，已知Ax|y，By|y2x2，则AB等于（）A.（2，） B.0,12，）C.0,1）（2，） D.0,1（2，）解析：Ax|yx|0x2，By|y2x2y|y0，AB0，），AB0,2 ，因此AB（2，），故选A.答案：A【例6】已知全集UR，集合Ax|log2（3x）2，集合Bx|1.（1）求A、B；（2）求（UA）B.解析：（1）由已知得：log2（3x）log24，解得1x3，Ax|1x3.由1，得（x2）（x3）0，且x20，解得2x3.Bx|2x3.（2）由（1）可得UAx|x1或x3，故（UA）Bx|2x1或x3.技巧提示：本题考查简单的分式不等式和对数不等式求解.又例: 已知全集UR，集合Ay|2y2，集合By|y2x，那么集合A（UB）等于 （）A.y|2y0 B.y|0y2C.y|y2 D.y|y0解析：由题意易得：B（0，），RB（，0，所以ARBy|2y0.答案：A【例7】已知集合Ax|x26x80，Bx|（xa）（x3a）0.（1）若AB，求a的取值范围；（2）若AB，求a的取值范围；（3）若ABx|3x4，求a的值或取值范围.解析：Ax|x26x80，Ax|2x4.（1）当a0时，B，不合题意.当a0时，Bx|ax3a，应满足即a2，当a0时，Bx|3axa，应满足即a.当AB时，a2.（2）要满足AB，当a0时，Bx|ax3a，a4或3a2，0a或a4；当a0时，Bx|3axa，a2或a，a0时成立，当a0时，B，AB也成立.综上所述，a或a4时，AB.（3）要满足ABx|3x4，显然a0且a3时成立，此时Bx|3x9，而ABx|3x4，故所求a的值为3.技巧提示：（1）本题为集合在一定约束条件下求参数的问题，涉及集合的运算，其转化途径常通过两个方面：一是分析、简化每个集合；二是利用两集合元素的性质.（2）本题体现了分类讨论的思想，分类的关键点在于比较出a与3a的大小，进而将集合B表示出来.又例:已知集合Ax|mx22x30，mR.（1）若A是空集，求m的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求m的值；（3）若A中含有两个元素，求m的取值范围.解析：集合A是方程mx22x30在实数范围内的解集.（1）A是空集，方程mx22x30无解.412m0，即m.（2）A中只有一个元