第3讲--变量之间的关系复习-----讲义

变量之间的关系【知识梳理】要点1 变量、自变量、因变量以及常量的定义(1) 在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。(2) 在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。例如小明出去旅行，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V一定，路程S则随着时间T的变化而变化。则T为自变量，路程为因变量。练习：某人以每小时m千米的速度从甲地向乙地行走，若甲、乙两地相距S千米，则当他行走了X小时后，他距乙地还有y千米，在这个问题中，哪些是常量，哪些是自变量，哪些是因变量。 变量之间关系的表示（三种方法：列表法、关系式法、图象法）要点2 列表法与变量之间的关系(1) 列表法是表示变量之间关系的方法之一，可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小列表法采用数表相结合的形式，运用表格可以表示两个变量之间的关系。列表时一般第一行代表自变量，第二行代表因变量，选取能代表自变量的一些数据，并按从小到大的顺序列出，再分别求出对应的因变量的值。优点：直观，可以直接从表中找出自变量与因变量的对应值，缺点：具有局限性，只能表示因变量的一部分。练习：某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量x与售价y的关系如下表： 数量x(kg)12345售价y(元)2+0.14+0.26+0.38+0.410+0.5要点3 用关系式表示变量之间的关系(1) 用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法之一。(2) 写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法又不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。即实质是用含自变量的代数式表示因变量。(3) 利用关系式求因变量的值，已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。关系式法（解析法）关系式（即解析式）是利用数学式子来表示变量之间关系的等式，利用关系式，可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出相应的自变量的值。练习：某种情况下，声音在空气中传播的速度y(m/s)与气温x ()之间存在如下关系：要点4 用图象法表示变量的关系(1) 图象是刻画变量之间关系的又一重要方式，特点是非常直观。(2) 通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表示因变量。(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。如利用图象求两个变量的对应值，由图象得关系式，进行简单计算，从图象上变量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。(4) 对比看：速度时间、路程时间两图象若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，BL01“上升的线段”表示速度在增加；“水平的线段”表示速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段”表示速度在减少。若图像表示的是距离与时间之间的关系，“上升的线段”表示物体匀速运动；“水平的线段”表示物体停止运动，“下降的线段”表示物体反向运动。如图BL01(1)、(2)：图象法对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法。特点：非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。表示的步骤是：列表：列表给出自变量与因变量的一些特殊的对应值。一般给出的数越多，画出的图象越精确。描点：在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（横轴或x轴）上的点来表示自变量，用竖直方向的数轴（纵轴或y轴）上的点来表示因变量。连线：按照自变量从小到大的顺序，用平滑的曲线把所描的各点连结起来。 注意：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标）.练习：小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况如图 （1）图象表示了哪两个变量的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）10时和13时，他分别离家多远？（3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（4）11时到12时他行驶了多少千米？（5）他可能在哪段时间内休息，并吃午餐？（6）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？典型例题1.下面的图表列出了项试验的统计数据，表示将皮球从高处d落下时，弹跳高度b与下落高度d的关系试问，下面的哪个式子能表示这种关系(单位：cm) ( )d5080100150b25405075(A) (B)b=2d (C) (D)b=d+252.某地一天的气温随时间的变化如图62，根据图象可知：在这一天中最高气温与达到最高气温的时刻分别是 ( )(A)14；12h (B)4；2h ( C)12；14h (D)2；4h3在一次实验中，小强把根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下面是测得的弹簧的长度y与所挂物体的质量x的一组对应值：所挂重量x(kg)012345弹簧长度y(cm)202224262830(1)上述表格反映了哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)当所挂重物为4kg时，弹簧多长?不挂重物呢?(3)若所挂重物为6kg时(在弹簧的允许范围内)，你能说出此时弹簧的长度吗? 4地壳的厚度约为8到40km在地表以下不太深的地方，温度可按y=35x+t计算，其中x是深度(km)，t是地球表面温度（），y是所达深度的温度（)(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么?(2)分别计算当x为lkm，5km，10km,20km时地壳的温度(地表温度为2)5.如图63，ABC是等腰三角形，周长是60cm，腰为xcm，底为ycm(1)写出用含x的关系式来表示y；(2)当腰由20cm变化到25cm时，底边长由_cm变化到_cm；6.如图65所示的曲线表示某人骑一辆自行车时离家的距离与时间的关系骑车者九点离开家，十五点回家根据这个曲线图，回答下列问题：(1)到达离家最远的地方是什么时间?离家多远?(2)何时开始第一次休息?休息多长时间?(3)第一次休息时离家多远?(4)11:00到12:00他骑了多少千米?(5)他在9:00到10:00和10:00到10:30的平均速度是多少?(6)他在何时至何时停止前进并休息用午餐?7.观察下列图形(图624)，若第个图形中阴影部分的面积为1，第个图形中阴影部分的面积为，第个图形中阴影部分的面积为，第个图形中阴影部分的面积为，则第n个图形中阴影部分的面积为_(用字母n表示)8.如图625，观察下列三角形图案，每行圆点的个数有什么规律?设每个三角形有n行，用n的代数式表示这两个三角形图案中圆点的总数，为_【随堂训练】一、选择题1.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，因变量是（ ）A沙漠 B.体温 C.时间 D.骆驼2.在关系式y=3x+5中，下列说法：x是自变量，y是因变量；x的数值可以任意选择；y是变量，它的值与x的值无关；用关系式表示的，不能用图像表示；y与x的关系还可以用列表和图像法表示，其中说法正确的是（ ）A. B. C. D.3.汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量Q（升）与行驶时间t（时）的关系用图象表示应为图中的（ ）4. 一辆汽车以平均速度60千米/时的速度在公路上行驶，则它所走的路程s（千米）与所用的时间t（时）的关系表达式为（ ）A. B. C. D.5如图所示，是某市某天的温度随时间变化的图象，通过观察，下列说法错误的是（ ）A这天15点时温度最高 B.这天3点时温度最低C这天最高温度与最低温度的差是D这天21点时温度是6一游泳池长90米，甲、乙二人分别在游泳池相对两边同时朝另一边游泳，甲的速度是3米/秒，乙的速度是2米/秒，图5中的实线和虚线分别为甲、乙游泳的距离随游泳时间的变化而变化的图象，若不计转向时间，则从开始起3分钟内他们相遇的次数为（ ）A2次B3次C4次D5次7.某烤鸡店在确定烤鸡的烤制时间时，主要依据的是下面表格的数据：鸡的质量（千克）0.511.522.533.54烤制时间（分）406080100120140160180 设鸡的质量为x千克，烤制时间为t分，则当x=3.2千克时，t=（ ）A.140 B. 138 C. 148 D. 1608.星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s（米）与散步所用的时间t（分）之间的关系，依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（ ） A.从家出发，到了一个公共阅读报栏，看了一会儿报，就回家了.B.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，继续向前走了一段后，然后回家了.C.从家里出发，一直散步（没有停留），然后回家了 D.从家里出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返回. 二、填空题1. A、B两地相距500千米，一辆汽车以50千米/时的速度由A地驶向B地.汽车距B地的距离y(千米)与行驶时间t(之间)的关系式为 .2下表列出了皮球反弹高度和下落高度的数据，其中表示皮球下落高度,表示皮球落地后反弹高度（单位：）：508010015025405075预测下落高度是时，皮球的反弹高度是 .3.长方形的周长为24cm，其中一边为（其中），面积为，则这样的长方形中与的关系可以写为 .4长方体的体积是100立方厘米，高为8厘米，设长是厘米，宽是厘米，则与的关系为 .5.已知关系式y=kx+2，且自变量x=3时，因变量y=0,则当自变量x=9时，因变量y的值是_.6如图，分别表示甲、乙两名学生运动的路程和时间的关系，根据图像判断快者比慢者每秒快 。图-6 图-7 7.小亮早晨从家骑车去学校，先走下坡路，然后走上坡路，去时行程情况如图所示，若返回时， 他的下坡和上坡速度仍保持不变，那么小亮从学校按原路返回家用的时间是 分钟.三、将下列各情境的序号写在相符合的图象下面.足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)一杯越晾越凉的水(温度与时间的关系)一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系) 匀速行驶的汽车(速度与时间的关系) 四、如图，表示一骑自行车者与一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是100千米，请根据图象回答或解决下面的问题.（1）谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙地早？早到多长时间？（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？（3）指出在什么时