高中数学-考前归纳总结-直线圆锥曲线常见的几种题型

直线圆锥曲线常见的几种题型一、直线圆锥曲线问题的常规解题方法:1.设直线与方程；（提醒：设直线时分斜率存在与不存在；设为y=kx+b与x=my+n 的区别） 2.设交点坐标；（提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”） 3.联立方程组； 4.消元韦达定理；（提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单） 5.根据条件重转化；常有以下类型： “以弦AB为直径的圆过点0”（提醒：需讨论K是否存在） “点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题” 0； “等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）； “共线问题” （如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； （如：A、O、B三点共线直线OA与OB斜率相等）； “点、线对称问题” 坐标与斜率关系； “弦长、面积问题”转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式 的 合理选择）； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略； 判别式是否已经考虑；抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；例1.已知A、B、C是椭圆上的三点，其中点A的坐标为 ，BC过椭圆m的中心，且（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y 轴负半轴的交点，且.求实数t的取值范围 解（1）椭圆m：（2）由条件D（0，2） M（0，t）1当k=0时，显然2t0 可得 设则 由 t1 将代入得 1t4t的范围是（1，4） 综上t（2，4） 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 例2.已知圆：及定点，点是圆上的动点，点在 上，点在上，且满足2，（1）若，求点的轨迹的方程；（2）若动圆和（1）中所求轨迹相交于不同两点，是否存在一组正实数， 使得直线垂直平分线段，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由 解：（1）点为的中点， 又，或点与点重合 又 点的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，的轨迹方程是 (2)解：不存在这样一组正实数，下面证明： 由题意，若存在这样的一组正实数，当直线的斜率存在时，设之为，故直线的方程为：，设，中点，则，两式相减得：注意到，且 ，则 ， 又点在直线上，代入式得：因为弦的中点在所给椭圆内，故， 这与矛盾，所以所求这组正实数不存在 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则此时，代入式得， 这与是不同两点矛盾综上，所求的这组正实数不存在 3、证明定值问题的方法：常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无 关；也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。例3、已知椭圆两焦点、在轴上，短轴长为，离心率为，是椭圆在第一象限弧上一点，且，过P作关于直线F1P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值； 例3、解（1）。 ，设 则 点在曲线上，则 从而，得，则点的坐标为（2）由（1）知轴，直线PA、PB斜率互为相反数，设PB斜率为， 则PB的直线方程为： 由 得 设则 同理可得，则 所以：AB的斜率为定值。4、处理定点问题的方法：常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求 出定点；也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明，例4、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标 解：（）椭圆的标准方程为 （）设， 联立， 得，又，因为以为直径的圆过椭圆的右焦点，即，解得：，且均满足， 当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；当时，的方程为，直线过定点 所以，直线过定点，定点坐标为 5、 求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、 三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决；例5.设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线DFByxAOE 与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点 （1）若，求的值； （2）求四边形面积的最大值 解：依题设得椭圆的方程为，DFByxAOE 直线的方程分别为， 2分 如图，设，其中， 且满足方程， 故 由知，得； 由在上知，得 所以，化简得，解得或。6分 （）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点到的距离分别为 ， 又，所以四边形的面积为 ， 当，即当时，上式取等号所以的最大值为。 解法二：由题设， 设，由得， 故四边形的面积为 ， 当时，上式取等号所以的最大值为6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 例6.如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m0），l交椭圆于A、B两个不同点。 （1）求椭圆的方程； （2）求m的取值范围； （3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.解：（1）设椭圆方程为则椭圆方程为（2）直线l平行于OM