2.5等比数列前n项和公式的推导及性质.ppt

,2.5等比数列前n项和公式,细节决定成败态度决定一切,复习:等比数列an,(1)等比数列:,(2)通项公式:,(4)重要性质:,注:以上m,n,p,q均为自然数,引入：印度国际象棋发明者的故事,（西萨）,引入新课,它是以为首项公比是的等比数列，,分析：由于每格的麦粒数都是前一格的倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：,麦粒的总数为:,请同学们考虑如何求出这个和？,这种求和的方法,就是错位相减法!,18446744073709551615,如果1000粒麦粒重为40克，那么这些麦粒的总质量就是7300多亿吨。根据统计资料显示，全世界小麦的年产量约为6亿吨，就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦，国王无论如何是不能实现发明者的要求的。,如何求等比数列的Sn:,，得,错位相减法,1.使用公式求和时，需注意对和的情况加以讨论；,2.推导公式的方法：错位相减法。,注意：,显然，当q=1时，,等比数列的前n项和表述为：,Sn=a1+a2+a3+.+an-1+an,=a1+a1q+a1q2+.+a1qn-2+a1qn-1,=a1+q(a1+a1q+.+a1qn-3+a1qn-2),=a1+qSn-1=a1+q(Snan),证法二：,借助Sn-an=Sn-1,(一)用等比定理推导,当q=1时Sn=na1,因为,所以,用等比定理：,证法三：,已知a1、n、q时,已知a1、an、q时,等比数列的前n项和公式,知三求二,(1)等比数列前n项和公式：,等比数列前n项和公式你了解多少？,(2)等比数列前n项和公式的应用：,1.在使用公式时.注意q的取值是利用公式的前提；,.在使用公式时，要根据题意，适当选择公式。,利用“错位相减法”推导,(3)两个等比数列前n项和公式中任知其三可以求其二：,例1、求下列等比数列前8项的和,说明：,.,.,例3.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？,分析：第1年产量为5000台,第2年产量为,5000(1+10%)=50001.1台,第3年产量为,5000(1+10%)(1+10%),第n年产量为,则n年内的总产量为：,1数列2n1的前99项和为()A21001B12100C2991D1299,答案：C,2在等比数列an中，已知a13，an96，Sn189，则n的值为()A4B5C6D7,答案：C,3已知等比数列an中，an0，n1,2,3，a22，a48，则前5项和S5的值为_,答案：31,4在等比数列an中，已知a1a2an2n1，则a12a22an2等于_,5设数列an是等比数列，其前n项和为Sn，且S33a3，求公比q的值,已知等比数列an中，前10项和S1010，前20项和S2030，求S30.,题后感悟等比数列前n项和的常用性质：(1)“片断和”性质：等比数列an中，公比为q，前m项和为Sm(Sm0)，则Sm，S2mSm，S3mS2m，SkmS(k1)m，构成公比为qm的等比数列，即等比数列的前m项的和与以后依次m项的和构成等比数列,各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于()A80B30C26D16,解析：Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n成等比数列(S2nSn)2Sn(S3nS2n)(S2n2)22(14S2n)，解得S2n6又(S3nS2n)2(S2nSn)(S4nS3n)(146)2(62)(S4n14)S4n30.故选B.,已知等比数列的首项为1，项数为偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比与项数由题目可获取以下主要信息：等比数列的奇数项与偶数项分别依次构成等比数列；当项数为2n时，S偶S奇q.解答本题的关键是设出项数与公比，然后建立方程组求解,，得q2，代入得22n256，解得2n8，所以这个数列共8项，公比为2.,4.等比数列an共2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，求该数列的公比q.,1.已知数列前n项和sn=2n-1，则此数列的奇数项的前n项的和是.,2.设an为等差数列，bn为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3分别求出an及bn的前10项的和S10及T10。,3.设an为等比数列，Tnna1+(n一1)a2+2an-1+an，已知T11，T24(1)求数列an的首项和公比；(2)求数列Tn的通项公式,点评在求含有参数的等比数列的前n项和时，容易忽略对a1和q1的讨论，从而丢掉一种情况,题后感悟错位相减法一般来说，如果数列an是等差数列，公差为d；数列bn是等比数列，公比为q，则求数列anbn的前n项和就可以运用错位相减法,在运用错位相减法求数列的和时，要注意以下四个问题：(1)注意对q的讨论，在前面的讨论中，我们已知q是等比数列bn的公比，所以q0，但求和Sn12x3x2nxn1时，就应分x0、x1和x0且x1三种情况讨论(2)注意相消的规律