2-控制系统的数学模型.ppt

哈尔滨工程大学自动化学院,1,第二章控制系统的数学模型,本章主要内容:2-I2-22-32-42-5,控制系统的数学模型非线性数学模型的线性化拉氏变换及其反变换典型环节及其传递函数控制系统结构图和信号流图,哈尔滨工程大学自动化学院,2,Part2-1控制系统的数学模型,2.1.12.1.22.1.3,机械系统电气系统相似系统,数学模型的定义建立数学模型的基础提取数学模型的步骤,Example,哈尔滨工程大学自动化学院,3,Part2-1-1数学模型的定义,系统示意图,系统框图,Remember恒温箱自动控制系统,哈尔滨工程大学自动化学院,4,Part2-1-1数学模型的定义,系统框图,tu2uuanvut,由若干个元件相互配合起来就构成一个完整的控制系统。,系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。,物理量的变换，物理量之间的相互关系信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存）由动态到最后的平衡状态-稳定运动,哈尔滨工程大学自动化学院,5,Part2-1-1数学模型的定义,数学模型：描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程。,分析法（解析法）依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。,建立数学模型的方法：,哈尔滨工程大学自动化学院,6,数学模型的形式,时间域：微分方程差分方程状态方程复数域：传递函数结构图频率域：频率特性,哈尔滨工程大学自动化学院,7,数学模型的准确性和简化,Part2-1-2建立数学模型的基础,机械运动：牛顿定理、能量守恒定理电学：欧姆定理、基尔霍夫定律热学：传热定理、热平衡定律,微分方程（连续系统）,差分方程（离散系统）,线性与非线性,哈尔滨工程大学自动化学院,8,电气系统三元件,电学：欧姆定理、基尔霍夫定律。,哈尔滨工程大学自动化学院,9,【例2-1】RLC串联网络电路,基尔霍夫定律,哈尔滨工程大学自动化学院,10,机械运动系统的三要素,机械运动的实质：牛顿定理、能量守恒定理,阻尼B,质量M,弹簧K,哈尔滨工程大学自动化学院,11,【例2-3】机械平移系统,1）微分方程的系数取决于系统的结构参数2）阶次等于独立储能元件（惯性质量、弹簧、电感、电容等）的数量,哈尔滨工程大学自动化学院,12,机械旋转系统,哈尔滨工程大学自动化学院,13,相似物理系统,哈尔滨工程大学自动化学院,14,Part2-1-3提取数学模型的步骤,划分环节,确定输入量和输出量逐个列写各元件的微分方程消去中间变量写成标准形式,实例,二级RC无源网络,哈尔滨工程大学自动化学院,15,根据元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出量(必要时还要考虑扰动量)，并根据需要引进一些中间变量。,由运动方程式（一个或几个元件的独立运动方程）,划分环节,按功能（测量、放大、执行）,哈尔滨工程大学自动化学院,16,写出每一环节(元件)微分方程,找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化，考虑忽略一些次要因素）。,哈尔滨工程大学自动化学院,17,写成标准形式,例如微分方程中，将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。,哈尔滨工程大学自动化学院,18,【实例】2级RC无源网络,哈尔滨工程大学自动化学院,19,Part2-2非线性数学模型的线性化,2.2.12.2.22.2.3,常见非线性模型线性化问题的提出线性化方法,Example,单摆,Example,液面系统,单变量,多变量,哈尔滨工程大学自动化学院,20,2-2-1常见非线性模型,数学物理方程中的非线性方程：未知函数项或未知函数的（偏）导数项系数依赖于自变量,针对时间变量的常微分方程：线性方程指满足叠加原理,叠加原理：可加性齐次性,不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。,哈尔滨工程大学自动化学院,21,常见非线性情况,哈尔滨工程大学自动化学院,22,单摆(非线性),是未知函数的非线性函数，所以是非线性模型。,哈尔滨工程大学自动化学院,23,液面系统(非线性),是未知函数h的非线性函数，所以是非线性模型。,哈尔滨工程大学自动化学院,24,有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的。,2-2-2线性化问题的提出,可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。,线性系统缺点：,线性系统优点：,哈尔滨工程大学自动化学院,25,小偏差线性化：用泰勒级数展开，略去二阶以上导数项。一、假设：x,y在平衡点（x0,y0)附近变化，即x=x0+x,y=y0+y,二、近似处理,略去高阶无穷小项:,严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。,三、数学方法,哈尔滨工程大学自动化学院,26,多变量函数泰勒级数法,哈尔滨工程大学自动化学院,27,单变量函数泰勒级数法,函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：,略去含有高于一次的增量x=x-x0的项，则：,注：非线性系统的线性化模型，称为增量方程。注：y=f(x0)称为系统的静态方程,哈尔滨工程大学自动化学院,28,单摆模型(线性化),哈尔滨工程大学自动化学院,29,关于小偏差线性化几点说明：,必须有明确的平衡工作点，线性化模型只在该工作点邻域有效；线性化的精确度与工作范围和系统的非线性程度有关；在工作点不能做泰勒展开的系统，不可能做线性化处理。,哈尔滨工程大学自动化学院,30,Part2-3拉氏变换及其反变换,哈尔滨工程大学自动化学院,31,Part2-3-1拉氏变换的定义,设函数f(t)满足：1、f(t)实函数；2、当t0时，f(t)=0；3、当t0时，f(t)的积分在s的某一域内收敛,哈尔滨工程大学自动化学院,32,拉氏反变换的定义,其中L1为拉氏反变换的符号。,哈尔滨工程大学自动化学院,33,Part2-3-2-1拉氏变换的计算,哈尔滨工程大学自动化学院,34,单位脉冲函数拉氏变换,哈尔滨工程大学自动化学院,35,单位阶跃函数的拉氏变换,哈尔滨工程大学自动化学院,36,单位速度函数的拉氏变换,哈尔滨工程大学自动化学院,37,单位加速度函数拉氏变换,哈尔滨工程大学自动化学院,38,指数函数的拉氏变换,哈尔滨工程大学自动化学院,39,三角函数的拉氏变换,哈尔滨工程大学自动化学院,40,幂函数的拉氏变换,哈尔滨工程大学自动化学院,41,Part2-3-2-2拉氏变换的主要运算定理,线性定理微分定理积分定理位移定理延时定理卷积定理初值定理终值定理,哈尔滨工程大学自动化学院,42,条件：分母多项式能分解成因式,Part2-3-2-3拉氏反变换方法,部分分式法的求取拉氏反变换,哈尔滨工程大学自动化学院,43,将微分方程通过拉氏变换变为s的代数方程；,解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；,应用拉氏反变换，得到微分方程的时域解。,Part2-3-3拉氏变换求解线性微分方程,哈尔滨工程大学自动化学院,44,哈尔滨工程大学自动化学院,45,Part2-4控制系统的复数域数学模型,哈尔滨工程大学自动化学院,46,定义：在零初始条件(输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t0时，输出量及其各阶导数也均为0)下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。,Part2-4-1传递函数的定义和性质,哈尔滨工程大学自动化学院,47,系统传递函数的一般形式,设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述：,在零初始条件下，由传递函数的定义得,哈尔滨工程大学自动化学院,48,求取传递函数的基本步骤：,列写系统的微分方程；初始状态为零，对方程两边作拉氏变换；写出标准的传递函数形式。,哈尔滨工程大学自动化学院,49,【实例】试求：RLC串联无源网络的传递函数,哈尔滨工程大学自动化学院,50,传递函数的性质,只有线性定常系统具有传递函数；传递函数反映系统的本质特性，与输入量的具体形式无关；传递函数表达系统输出量对于系统输入量的响应关系，因此，在进行拉氏变换时，所有初始状态均为零；传递函数与微分方程一一对应；传递函数是复变量的有理真分式函数；见定义表达式；传递函数的拉氏反变换是脉冲响应函数。脉冲响应函数是指系统输出对单位脉冲输入的响应，即,哈尔滨工程大学自动化学院,51,适用于线性定常系统,传递函数中的各项系数和相应微分方程中各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数。,传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律,无法描述系统内部中间变量的变化情况,只适合于单输入单输出系统的描述,注意,哈尔滨工程大学自动化学院,52,N(s)=0系统的特征方程，特征根特征方程决定着系统的动态特性。N(s)中s的最高阶次等于系统的阶次。,！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。K系统处于静态时，输出与输入的比值。,Part2-4-2传递函数的零点和极点,特征方程,哈尔滨工程大学自动化学院,53,M(s)=b0(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,m)，称为传递函数的零点。,N(s)=a0(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根s=pj(j=1,2,n)，称为传递函数的极点。,！系统传递函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。,零点和极点,哈尔滨工程大学自动化学院,54,传递函数的零、极点分布图：将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。零点用“O”表示极点用“”表示,零、极点分布图,哈尔滨工程大学自动化学院,55,Part2-4-3传递函数的极点和零点对输出的影响,运动的模态（P29）如果n阶微分方程的特征根是系统输出的变化可看作是几种变化的叠加，即几种运动模态的总和，模态对应于系统输出信号的极点。在初始条件不为零，输入恒为零时，系统输出的变化是几种自由运动的模态的总和，对应于系统的特征值或系统的极点。,哈尔滨工程大学自动化学院,56,【实例】具有相同极点不同零点的两个系统,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为,极点是微分方程的特征根，决定系统响应形式（描述系统自由运动的模态），零点影响各模态在响应中所占比重。,极点和零点对输出的影响,哈尔滨工程大学自动化学院,57,零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小如果零极点重合该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。,哈尔滨工程大学自动化学院,58,比例环节,一阶微分环节,二阶微分环节,积分环节,惯性环节,振荡环节,延迟环节,！串联,纯微分环节,Part2-4-4典型元部件的传递函数,Part2-4-4-1典型环节的传递函数,哈尔滨工程大学自动化学院,59,典型环节的传递函数,比例环节:G(s)=K积分环节:G(s)=1/s微分环节:G(s)=s,惯性环节:一阶微分环节:振荡环节:延迟环节,哈尔滨工程大学自动化学院,60,环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件。,一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成。,同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。,注意：,哈尔滨工程大学自动化学院,61,Part2-4-4-2典型元部件的传递函数,自动控制系统是由各种元部件相互连接组成的，它们一般是机械的、电子的、液压的、光学的或其他类型的装置。为建立控制系统的数学模型，必须首先了解各种元部件的数学模型及其特性。Example!电位器测速发电机电枢控制直流伺服电动机两相伺服电动机无源网络（6)单容水槽（7）电加热炉（8）双容水槽,哈尔滨工程大学自动化学院,62,Part2-5控制系统结构图和信号流图,2-5-12-5-22-5-32-5-42-5-52-5-6,系统结构图的组成和绘制结构图的等效变换和简化信号流图的组成及性质信号流图的绘制梅森增益公式闭环系统的传递函数,哈尔滨工程大学自动化学院,63,2-5-1-1结构图的组成,Part2-5-1系统结构图的组成和绘制,哈尔滨工程大学自动化学院,64,结构图,哈尔滨工程大学自动化学院,65,任何系统都可以由信号线、方框、信号引出点及比较点组成的结构图来表示。,哈尔滨工程大学自动化学院,66,哈尔滨工程大学自动化学院,67,3方框(环节)方框具有运算功能，可视为单向运算算子。,哈尔滨工程大学自动化学院,68,4求和点（比较点、综合点）1.用符号“”及相应的信号箭头表示2.箭头前方的“+”或“-”表示加上或减去此信号,!注意量纲,哈尔滨工程大学自动化学院,69,相邻求和点可以互换、合并、分解。代数运算的交换律、结合律和分配律。,!求和点可以有多个输入，但输出是唯一的,哈尔滨工程大学自动化学院,70,建立系统各元部件的微分方程,明确信号的因果关系（输入/输出）。,对上述微分方程进行拉氏变换，绘制各部件的结构图。,按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的结构图连接起来，得到系统的结构图。,2.5.1.3结构图的绘制,哈尔滨工程大学自动化学院,71,例2-12无源网络的方框结构图,哈尔滨工程大学自动化学院,72,Part2-5-2结构图的等效变换和简化,哈尔滨工程大学自动化学院,73,几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传递函数的乘积。,串联运算规则,哈尔滨工程大学自动化学院,74,同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递函数之和。,并联运算规则,哈尔滨工程大学自动化学院,75,反馈运算规则,哈尔滨工程大学自动化学院,76,哈尔滨工程大学自动化学院,77,基于结构图的运算规则,哈尔滨工程大学自动化学院,78,基于比较点的简化,哈尔滨工程大学自动化学院,79,基于引出点的简化,哈尔滨工程大学自动化学院,80,把几个回路共用的线路及环节分开，使每一个局部回路、及主反馈都有自己专用线路和环节。确定系统中的输入输出量，把输入量到输出量的一条线路列成结构图中的前向通道。通过比较点和引出点的移动消除交错回路。先求出并联环节和具有局部反馈环节的传递函数，然后求出整个系统的传递函数。,结构图求取传递函数-简化法,哈尔滨工程大学自动化学院,81,例2-15试简化图示系统结构图，并求系统传递函数。,哈尔滨工程大学自动化学院,82,只有一条前向通道的多回路系统的闭环传递函数,（梅森公式）,闭环系统输入量到输出量间的串联环节的总传递函数即前向通路传递函数的乘积。,n闭环系统所具有的反馈回路的总数,i各反馈回路的序号,闭环系统中各交错反馈或多环局部反馈的开环传递函数即每个反馈回路的传递函数的乘积。,-正反馈+负反馈,公式法,哈尔滨工程大学自动化学院,83,梅森公式结构图直接求取传递函数,哈尔滨工程大学自动化学院,84,结构图化简,哈尔滨工程大学自动化学院,85,信号流图(signalflowdiagram)是由节点和支路组成的一种信号传递网络。,节点,表示变量或信号，其值等于所有进入该节点的信号之和。,支路,连接两个节点的定向线段，用支路增益（传递函数）表示方程式中两个变量的因果关系。支路相当于乘法器。信号在支路上沿箭头单向传递。,Part2-5-3信号流图的组成及性质,哈尔滨工程大学自动化学院,86,源节点/输入节点,只有输出的节点，代表系统的输入变量。,阱节点/输出节点,只有输入的节点，代表系统的输出变量。,混合节点,既有输入又有输出的节点。,哈尔滨工程大学自动化学院,87,前向通路,从输入节点到输出节点的通路上通过任何节点不多于一次的通路。前向通路上各支路增益之乘积，称前向通路总增益，一般用pk表示。,哈尔滨工程大学自动化学院,88,回路,起点与终点重合且通过任何节点不多于一次的闭合通路。回路中所有支路增益之乘积称为回路增益，用Lk表示。,不接触回路,相互间没有任何公共节点的回路,X2、X3,X3、X4,X5,哈尔滨工程大学自动化学院,89,1.由系统微分方程绘制信号流图1）将微分方程通过拉氏变换，得到关于s的代数方程；2）每个变量指定一个节点；3）将方程按照变量的因果关系排列；4）连接各节点