高数大一下期末试卷

一、选择题（每小题4分，共16分）1、设，则（ ）(A) (B) (C) (D) 2、若级数和都发散，则下列级数中必发散的是（ ）(A) (B) (C) (D) 3、若 在处收敛，则此级数在处（ ）(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不能确定4、计算，其中为曲面及平面所围成的立体，则正确的解法为（ ）(A) (B) (C) (D) 二、填空题（每小题4分，共24分）1、设是由球面所围成的闭区域，则 。2、设曲线：，则 。3、设为上半圆周 及轴所围成的区域的整个边界，沿逆时针方向，则 。4、设是平面在第一卦限的部分，则 。5、函数在处的幂级数展开式为 ，其收敛域为 。6、设，其中，则在上 。三、解答题（分A、B类题，A类题每小题10分，共60分；B类题每小题8分，共48分） 每道题必须且只需选做一道题，或做A类，或做B类，不必A、B类题都做1、(A类)计算 ，其中分别为 （）圆周，沿逆时针方向； （）圆周，沿逆时针方向。 (类)计算，其中为上半圆周 沿逆时针方向。（常数）2、(A类)计算，其中是球面。 (类)计算，其中为锥面及平面所围成的区域的整个边界曲面。3、(A类)计算，其中是抛物面的上侧。 (类)计算，其中是锥面的下侧。4、(A类) 设为等差数列，试求：（1）幂级数的收敛半径； （2）数项级数的和。 (类) 求幂级数的收敛域以及和函数； 5、(A类) 判断级数的收敛性，是绝对收敛还是条件收敛？ (类) 判断级数的收敛性，是绝对收敛还是条件收敛？6、(A类)将函数 展开成以2为周期的余弦级数，并求的和。(B类)将函数 展开成以为周期的余弦级数。附加题（10分）（选做题） 设函数在内具有一阶连续导数，是上半平面内的有向分段光滑曲线,起点为,终点为,当时,求 一、DDAB二、1， 2 3 4 ； 三1（A类）解： 记则。（1）设是由所围成的闭区域。因奇点，所以由格林公式，得。（2）设是由所围成的闭区域。选取一正数，则是位于内的圆周(取逆时针方向)。记和所围成的闭区域为，从而由格林公式，得，故。（B类）解：补上曲线，记和所围成的闭区域为。由格林公式，得 2（A类）解：利用对称性和曲面方程，得（B类）解：设，；，其中。则3（A类）解：作辅助面，取下侧。记和所围成的空间闭区域为，则 （B类）解：作辅助面，取上侧。记和所围成的空间闭区域为，则 4（A类）解：（1）依题意，其中为公差。从而，故幂级数的收敛半径为1。（2）解法一：设，则，因而。 解法二：设，由，得 故，求得，因而。（B类）解：幂级数的收敛半径为，当时，此时幂级数为收敛，从而其收敛域为。设，则当，时又根据和函数在收敛域的连续性，得， ，。故。5（A类）解：令，则当时，因此对，单调递增且。对级数来说，说明它是交错级数。又且，由莱布尼兹判别法知，该级数收敛。另外，因故这说明级数是发散的。综上所述，级数是条件收敛的。（B类）对级数，因（），说明它是交错级数。当时，且，由莱布尼兹判别法知，该级数收敛。另外，因这说明对级数，它是发散的。综上所述，级数是条件收敛的。5（A类）解：对函数偶周期延拓，先求延拓后函数的傅里叶级数：； ；得 因延拓后的函数在是连续的，从而 最后求级数：由，得。又，得。（B类）对函数偶周期延拓，先求延拓后函数的傅里叶级数：；得。因延拓后的