高中数学竞赛专题讲座---重要不等式

重要不等式专题讲座解答不等式问题往往没有固定的模式，证法因题而异，多种多样，不等式问题的趣味性和灵活性决定了它在数学竞赛中的地位。当然，熟悉并掌握一些常用的解决不等式问题的方法技巧是很有必要的，除比较法、放缩法、反证法、分析法、综合法等基本方法外，数学归纳法、变量代换（含局部、整体、三角、复数代换等）、函数方法（利用单调性、凸性、有界性及判别方法等）、构造法（构造恒等式、数列、函数等）、调整法等在数学竞赛中也是常用的。要多做题，多总结，融会贯通，举一反三，才能提高解决、研究不等式问题的能力.一. 有关结论1、平均值不等式设是非负实数，则2、柯西（Cauchy）不等式设，则等号成立当且仅当存在，使上述两个不等式在数学竞赛中应用极为广泛，好的、难的不等式问题往往只需用它们即可解决，而无需过分追求所谓更“高级”的不等式，这是需要注意的。3排序不等式设是的一个排列，令.则证: 若,由.设，则可见按上述方法调整后，的值不增，若此时在中，仿上又可得，最多经过步调整以后，若在中，将其中的与互换，得到，则，故由于，利用上面结论，得综上，命题获证。排序不等式可简述为：“反序和乱序和同序和”。4琴生不等式若是区间上的凸函数，则对任意的点有等号当且仅当时取得。证: 当时，命题显然成立。假设时命题成立，当时，令则又令当且仅当时取等号。综上所述，对一切正整数，命题成立。另外，绝对值不等式等也是较为常用的。二. 典例解析例1 设，求证：证: 令，则分两种情形：（1）时，.（2）时，.点评: 注意到，故先作代换，使的表达形式更简单，放缩较为大胆，但要注意时能取到符号，放缩不能过头，最后回到平均值不等式。例2 记，求证：证: 欲证式由柯西不等式，有又由柯西不等式，有.欲证不等式成立。点评: 本题有一定的难度，第一步代数变形是基本功，将化为若干项之和，便于处理. 第二、三步对柯西不等式的两种不同的运用堪称范例，值得回味。例3 设，证明：证: 我们证明 事实上，而，故成立.同理，.因此，故原不等式左边成立.下面证明原不等式右边：，记，则，当时，因此在时是增函数，.当时，因此在是上凸函数，由Jesen不等式，. 又知,结合在递增，, 由可得，所以.综上所述，故原不等式获证.例4 设，满足求证：证: 记，则设且是的一个排列，且使又设.则，故不妨设（否则，若，取，此时仍满足题设，且，不影响结论的一般性）。由排序不等式，有即欲证不等式成立。点评: 绝对值符号内的各项分正负来处理是一个关键，注意到，再通过适当的放缩即可证得结论。例5 设，求证：证: 注意到函数在上是增函数，当时，故只需证明：，其中即证.由于.从而，欲证不等式成立。例6 试确定所有的正常数，使不等式对满足的非负数均成立。解: 全部解，其中取及，便得及下面证明：对满足的非负实数都成立。只需证明关于的齐次式： 对满足的非负实数都成立。令式左边.由柯西不等式，.又均为非负实数，.结合，式左边.故获证。综上，所求全部解点评: 先取特殊值（如中值、边值）得参数的范围，再证明在这个范围内不等式成立，这是含参不等式的处理方法。例7 正实数满足条件：，.证明：对于任意确定的，如果，则.证: 由已知条件及柯西不等式，得.令，显然有，由已知，得又对于固定的，有，.又，由柯西不等式，得；两个不等式相加，得所以，由定义及，有从而，即.原命题获证。二. 练习题1设，求证：证: 欲证式由柯西不等式， 注意到又.故, 由 欲证式成立.点评: 这种带条件的三元分式不等式很常见，用柯西不等式来证的较多，要适当选择和，便于运用柯西不等式2已知ABC的外接圆半径为R，半周长为p，面积为S. 求的最大值.解: . 因为在内为上凸函数， 故当时，取得最大值3设是一个无穷项的实数列，对于所有正整数存在一个实数，使得且对所有正整数成立，证明：证: 对于，设为的一个排列且满足：（柯西不等式）.故评注: 这里抓住整体性质，利用不等式处理问题是常用的思想方法。 4对任意a,b,cR+，证明：（a2+2）（b2+2）（c2+2） 9（ab+bc+ca）.证: 原不等式a2 b2 c2 +2+4+8 9.由抽屉原理，不妨设a和b同时大于等于1，或同时小于等于1。则c2（a2-1）（b2-1） 0.即a2 b2 c2+ c2a2 c2+ b2 c2 由均值不等式，有以及.2+ 3+ 6 7. 又由知2+ a2 b2 c2+=2+a2 b2 c2+ a2 + b2 + a2c2 + b2c2 +2= (a2 + b2 )+ (a2c2 +1)+( b2c2 +1)2a b+2ac+2bc,2+ a2 b2 c2+2a b+2ac+2bc. +得a2 b2 c2 +2+4+8 9.即原不等式成立。评注: 这是一道美国数学奥林匹克试题。这里用抽屉原理构造了一个局部不等式，结合算术几何平均值不等式