(高等数学)第二章-连续函数

周世国：微积分第二章讲义周 世 国 讲 义第二章 连续函数 第一节 连续函数一.连续函数的概念引：许多物理量都是随时间而连续变化的。例如：自由落体的高度或冷却中固体的温度等。通常我们说物理量随时间t的变化而连续变化，其确切含义啥？那就是说，物理量在变化过程中不会突然发生跳跃，只要时间t的改变量非常小，相应地量的改变也应该非常小.用极限的语言来说： .推广上述的说法，就得到一般函数在一点处连续的概念.1.定义1.设函数在的邻域内有定义，如果，则称在点处连续，并称点为函数的连续点.注意：（1）由定义1可见，函数在点处连续，则点必属于的定义域,这定义的前提有本质的区别；（2）如果在点处连续，则函数在点首先必有极限，而且极限值就是函数在点处的定义值，因此在连续点处的极限很好求；（3）如果在点处连续，则.2.连续的第一个等价定义：设函数在的邻域内有定义，如果对，使当时，就有 成立，称在点处连续，并称点为函数的连续点.注意：定义中，不再象函数极限定义中那样，要求（为何？）函数在一点处连续还有第二种等价定义，为此要先介绍一个新概念-增量.3.定义2.若自变量从初始值变化到终值,相应地函数值由变化到，则称为自变量的增量，并计为；而称为函数的增量，计为.注意：显然又可表示为：由此可见是的函数.4.连续的第二种等价定义：设函数在的邻域内有定义，如果，则称在点处连续，并称点为函数的连续点.二.左、右连续1.定义3.如果，则称在点处左连续，并称点为函数的左连续点；2.定义4.如果，则称在点处右连续，并称点为函数的右连续点.定理1.在点处连续在点处既左连续又，右连续.注意：连续函数的几何意义是：函数的曲线在点处没有断.三.函数在区间上连续定义5.若函数在开区间内每一点处都连续，则称函数在开区间内连续；若函数在开区间内每一点处都连续，而且在点处右连续，在点处左连续则称函数在闭区间上连续.注意：在在闭区间上连续的函数的图形特征是曲线位于上方的一段是连续不间断的.例1.证明常值函数在连续.证明：任取，下证在点处连续，即要证，也就是要证： .事实上，对要使，可取为任意正实数，则当时，就有 成立。所以，依定义，在点处连续.例2 .证明：在连续.证明：任取，下证在点处连续，即要证事实上，对，要使只须，取，则当时，就有，所以.下去自己模仿我证明在连续.例3证明：在连续.证明：（一）先证，即在连续.1 事实上，使，当时， 从而，当时，；当时， .因为，同理, .所以，由夹逼准则，2 当，设，则，. 于是，.（二）再证：对任意，有，即在 点处连续.事实上，所以，。故在连续.例4研究在处的连续性.第二节 初等函数的连续性一连续函数的运算性质1连续函数的四则运算性质定理1.若函数均在处连续，则 在处也连续。注意：（1）由定理1知，一切多项式函数在上连续；（2）一切有理函数均在上连续；（3）所有三角函数在其定义区间上连续；（解释一下定义区间的含义）2复合函数的连续性引理：设有复合函数.其中，且有在处连续，则证明：因为在处连续，即 所以，对使当时，有 （1）又因为，所以对上述的又使当时，有 -（2） 故对使当时，有 。所以，依定义，.注意：引理其实给出求函数极限时进行变量替换的理论依据： 例如:求.例1.证明：当都存在时，.证明： 定理2.设有复合函数，且在处连续，在处连续，则函数在处连续.证明：由引理，.所以，函数在处连续.3.反函数的连续性（引：连续函数的几何图象既然是一条连续曲线，反之亦然.如果连续函数存在反函数，则反函数的图象必是关于直线与函数对称的另一条连续的曲线.因此，连续函数的反函数必也是连续函数.定理3.若函数在上连续，且严格单调增（或单调减）.设 ，则函数存在反函数且反函数在或上也连续.注意：（1）该定理的证明要用到闭区间上连续函数的介值定理（将在第二节讲），相当烦琐，在此省去.（2）由连续函数的诸运算性质可得：基本结论：一切初等函数在其定义区间内均是连续的.二间断点及其分类下面研究点为的非连续点的情形，其中很大一部分是间断点.1 定义：如果有下述三种情况之一：（1）在点附近有定义，但在处无定义；（2）在点处有定义，但不存在；（3）在点处有定义，且存在，但在点处有定义，但则称点为的间断点。问：能否说不连续点就是间断点？1 间断点的分类（1） 称左、右极限都存在的间断点为第一类间断点，其又可细分为可去型（左极限等于右极限）与跳跃型（左极限不等于右极限）.（2） 称左、乐谱极限中至少有一个不存在的间断点为第二类间断点.例2.研究函数在处的连续性.解：不连续，属于第一类的可去型间断点.例3研究在处的连续性.解：第一类的跳跃型间断点.例4求出间断点并判断其类型.例5.求下列函数的间断点,并判断其类型.(1) (2)解:(1) 因为为初等函数,当时,均在的定义区间内,从而的间断点只有. 又因为故为的第二类间断点; 故为的第一类跳跃型间断点(2) 在上显然至多在处间断.由故为的连续点;由又无定义,故为的第一类可去型间断点;由 故为的第二类无穷型间断点.三.闭区间上连续函数的性质在坐标平面上，闭区间上连续函数的图象是一 条有始有终的连续曲线。因此，闭区间上连续函数有几个很好的性质，统称为连续函数的整体性.这些性质的几何意义都十分明显。它们的证明要用到实数集的连续性.（一）有界性与最值性1.定理4（有界性）若函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上有界.2.定理5（最值性）若函数在闭区间上连续，则函数在闭区间上能取到最大值M与最小值m,即分别，使（作图说明）.（二）介值性1定理6（零点定理）若函数在闭区间上连续，且异号，则在开区间内至少存在一点，使，称为的零点.注意：零点定理的几何意义是，在闭区间上连续的曲线，当它的 两个端点分别在轴的两侧（上、下侧）时，则此连续曲线与轴至少有一个交点.（作图）应用零点定理可判别某些方程根的存在性.例6.证明超越方程至少存在一个实根.证明：通过试算，取区间.考虑函数. 因为已知函数在区间连续.根据零点定理，超越方程至少存在一个实根.例7.证明：任意正数存在唯一正的n次方根.证明：首先证明存在性. 考虑函数.显然，函数在连续，使，又有.根据零点定理，在内至少存在一点，使，即正数存在正的n次方根=.其次，再证明唯一性。假设.（往证），即，有 . 因为和都是正数，所以，即正数的n次方根是唯一的.例8.证明任一实系数奇次方程至少有一个实根.解:设有一个奇次方程为其中,不妨设.令 (1)则 (2) (3)由,知,存在负数使;同理由,知,存在正数使.于是异号,由根的存在性定理知,在内至少有一个根,故任一实系数奇次方程至少有一个实根.例9.求(1) (2) .解: (1)(分子分母同乘以) (2) 原式. 例10.设在上连续,且.证明:对任何正整数,存在,使得 证明:(一)当时,取,则有即成立; (二)当时,令, (1)则有 (2)下面讨论:1.若中有一个为0,比如设则取,有2. 若中全都不为0,则必存在其中两个,比如,它们是异号的(否则所有的必然同号,则它们的和不可能等于0,即与(2)式矛盾!)因为在上连续,所以在上也连续, 由根的存在性定理知, 存在使,即2.定理7（介值性）.若函数在闭区间上连续，m与M分别是函数在闭区间上的最小值与最大值，c是m与M中间任意数，则闭区间上至少存在一点，使.证明：（定理6（零点定理）是定理7的特殊情况.因此构造一个函数，将定理7转化为定理6，从而可应用定理6）.(一).如果m=M，则函数在闭区间上是常数.显然，定理7成立;1 如果mM，根据定理5，分别，使.不妨设，即.已知.（1） 若或，则可取（或）；（2） 若。作辅助函，则 在上连续，且异号,根据定理6，在则在开区间内至少存在一点，使. 即，.注意：介值定理的几何意义是，在在闭区间上连续的曲线，在m与M之间任意一条平行轴的直线，必至少与连续曲线交于一点，该点的坐标为，其纵坐标c恰是的函数值.（作图）3.定理8.若函数在上连续，且严格单调增（或单调减）.设，则函数存在反函数且反函数在或上也连续.证明：只证严格增加的情况.首先证明反函数在连续.c,根据介值定理7，存在唯一的，使，或.，使.已知函数在上严格单调增加有 .则，对，有，即。由于反函数反函数也是严格增加的，故有.即，即因此，反函数在上也连续. 其次，同法可证，反函数在与分别是右连续与左连续.例11证明：有连续函数满足开普勒方程 证明：考虑函数。显然它是的连续函数;另一方面，设，则 （上述推导用到了），即。因此，函数是增函数.根据反函数连续性定理，它有连续反函数满足方程 第三节 单调函数的极限与连续性引:单调函数和连续函数一样是常用的一类重要函数,具有许多特殊性质和重要应用.本节主要介绍单调函数的极限的存在性、间断点的特点、连续性等内容.与单调数列的情况类似,单调函数的单侧极限(包括)总是存在的,即有定理一.设在的左邻域内单调递增(或递减),则存在,且(1)当在内有上界(下界)时, 为有限数;(2) 当在内无上界(下界)时, .证法一:(1)在中任取一严格单增数列,且,设单调递增有上界,则数列也单调递增有上界,因而收敛.记从而对任意的,有.对任意的存在自然数,使得当时, (1)取,则当时,总有,使得(因),于是 (2)故(2).因在内单增无上界,故任意的不是的上界,于是总存在,使得.令,则当时,即.证法二:仅考虑