线性代数与解析几何 课后答案 (代万基 廉庆荣)第6章习题答案

思考题思考题 6-1 1）正确。 2）不正确。Axb有可能无解，例如， 12 12 12 0 0 30 xx xx xx 有唯一解，但 12 12 12 1 2 31 xx xx xx 无 解。 3）正确。因为 (,)mrrmAA b， (,)rrA bA，所以Axb一定有解. 4）正确。因为 rmnA，所以Ax0有非零解. 习题习题 6-1 1.（1）0k 或1k （2）2k 2.（1）当0k 且2k 时，有唯一解；当0k 或2k 时，无解；当2k 时，有 无穷多个解。 （2）当1k 且2k 时，有唯一解；当2k 时，无解；当1k 时，有无穷多个 解。 （3）当0a 且ab时，有唯一解；当0a 时，无解；当0ab时，有无穷多个 解。 （4）当1k 且2k 时，无解；当1k 时，有唯一解；当2k 时，有无穷多个 解。 3. 当2k 时，向量b能由向量组 123 ,a a a线性表示。 4.解：解：方程组 123 123 2 123 0 20 40 xxx xxax xxa x 与方程 123 21xxxa有公共解，就是方程组 123 123 2 123 123 0 20 40 21 xxx xxax xxa x xxxa 是有解的。 22 11101110 1200110 , 1400310 12110101 aa aa aa A b 22 11101110 01010101 031000133 01100011 aa aaa aaa 22 11101110 01010101 00110011 0013300043 aa aaaa aaaa 当1a 且3a 时，无解；当1a 时，有无穷多个解；当3a 时，有唯一解。 5. 证法证法 1：由ABO，得( )( )()0rrkrABAB，( )( ).rrkAB 因为A和B都是非零矩阵，所以( )1, ( )1.rrAB因而( )rkA且( )rkB. 证法证法 2：由ABO可知，B的列向量都是方程组Ax0的解。因为B是非零矩阵， 所以方程组Ax0有非零解，( )rkA. 6. 证证法法 1：由() m n rm A可知,存在可逆矩阵P和Q，使得 , m PAQEO， , mm mm EE PAQEOE OO ， 1m E AQP O ， m E AQPE O 令 m E BQP O ，则B是秩为 m 的 nm 矩阵，ABE. 证法证法 2:要证存在矩阵B使ABE，只需证明方程组(1,2, ) i inAxe是有解 的。 因为 (,) i mrrmAA e， (,) i rrA eA，所以 i Axe一定有解。 设 i b是方程组 i Axe的解，并令 12 , n Bb bb，则B是秩为 m 的 nm 矩阵， 且ABE. 7. 证：证：充分性 设 1 122 , nn lllbaaa 1 122 , nn sssbaaa 两式相减，得 111222 ()()() nnn lslslsaaa0. 由于向量组 12 , n a aa线性无关，因此 0 (1,2, ) ii lsin，即(1,2, ). ii lsin 故向量b由 12 , n a aa线性表示的表达式是唯一的。 必要性 设向量b由向量 12 , n a aa线性表示的表达式唯一，并设 1 122 . nn kkkbaaa （1） 下面用反证法来证向量组 12 , n a aa线性无关. 设 12 , n a aa线性相关，则存在不全为零的数 12 , n c cc使得 1 122nn cccaaa0. （2） 将（1）和（2）相加，得 111222 ()()(). nnn kckckcbaaa 因为 12 , n c cc不全为零，所以上式与（1）不同，这与b由 12 , n a aa线性表示的 表达式唯一矛盾，故向量组 12 , n a aa线性无关. 思考题思考题 6-2 1.一般不唯一。 2.Ax0的两个不同的基础解系之间是等价的。 3.mn 型方程组Axb有解时，自由未知数的个数等于( )nrA. 因为,A b中无关行向量（即方程组Axb中无关方程）的个数为( )r A个，对方程 组Axb化简，最后剩下( )r A个方程，一个方程能确定一个未知数，多出( )nrA个未 知数，所以自由未知数的个数等于( )nrA. 4.一般不唯一。按例 6-5 中的方法选择自由未知数的好处是：很好地利用了前面的化简 结果 ，这样做能使后面的计算简便易行。 习题习题 6-2 1.该方程组的基础解系为 11 23 , 10 01 2.（1）通解为 12 21 12 10 01 kk ，基础解系为 21 12 , 10 01 。 （2）注：将该方程组化简，得 123 4 20 0 xxx x ，让 12 ,x x为自由未知数。 通解为 12 10 01 21 00 kk ，基础解系为 10 01 , 21 00 。 (3) 通解为 1 2 1 0 k ，基础解系为 1 2 1 0 。 3.（1）通解为 12 215 100 011 010 kk ； （2）通解为 12 352 243 100 010 kk ； （3）通解为 12 241 131 100 010 kk . 4.解解：因为 123 ,v v v为方程组Ax0的基础解系，所以 123 ,v v v是方程组Ax0的 解，线性无关，且Ax0的基础解系含 3 个向量。 记 121 muvv, 232 kuvv, 313 2uvv 显然， 123 ,u u u也是方程组Ax0的解，个数也是 3 个，只需要求 123 ,u u u线性无 关即可。 123123 ,u u uv v v P，其中 102 10 01 m k P 现在需要0P，解得 1 . 2 mk 5.解：解：因为 234 ,a a a线性无关， 123 2aaa，所以( )3rA， Ax0的基础解系 只含一个向量。 由 123 2aaa，即 1234 20 aaaa0，可知1, 2,1,0 T 是Ax0的解。 由 1234 baaaa，可知1,1,1,1 T 是Axb的特解，故Axb的通解为 1, 2,1,01,1,1,1 . TT kx 6.解：解：由 4 4 ()3r A可知，Ax0的基础解系只含一个向量。 因为 123 , 是Axb的解，所以 123 ,()Ab A b.于是， 123 2()A0， 123 2()3,4,5,6 T 是Ax0的解。 Axb的通解为3,4,5,62,3,4,5. TT kx 7.证：证： （1 1）因为 1 1 1 s i i k ，所以 112211112211 () ssss kkkkkk AuuuAuAuAu 121 () s kkk bb 112211ss kkk xuuu是Axb的解。 设c是Axb的任一解，则存在数 12 , , s l ll，使得 11221112211 (1) sssssss llllllll cvvvuuuuu， 令 11 1, ss lll 则 11 1, ss lll 且 112211.ssss llll cuuuu 所以Axb的通解为 112211,ss kkk xuuu 其中 121 , s k kk 为任意常数，且 1 1 1 s i i k ； （2）设 112211 , ssss kkkk vvvu0用A乘以该式，得 1 , s k b0 因为,b0所以 1 0. s k 这时， 1122 . ss kkkvvv0 由 12 , s v vv线性无关，得 12 0. s kkk 所以 121 , ss v vv u线性无关。 （3）设 112211 , ssss kkkk uuuu0则有 11221211 (), sssss kkkkkkk vvvu0 用A乘以该式，得 121 (), ss kkkk b0 因为,b0所以 121 0. ss kkkk 这时， 1122 . ss kkkvvv0 由 12 , s v vv线性无关，得 12 0. s kkk 再由 121 0 ss kkkk ，得 1 0. s k 所以向量组 121 , s u uu线性无关. 8.（1）证：证：必要性 设B的列数为n，由() AB x0与Bx0同解，得 ()( )nrnrABB，即()( )rrABB. 充分性 由()( )rrABB可知，() AB x0与Bx0的基础解系所含向量个数相 同。显然，Bx0的解都是() AB x0的解。因而，() AB x0与Bx0的基础解系相 同，故() AB x0与Bx0同解。 (2) 证：证：由 mn 矩阵A的秩为r知，Ax0的基础解系所含向量个数为sn