线性代数与解析几何 课后答案 (代万基 廉庆荣)第二章书后习题2

1 习题习题 2-1 1. 32 A=6. 2. 用行列式的定义计算下面的行列式. (1)35;(2)256;(3)8;(4)29. 思考题思考题 2-2 1.若对方阵A进行一次对调变换得到B,则 AB；若对方阵A进行一次倍乘变换（假 设第i行或第i列乘以数k）得到B,则kBA；若对方阵A进行一次倍加变换得到B, 则.AB 2.0.A 3.(1)不正确。例如，设 11121112 21222122 , aabb aabb AB则 11111212111212111212 21212222212222212222 ababaabbab ababaabbab AB 111211121112111211121112 212221222122212221222122 aaabbabbabba aaabbabbabba AB （2）不正确。设A的阶数为n，则( 1)n AA （3）不正确。例如，设 12 00 A，则0,A但.AO 4. , 1,( ),( )1 i jii j kkk EEE 5. 性质 2-2 讲的是方阵A的第i行（列）的数与第i行（列）对应的代数余子式的乘积之和 等于A的行列式；性质 2-7 讲的是方阵A的第i行（列）的数与另一行（列）对应的代数余 子式的乘积之和等于 0. 习题 2-2 1. 21 11231123123 det( )3 , 39,9,18. cc a aaaa aa aa a a A 2 2. 1312 23 1232331223123123 2 3,2,3,3 ,3,6 cccc cc aaa aa aaa a aa a aa a a 3. 321123211321212311223 ,nm a a a bba a a ba a a ba a a ba a b a 4.证：证： （1）将第 2 列和第 3 列都加到第 1 列，得 0 00. 0 abbccabcca bccaabcaab caabbcabbc （2） 1111111111111111 2222222222222222 3333333333333333 abbccaabccabbcca abbccaabccabbcca abbccaabccabbcca 11111111111111111 22222222222222222 33333333333333333 2 abccbccaabcbcaabc abccbccaabcbcaabc abccbccaabcbcaabc （3）设A的阶数为n，则n为奇数.由A是反称矩阵,得 T AA.两边取行列式，得 ,( 1), Tn AAAAAA 故0.A 5. 先按行提公因式，在按列提公因式，得 2 11 112 1 211 2 21 2 122 222 2 1122 nn nn nnnnnnn a ba bba bb a b ba ba b b a b ba b ba b 11 112 21 21 122 22 1 2 1 12 2 nn nn n nnnnn a ba ba b a ba ba b bbb a ba ba b 11121 21222222222 1212 12 n n nn nnnn aaa aaa b bbb bb c aaa 6 （1）解：解：先按行提公因式，在按列提公因式，得 111 1114 111 abacae bdcddeabcdefabcdef bfcfef 3 (2) 10310020431004314 1992003951200510012520 30130060013000130 提高题提高题 2-2 1.,AB ,22, , , 2( , , , , , )2()6 AB 2. 1231231231232323 ,24 ,36,3 ,25Baaa aaa aaaaaa aaaa 1232331223123 ,3,2 aaaaaaaaaaa aa 3.根据性质 2-7，得 4142434441424344 11110AAAAAAAA 4.(1) 1 32 34 3 ( 1) ( 1)52 ( 1)30 1 ( 1)415D . (2) 1 42 44 4 9 ( 1) ( 1)52 ( 1)01 ( 1)40, 2 aa . 5.（1）对第 2 行和第 4 行分别应用性质 2-2 和性质 2-7，得 2122232425 2122232425 4()3()4, 2()()0 AAAAA AAAAA 解得 212223 2AAA . （2）对第 2 行和第 4 行分别应用性质 2-7，得 3 13 23 33 43 5 3 13 23 33 43 5 4 ()3()0 , 2 ()()0 AAAAA AAAAA 解得 313233 AAA=0. 思考题思考题 2 2- -3 3 1. 21 2rr表示第二行先乘以 2，再用第二行减去第一行， 21 2 2323 1 12012 rr . 2.对行列式进行对调变换和倍乘变换时， 需要在得出的行列式的前面添加负号和系数， 对行 列式进行初等变换时， 关心的是最后的数值； 对矩阵进行初等变换时不需要添加负号和系数， 4 对矩阵进行初等变换时，关心的是用何种变换进行化简，最后化成何种形式。 3. k和l需满足 kla klb ，解方程组可求出k和l. 习题习题 2 2- -3 3 1. (1)(1) 1 22 12 (1) ( 1)!(2) ( 1)(3)1( 1) n nn n n n nx xx 1 1112 222 (4)(5) ()()abcdeabcda bc d (6)3 (7)20(8) 31(9)()()()()()()ba ca da cb db dc (10)()()()()()()ba ca da cb db dc 2. 11 12 (1) (1) (21)( 1)(2)1(3) 2 nn n n n naaass (1) 1 2 (4)2(2)!(5)1(6) ( 1)(1) () n n n nnanb ab 12 11 1 (7)()(8)(1) n jin ij ni i xxa aa a (注：这里假设 12 , n a aa都不等于 0) 3.（1）先按第一行展开，再把 1 的余子式按第一列展开。 1222 001 00 000 det( )1 ( 1)(1) 00 000 1000 100 nnnnn a a a aaaaa a a a A (2) 证：证：用归纳法证明。记该行列式为 n D. 当1n 时， 11 Dxa，结论成立。 当2n 时， 2 212 21 1x Dxa xa axa ，结论也成立。 假设结论对1n成立，即 12 1121 nn nn Dxa xaxa ，下面对n的情况加以 证明。 5 12 1121 1221 -1000 0-100 0000 () 000-1 nn nnnnnn nnn x x x DxDax xa xaxaa x aaaaxa 1 11 nn nn xa xaxa 所以结论正确。 （3 3）先用第 2 至第n行都减去第一行可化成箭形行列式。 11 212 313 1 00 00 00 nn xaaaxaaa axaaaxxa aaxaaxxa aaaxaxxa 1 2 113 1 000 (1)() 000 000 n k k nn k kk k n a aaa xa xa a xa xaxa xa （4） 111 (1) 2 111 111(1)() 1(1)() ( 1) (1)()1 (1)()111 nnn nnn n n nnn nnn aaan aaanaaan aaanaaan aaan (1) 2 11 ( 1)( 1)!. n n nn k kk kk 思考题思考题 2-4 1. 正确。因为=ABA BB ABA. 6 2. 能。设 10 100 ,01 , 010 00 AB则1,0,ABBAABBA. 3.能。例如， 1000 001010000100 1, 010000100001 0001 ABCD AB A DB C CD .从中可以看到，不能把行列式的所有结论都推广到分块矩阵。 习题习题 2-4 1.(1) 4(2) 2(3) 0(4) 10 2. ( 1)6 ,( 1)6, mnmn OBOB AOAC ( 1)6. mn DB AO 提高题提高题 2-4 1. ()