近五年(08-12)山东卷高考概率统计部分试题分析

新课标下高考中的概率与统计,一、命题依据高考研究的主要视角,考试大纲和考试说明既是命题的依据，也是考试复习的主要依据。课程标准、考试大纲和考试说明的关系：在考试内容的范围方面，课程标准规定的范围较大，考试大纲依据课程标准来规定考试范围，可以小于课程标准的范围。考试说明是对考试大纲的进一步细化，对试卷结构和使用的题型进行具体的说明。,二、课标考纲对概率、统计的要求,（一）必修部分（24课时） 1.统计（16课时） （1）随机抽样 理解随机抽样的必要性和重要性. 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法. （2）用样本估计总体 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点. 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差. 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.,二、课程标准中概率与统计的内容与要求 （一）必修部分 1. 统计（约16课时） （1）随机抽样 能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。 结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。 在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。 （2）用样本估计总体通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会他们各自的特点。, 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想. 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题. （3）变量的相关性 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系. 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 2.概率（8课时） （1）事件与概率 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别. 了解两个互斥事件的概率加法公式.,（2）古典概型 理解古典概型及其概率计算公式. 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. （3）随机数与几何概型 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率. 了解几何概型的意义.（二）文科选修部分（14课时） 统计案例通过典型案例了解回归分析的思想、方法，并能初步应用回归分析的思想、方法解决一些简单的实际问题.通过典型案例了解独立性检验的思想、方法，并能初步应用独立性检验的思想、方法解决一些简单的实际问题.,（三）文科选修部分（14课时） 统计案例通过典型案例了解回归分析的思想、方法，并能初步应用回归分析的思想、方法解决一些简单的实际问题.通过典型案例了解独立性检验的思想、方法，并能初步应用独立性检验的思想、方法解决一些简单的实际问题.,三、课标与大纲中概率统计内容与编排比较研究,1、与大纲版比较课标版文科增删内容 增加了茎叶图、随机数及随机模拟、几何概型、系统抽样、变量间相关关系、回归分析思想和独立性检验的统计思想，统计部分增加内容较多，把统计由选修变为必修，删去了相互独立事件的积概率公式和独立重复试验内容，课时由21课时增加到36课时，增加了15课时，主要增加内容和课时为统计部分,2、特别提示: 文科因不再学习计数原理和排列组合知识，故文科古典概型计算只能用列举法计算包含基本事件的个数，故而考试中涉及的基本事件数一般会很少，很容易计算，不需要补充排列组合知识.,（1） 文理科都把统计由选修变为必修，并且先学统计后学习概率，使学生在学习的过程中可以接触到大量的统计案例，更好的认识随机事件的概率，认识周围的随机现象. 概率学习的重点是培养学生对随机现象的认识，突出统计的思想,而不是放在计数原理上.,3、教学内容及顺序变化的意义,必修部分增加了随机数的产生，用随机模拟的方法估计概率.这样可以利用信息技术帮助学生理解随机试验的随机性和规律性，体会样本估计总体的误差.,选修部分增加了统计案例，这部分内容主要是通过一些简单的统计案例，让学生了解一些统计思想，比如独立性检验的思想，假设检验的思想，回归分析的思想.知道统计方法的有效性，局限性和可改进性，体会统计推断可能犯错误.,课程标准突出强调概率统计思想. 让学生体会用统计的思想方法处理问题的全过程（抽样，整理数据，提取数字特征，给出统计结论，对结论的分析）.,数据处理能力是新课标提出的一个新的能力要求。在“数据处理能力”中提出“会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断.数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题”.,四、0812山东卷文科中概率统计概述.,从表中看，每年至少一个小题和一个大题，总分值为1721分，题型稳定，分值固定，大题08、10、11三年为18题，09、12两年为19题，位置相对固定，难度为中档题，且都是应用题，材料背景基本相同，除独立性检验、茎叶图、随机模拟外，其余知识点都考过. 小题主要考查统计的有关知识(如抽样方法、统计图表、样本数学特征、线性回归分析等)和几何概型，几何概型往往与其它章节的知识进行综合考查，一般属于中档题。解答题的命题重点是古典概型、互斥事件的概率，有时与统计的有关知识综合进行考查。 加大了统计知识、方法的考查，与统计知识和课时的增加相适应。08 10年分值为4 5分， 11 12年分值为9分,五、概率、统计考点的解析,1.抽样方法,例2（2009山东文19）汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；,例1（2011山东文13）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为16 ,高考中抽样方法考查的重点为分层抽样和系统抽样方法及抽样方法涉及的概率问题,简单随机抽样、系统抽样、分层抽样都是不放回等可能抽样，分层抽样是按比例抽样，系统抽样是等距离抽样，常为小题或大题的第1小题.,按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆. （）求z的值；（）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本一均数之差的绝对值不超过0.5的概率.,2.样本估计总体,样本频率分布表、频率分布直方图、折线图是样本数据表示的方式，会根据样本数据列频率分布表、作频率分布直方图、折线图，能根据这些统计图表提取样本平均值、方差（标准差）、中位数、众数，对总体进行估计，对两个同类型总体进行评价.高考中可以考小题、也可以考大题或为大题的给出条件.,例3（2008年文9）从某项综合能力或抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为,(A) (B) (C)3 (D),【分析】本题是以频率分布表形式给出样本数据，考查提取样本方差的能力.,例4（2010年文6）在某项体育比赛中一位同学被评委所打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均分值为和方差分别为（A） 92，2 （B） 92 ，28（C） 93，2 （D）93，28,【分析】本题是以体育比赛为背景给出样本数据，考查提取样本平均数和方差的能力.,例5（2012山东文4）在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是 (A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差,例6（2012山东文14） 右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是20.5，26.5，样本数据的分组为20.5，21.5）， 21.5，22.5）， 22.5，23.5）， 23.5，24.5）， 24.5，25.5）， 25.5，26.5.已知样本中平均气温低于22.5的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5的城市个数为9.,例7（2009全国课标18）,【分析】本题考查分层抽样方法及其概率与相互独立事件的概率计算，根据频率分布表作直方图，根据直方图对个体差异进行评估、估计总体的平均值.,它的思路是将数组中的数按位数进行比较,茎叶图是用来表示样本数据分布的一种方法,茎叶图中数据的茎和叶的划分,可根据数据的特点灵活地决定。用茎叶图表示数据有两个优点：一是统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示.,3.茎叶图（山东卷还未考过）,对茎叶图分析的要从中位数、众数、平均数、对称性、集中度（方差）等方面进行分析，特别注意在计算中位数时，若中间数是两个，则取其平均值.考题常为小题或为大题已知的给出数据形式，考查数据处理能力.,例8（2008全国课标文理16）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：甲品种：271273280285285 287292294295301303303307 308310314319323325325 328331334337352乙品种：284292295304306307312313315315316318318 320322322324327329331333336337343356由以上数据设计了如下茎叶图根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： ；,【解析】1乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度） 2甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大） 3甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm 4乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀,【分析】本题是考查对茎叶图的分析.,4.变量间的相关关系、回归分析,能根据数据画出散点图，根据散点图判断两个变量间的相关性，能根据线性相关系数公式（不要求记）计算变量间的线性相关系数，选择合适的回归模型，利用线性回归方程系数公式（不要求记忆）求出回归方程，会作回归分析和利用回归方程进行预测，在考试时，会给出公式，可以考小题，也可以考大题，要重视相关系数与回归方程的计算的训练.注意回归模型得到的预测值为可能值，函数模型得到的值是准确值，线性回归方程过样本中心点,例9（2011年文8）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表,根据上表可得回归方程,中的,为94，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A636万元 B655万元 C677万元 D720万元,【分析】本题考查变量相关概念及散点图.,例10（2009年全国新课标3）,例11（2011安徽文20）,【分析】本题考查回归直线方程的计算及利用回归方程进行预测，考查运算能力，是中档题.,5.独立性检验（近5年山东卷未出现过）,独立性检验是假设检验的一种，不需要给学生补充独立性检验的理论依据，只需要学生了解假设检验的思想，掌握独立性检验的方法。 独立性检验是假设需要检验的两个分类变量无关，根据统计数据列出两个分类变量22列联表，根据K2公式计算出K2的观测值K，根据K2表找出临界值 及其对应的概率P,若K ，则有1-P以上的把握认为这两个变量相关，即认为这两个变量相关出错的概率不超过P，若K ，则没有1-P以上的把握认为这两个变量相关.,例12 ( 2011湖南文5),【分析】本题考查对独立性检验的意义，是简单题.,例13（2010全国课标卷19）,6、古典概型(近5年山东卷每年必考每年一题）,文科：只学习等可能事件及简单互斥事件的概念及互斥事件的概率公式，等可能事件的概率计算只能用列举法计算所求事件所含基本事件个数，可以考小题，也可考大题.在近5年山东卷中全部以大题形式出现，每年一题，题目的背景各不相同，常结合随机抽样、数字特征计算、样本估计总体等出现，但求解过程严格按照课标和考纲要求，重点考查考生对基本概念基本方法的认识和理解，难度不大，解答时，理解题意，列出基本事件空间是关键。,例14（2008年山东文18）,现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组.（）求A1被选中的概率;（）求B1和C1不全被选中的概率.解：（）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间=(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C2),(A3,B1,C2),(A1,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2) 由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的.,以08年奥运会为背景，考查等可能事件的概率，互斥事件、对立事件，具有很强的时代特色。,例15 （2009山东文19）汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）；,按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆.（）求z的值；（）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；（）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本一均数之差的绝对值不超过0.5的概率.,【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.,7、几何概型与随机模拟，（随机模拟山东卷未出现过）,几何概型是每个事件的发生只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例的概率模型. 对几何概型的计算，首先要弄清是长度概型或面积概型或体积概型，计算事件A构成的长度（面积或体积）及试验的全部结果所构成的区域的长度（面积或体积），其之比就是事件A的概率，可以考小题，也可以考大题，注意与随机模拟、积分等知识的综合. 随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。要了解随机数的意义，能运用随机模拟方法估计概率. 在考题中常给出一组随机数，近似计算某事件的概率.,例16（2009年山东文11)在区间 ，上随机取一个数x, cos x的值介于0到 之间的概率为 (A) (B) (C) (D),【命题立意】:本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x的取值范围,得到函数值的范围,再由长度型几何概型求得.,例17 (09年福建理科8)已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )A0.35 B 0.25 C 0.20 D 0.15,【分析】本题考查随机模拟方法估计概率.,【解析】从20组随机数中,数出191,271,932,812,393共5组,则该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 520=0.25. 故选B,1.概率考查的主要内容是古典概型、几何概型、互斥事件的概率。2.统计以抽样方法、对频率分布直方图的认识、均值与方差的计算为主。3.题型可能是2个小题和一个大题，大题为中档偏易。,六、2013年高考展望:,【教学建议】,综合分析近年的高考命题特点，结合新的课程标准和考试大纲，在概率统计教学中，做好基础知识、基本方法的教学，加强下列两种情形教学：（1）以统计知识为核心的实际问题，涉及有关抽样方法、茎叶图、频率分布表、直方图、折线图、线性回归等知识与方法的教学，同时注重问题的真实性情景.（2）以实际问题为背景，涉及有关古典概型、几何概型概率等问题计算.,例 （2009辽宁文20）,【分析】本题考查古典概型及几何概型的计算.,二、课程标准中概率与统计的内容与要求 （一）必修部分 1. 统计（约16课时） （1）随机抽样 能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。 结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。 在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。 （2）用样本估计总体通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会他们各自的特点。,通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。 能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。 形成对数据处理过程进行初步评价的意识。 （3）变