齐次方程的自由振动与输运问题

第三章分离变量法,本章中心内容,用分离变量法求解各种有界问题；,本章基本要求,掌握有界弦的自由振动解及其物理意义,着重掌握分离变量法的解题思路、解题步骤及其核心问题-本征值问题,掌握求解非齐次方程的本征函数展开法,掌握将非齐次边界条件齐次化的方法,偏微分方程泛指同一类的物理规律，因此称为泛定方程。,*本章具体内容,1、什么叫分离变量法,2、齐次方程的分离变量法（1）本征值、本征函数的概念（2）四种边界条件下的本征值、本征函数,3、非齐次方程的分离变量法（1）简单非齐次边界条件情况的处理（2）傅里叶级数法本征函数法（3）冲量定理法（4）非齐次边界条件的一般处理方法,偏微分方程若附加上边界条件、初始条件的限制，则物理过程（解）就唯一确定，此时便构成了定解问题。,分离变量法（又称为本征函数展开法）是解偏微分方程定解问题最常用的重要方法,基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题,3.1齐次方程的分离变量法,一、两端固定弦的自由振动问题,研究两端固定的均匀弦的自由振动，即定解问题,在物理上求解该类问题时，常用驻波法。即是利用两列反向行进的同频率的波形成驻波的求解方法。一般形式为：,设,代入上述波动方程和边界条件得,对于驻波，没有波形的传播，各点振动的位相不依次滞后。即按照同一种方式随t振动，表示为T(t)。各点的振幅X随x位置变化，表示为X(x),用遍除各项即得,两边相等显然是不可能的，除非两边实际上是同一个常数，把这个常数记作-,这可以分离为关于X的常数微分方程和关于T的常微分方程，且边界条件也同样进行分离,1、在0的情况,方程的解是,只有才能保证，方程有解唯一的可能,是,（n为整数）,此时,（C2为任意数值）,再看关于T的方程,这个方程的解,分离变数的形式解,(n=1,2,3,),一般解为：,现在要求出叠加系数和,满足初始条件,方程左边是傅里叶正弦级数,这就提示我们把右边的展开为傅里叶正弦级数，然后比较傅里叶系数,解的物理意义,特解改写为,驻波叠加,振幅:,频率:,初位相:,波节:,波腹:,点数为2，3，4的驻波形状,（成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的,所以分离变量法又称驻波法各驻波振幅的大小和位相,于是我们也可以说,解,是由一系列频率不同,的差异，由初始条件决定，而圆频率,与初始条件无关，所以也称为弦的本征频率,中最小的一个,称为基频，,相应的,称为基波,称为谐频，,相应的,称为谐波,基波的作用往往最显著,偏微分方程,一方面，把分离变数形式的试探解代入偏微分方程,从而把它分解为几个常微分方程,问题转化为求解常微分方程；另一方面,代入齐次边界条件把它转化为常微分方程的附加条件,这些条件与相应的常微分方程构成本征值问题。虽然我们是从驻波引出解题的线索,其实整个求解过程跟驻波并没有特殊的联系，从数学上讲，完全可以推广应用于线性齐次方程和线性齐次边界条件的多种定解问题。这个方法，按照它的特点，叫作分离变数法。,用分离变数法得到的定解问题的解一般是无穷级数,不过,在具体问题中,级数里常常只有前若干项较为重要,后面的项则迅速减小,从而可以一概略去。,九种齐次边界条件,三、傅立叶级数法：,对于前面所研究的问题，参照边界条件即可将,展成傅立叶正弦（余弦）级数，只是傅立叶系数不是常数，而是t的函数T(t),如前面例题：由边界条件可得：,设：,代入方程得：,代入初始条件可得:,的值。因为傅立叶级数法的基本函数是分离变量法的本征函数，所以傅立叶级数法不是独立的。,作业布置：P2011、5、7,1、磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等器件的核心是两端自由的均匀杆，它作纵振动。研究两端自由棒的自由棒的纵振动,即定解问题,【解】,设并代入方程得,现用遍除各项即得,如果则,现确定积分常数,因此否则方程无解，只有,本征函数,现在需要考虑的情形，显然，对上述本征值、,本征函数都满足。,代入T的方程和,其解,其中均为独立的任意常数。,由初始条件得,把右边的函数展成傅里叶余弦级数,比较两边的系数,一般解为,设：初始时刻杆的一端温度为,零度,另一端温度为，杆上温度梯度均匀,零度的一端,保持温度不变,另一端跟外界绝热,试求细杆上温度的变化。,【解】杆上温度满足下列泛定方程和定解条件,试探解,代入方程和边界条件得,2、有界长杆的热传导问题,仅讨论的情况,C2是任意常数，,本征值,关于T的方程,只有,相应的本征函数,本征函数,确定系数,物理问题的通解便是,可以看出，随着t的增大级数解收敛得很快,t越大,级数收敛越快。,例：已知一长为L的细杆，杆的初始温度,保持杆的一端温度为,，另一端则有强度为