考研数学二必背公式及知识点(自己精心总结整理)

基础知识 因式分解公式：-=(-b)( 1+2b+2+1) ( n 为正偶数时)-=(+b)( 1-2b+2-1) ( n 为正奇数时)+=(+b)( 1-2b+-2+1) 二项式定理：( + )= =0 不等式： (1) a,b 位实数，则 1|ab| 2+ 2；2 | | | + |；3 | | |. (2) ,0, 则 1 1+2+ 12 取整函数：x-1xx 三角函数 和差化积;积化和差(7)： sin+sin=2(sin+ 2 )(cos 2 ) sincos=1 2(sin + 2 +cos 2 ) sin-sin=2(cos+ 2 )(sin 2 ) coscos=1 2(cos + 2 +cos 2 ) cos+cos=2(cos+ 2 )(co 2 ) sinsin=-1 2(cos + 2 -cos 2 ) cos-cos=2(sin+ 2 )(sin 2 ) 重要三角公式 1+2=2 1+2=2 2 = 2 2=2-2=1-22=22-1 tan( )= 1tan cot( ) = 1cotcot cot+cot tan 2= 1 = 1+= 1 1+ cot 2= 1= 1+ =1+ 1 万能公式： = 2 ( 0,当 0|x- x0|0,当 0(x- x0)0,当 0( x0- x)0,当|x|X 时,恒有|f(x)-A|0, X0,当 xX 时,恒有|f(x)-A|0, X0,当-xX 时,恒有|f(x)-A|0, N0,当 nN 时,恒有|Xn-A|0,使 f(x)在 U=x00. 2(戴帽)若存在 x0的一个去心邻域，在该邻域内 f(x)()0，且 0 ()=A()，则 A0. 计算 极限四则运算：设 0 ()=A(), 0 ()=B(),则 1 0 () ()=AB. 2 0 ()()=AB. 3 0 () ()= (B0). 等价无穷小（9） sin 1 cosx 1 2 x2 sin 1 (1 + x) 1x ln(1+x) 1 = 1 , = 1, (a0) , 0+ () = 0 , + = 0 ( 0, 0) 1 + 2 + + = = 1,2,; 0 洛必达法则：“ ”型： 1 0 ()=0, 0 ()=0; 2f(x),g(x)在 x0的某去心领域内可导,且 g(x)0 3 0 () ()=A 或为. 则 0 () () = 0 () () “ ”型： 1 0 ()=, 0 ()=; 2f(x),g(x)在 x0的某去心领域内可导,且 g(x)0 3 0 () ()=A 或为. 则 0 () () = 0 () () 注 洛必达法则能不能用，用了再说. . 数列极限存在准则： 1. 单调有界数列必收敛 2.夹逼准则：如果函数 f(x),g(x)及 h(x)满足下列条件： (1) g(x)f(x)h(x); (2)limg(x)=A,limh(x)=A, 则 limf(x)存在，且 limf(x)=A. 两种典型放缩： 1max =1 nmax; 2nmin =1 nmax 选取的依据是谁在和式中去决定性作用 海涅定理（归结原则） ：设 f(x)在 (0,)内有定义，则 0 ()=A 存在对任何以x0为极限的数列 （0） ， 极限 ()=A 存在. 连续的两种定义： （1） 0 = 0(0 + ) (0) = 0 （2） lim 0 () = (0 ) 间断点：第一类：可去、跳跃；第二类：无穷、振荡 一元微分学 定义 导数定义式：f (x0)= x=x0= 0 (0+)(0) = 0 ()(0) 0 微分定义式：若y=A+o(),则 dy=A. 可导的判别: (1) 必要条件:若函数 f(x)在点x0处可导,则 f(x)在点x0处连续. (2) 充要条件: ( 0)存在 +(0) ,(0) 都存在，且+(0) =(0) . 注通俗来说就是连续函数不一定可导；函数在一点可导且在该点连续，但在这 点的某个邻域未必连续；函数可导，则其导函数可能连续，也可能震荡间断. 可微的判别： 0 =0，则 f(x)可微。 （一元函数可微即可导） 计算 几个不常见的求导公式：(arccos x)=- 1 12 (arccot x)=- 1 1+2 莱布尼茨公式：(uv) (n)= 0u(n)v+ C1 nu(n-1)v+ uv(n) 常见初等函数 n 阶导数：()(n)=lnna ( 1 +) (n)=(1) ! (+)+1 sin(ax+b)(n)=ansin(ax+b+ 2 ) cos(ax+b)(n)=ancos(ax+b+ 2 ) ln(ax+b) (n)=(1) 1(1)! (+) (n1) 构造辅助函数：要证()+() ()=0,只要构造 F(x)=f(x) ()，证明 ()=0. 十大定理 最值定理：如果函数 f(x)在闭区间a,b上连续，则 () ,其中,分别 为()在a,b上的最小值和最大值. 介值定理：如果函数 f(x)在闭区间a,b上连续，m,M 是 f(x)在该区间上的最小 值和最大值，则对任意的, (a,b),使得()=. 零点定理：如果函数 f(x)在闭区间,上连续，且满足 f(a)f(b)0,则 y=f(x)在 I 上严格单调增加； 若 y=f(x)在区间 I 上有f(x) 0,右邻域f(x) 0,则 f(x)在 I 上是凹的 若在 I 上f(x) 0,则 f(x)在 I 上是凸的 补充定义：设 f(x)在(a,b)内连续，如果对(a,b)内任意两点1,2, (0,1),有 fx1+(1- ) x2f(x1)+(1- )f(x2),则称 f(x)在(a,b)内是凸的;则是凹的. 拐点判定： （3） 第一充分条件：设 f(x)在点 x=x0处连续,在点 x=x0的某去心邻域 (x0,)内二阶 导数存在,且在该点的左右邻域内f(x)变号,则点(x0,f(x0)为曲线上的拐点. 第二充分条件：设 f(x)在 x=x0处三阶可导，且 ( 0)=0, ( 0) 0,则 （0,(0)为拐点. 第三充分条件：设 f(x)在 x=x0处 n 阶可导，且() ( 0)=0 (m=2,n- 1), () ( 0) 0(n2),则当 n 为奇数时，(0,(0)为拐点. 微分几何应用 曲率：y=y(x)在(x,y(x)处的曲率公式为 = | (+) 曲率半径：R= 曲率圆：( )2+ ( )2= 2， = (1+2) 2 ， = + 1+2 2 一元积分学 不定积分 定义：设函数 f(x)定义在某区间 I 上，若存在可导函数 F(x),对于该区间上任一点 都有F(x) = f(x)成立，则称 F(x)在区间 I 上的一个原函数，称()=F(x)+C 为 f(x)在区间 I 上的不定积分。 原函数存在定理：连续函数 f(x)必有原函数 F(x)；若间断函数有原函数，也只能 为振荡间断。 定积分 定义：设函数 f(x)在区间a,b上有定义，若存在定积分，则定积分 () 的 值为曲边梯形的面积(x 轴上方取正，下方取负。 定积分的精确定义： () =lim ( + ) . =1 注任意切分，任意取高 定积分存在(可积)定理： 1充分条件 ()在区间,上连续 ()在区间,上有界，且只有有限个间断点,则 () 存在. 2必要条件 可积函数必有界. 定积分的性质：(6) 1可拆性：无论 a,b,c 的大小， () = f(x)x c a + () 2保号性：若在a,b上 f(x)g(x),则有 () () 特殊地，有| () | |()| . 3估值定理：设 m,M 分别是 f(x)在a,b上的最小最大值，则有 m(b-a) () M(b-a) 4中值定理：设 f(x)在闭区间a,b上连续，则在a,b上至少存在一点，使得 () =()(b-a). () 、()、()的奇偶,周期,有界,单调关系 （1） 奇偶性 可导()奇，则()偶；可导f(x)偶，则()奇 可积()奇，则() = () 0 偶 () 偶；可积()偶，则() = () 0 奇 () 不定 （2） 周期性 可导()以 T 为周期，则()以 T 为周期； 可积()以 T 为周期，则() = () 以 T 为周期 f(x)x T 0 = 0 （3） 有界性 若()在有限区间(a,b)内有界，则f(x)在(a,b)内有界 （4） 单调性 无明确结论 变限积分 定义：当定积分的上限变化、下限变化或上下限都变化时，称该积分为变限积 分. 变限积分的性质： (1) f(x)在a,b上可积，则 F(x)= () 在a,b上连续. (2) f(x)在a,b上连续，则 F(x)= () 在a,b上可导. (即只要变限积分 F(x)= () 存在，就必然连续.) 变限积分求导公式： ()= () 2() 1() =2()2 ()-1()1(). (x 为”求导变量”，t 为”积分变量”) 反常积分 通俗理解：破坏积分区间,的有界性 破坏 f(x)在,上的有界性 无穷区间上的反常积分的概念和敛散性： () + = + ()() 若,则收敛 若不,则发散 () = ()() 若,则收敛 若不,则发散 () + =() +() + ( 3=1+2) 12均收敛,则3收敛 否则, 3发散 无界函数的反常积分的概念和敛散性： 若 b 是 f(x)的唯一奇点,则 () = 0+ () 若,则收敛 若不,则发散 若 c(a,b)是 f(x)的唯一奇点，则 () = () + () ( 3=1+2) 12均收敛,则3收敛 否则, 3发散 计算 基本积分公式： （24） 凑微分： （复杂处理方法） 换元法： （三角代换） （倒代换） （整体代换） 不定积分 分部积分： （推广） 有理函数积分： N-L 公式： （有原函数） 分部积分： 换元法： 定积分 华氏(点火)公式： 区间再现公式： 变限积分求导公式： 积分几何应用 均值：设 ,函数 y(x)在,上的平均值为 = 1 () 平面曲线弧长 (1)平面光滑曲线 L 由 = ()( )给出， 则 L= 1 + ()2 (2) 平面光滑曲线 L 由参数式 = () = () ,( )给出， 则 L= ()2+ ()2 (3)平面光滑曲线 L 由 = ()( )给出， 则 L= ()2+ ()2 (4)平面光滑曲线 L 由 = f(r) ( )给出， 则 L= 1 + ()2 平面图形面积：(1) S= |1() 2()| (2) S=1 2 |1 2() 2 2()| 旋转曲面面积：(1)曲线 y=y(x)在区间a,b上的曲线弧段绕 x 轴旋转一周所得 到的旋转曲面的面积 = 2 |()|1 + ()2 (2)曲线 = () = () ( , () 0)在区间,上的曲线 弧段绕 x 轴旋转一周得到的旋转曲面的面积 S=2 |()|2() + ()2 (3) 曲线 y=y(x)在区间a,b上的曲线弧段绕 y 轴旋转一周所得 到的旋转曲面的面积 = 2 1 + ()2 旋转体体积： (1)曲线 y=y(x)与 x=a,x=b(ab)及 x 轴围成的曲边梯形绕 x 轴 旋转一周所得到的旋转体的体积 = 2() (2) 曲线 y=1(x) 0与 y=2(x)0 及 x=a,x=b(ab)所及 x 轴 围成的平面图形绕 x 轴旋转一周得到的旋转体的体积 = |1 2() 22()| (3)曲线 y=y(x)与 x=a,x=b(0ab)及 x 轴围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周所得到的旋转体的体积 =2 |()| (4)曲线 y=y1(x)与 y=y2(x)及 x=a,x=b(0ab)所围成的图形 绕 y 轴旋转一周所成的旋转体的体积 =2 |1() 2()| 多元微分 基本概念 1.极限的存在性：若二元函数 f(x,y)在(0,0)的去心领域内有定义，且(x,y)以 任意方式(不考虑无定义点)趋于(0,0)时，f(x,y)均趋向于 A，则 0 0 () = . 2.连续性：如果 0 0 () = (0,0)，则称 f(x,y)在点(0,0)处连续. 3.偏导数存在性： ( 0,0)= 0 (0+,0)(0,0) ( 0,0)= 0 (0,0+)(0,0) 2 1 4.可微：全增量=(0+ ,0+ ) (0,0) 5 4 线性增量= + 3 6 若极限 0 0 (+) ()2+()2 =0,则称 = (,)在(0,0)处可微. 5.偏导数连续性 : 1用定义法求 ( 0,0 ), ( 0,0 ) 2用公式法求 (,), (,), 并计算 0 0 (,)， 0 0 (,) 3若1=2，则 = (,)在(0,0)处的偏导数连续。 6.(,0)在 = 0处连续 0 (x,y0)存在; (0,)在 = 0处连续 0 (0,)存在 计算 多元函数微分遵循链式法则 隐函数求导法 设函数(,)在0 ( 0,0,0)的某邻域内有连续偏导数，并且(0,0,0) = 0， ( 0,0,0) 0，则 (,)在点0 ( 0,0,0)的某邻域内恒能确定唯一的 连续函数 = (,)，且满足 :10= (0,0 ) ; 2(,(,) 0 ; 3 = (,)有连续偏导数，且 = (,) (,) ; = (,) (,) 多元函数极值 必要条件： 设 = (,)在点(0,0)处取得极值，且(,)在点(0,0)处存在偏 导数，则必有 ( 0,0) = 0, ( 0,0) = 0 充分条件：设 = (,)在点(0,0)有二阶连续偏导数，并设(0,0)是(,) 的驻点，记 A= ( 0,0)，B= ( 0,0),C= ( 0,0 ) 则= B2 AC 0 非极值 = 0 不能确定，方法失效 条件极值：求 = (,)在条件(,)=0 下的极值 (1) 构造拉格朗日函数(,)=(,)+(,) (2) 构造方程组 = 0 = 0 = 0 ，解出所有的(,) (3) 求备选点，其中最大值、最小值即为所求最值 在某区域 D 上的最值： （1） 求出 f(x,y)在 D 内所有可疑点处的函数值； （2） 求出 f(x,y)在 D 的边界上的最值； （3） 比较所有的函数值，得出最值 常微分方程 基础概念 1.未知函数是一元函数的是常微分方程，多元函数的是偏微分方程 2.未知函数导数的最高阶数为微分方程的阶 3.通解和特解通解中的独立常数个数与阶数相同，不含任意常数的解是特解 4.线性微分方程：通解=全部解；非线性:通解全部解 5.对于二阶线性齐次方程，设y1(x),y2(x),y3(x)是该方程的解,则 C1y1(x)+C2y2(x)+C3