考研数学公式大全

第第 1 页页 共共 25 页页 全国硕士研究生统一入学考试 数学公式大全 高等数学公式 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 导数公式： 基本积分表： ax x aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgx a xx ln 1 )(log ln)( csc)(csc sec)(sec csc)( sec)( 2 2 2 2 2 2 1 1 )( 1 1 )( 1 1 )(arccos 1 1 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x Caxx ax dx Cshxchxdx Cchxshxdx C a a dxa Cxctgxdxx Cxdxtgxx Cctgxxdx x dx Ctgxxdx x dx x x )ln( ln csccsc secsec csc sin sec cos 22 22 2 2 2 2 C a x xa dx C xa xa axa dx C ax ax aax dx C a x arctg axa dx Cctgxxxdx Ctgxxxdx Cxctgxdx Cxtgxdx arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csclncsc seclnsec sinln cosln 22 22 22 22 C a xa xa x dxxa Caxx a ax x dxax Caxx a ax x dxax I n n xdxxdxI n nn n arcsin 22 ln 22 )ln( 22 1 cossin 2 2222 22 2 2222 22 2 2222 2 2 0 2 0 第第 2 页页 共共 25 页页 三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分： 22 2 2 1 2 21 1 cos 1 2 sin u du dx x tgu u u x u u x ， ， ， 一些初等函数：一些初等函数： 两个重要极限：两个重要极限： 三角函数公式：三角函数公式： 诱导公式：诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg - -sin cos -tg -ctg 90 - cos sin ctg tg 90 + cos -sin -ctg -tg 180 - sin -cos -tg -ctg 180 + -sin -cos tg ctg 270 - -cos -sin ctg tg 270 + -cos sin -ctg -tg 360 - -sin cos -tg -ctg 360 + sin cos tg ctg 和差角公式：和差角公式： 和差化积公式：和差化积公式： 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin ctgctg ctgctg ctg tgtg tgtg tg 1 )( 1 )( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( x x arthx xxarchx xxarshx ee ee chx shx thx ee chx ee shx xx xx xx xx 1 1 ln 2 1 )1ln( 1ln( : 2 : 2 : 2 2 ） 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 .590457182818284. 2) 1 1 (lim 1 sin lim 0 e x x x x x x 第第 3 页页 共共 25 页页 倍角公式：倍角公式： 半角公式：半角公式： cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin ctgtg 正弦定理：正弦定理：R C c B b A a 2 sinsinsin 余弦定理：余弦定理：Cabbaccos2 222 反三角函数性质：反三角函数性质：arcctgxarctgxxx 2 arccos 2 arcsin 高阶导数公式高阶导数公式莱布尼兹（莱布尼兹（LeibnizLeibniz）公式：）公式： )()()()2()1()( 0 )()()( ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( )( nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnn vu nn vnuvu vuCuv 中值定理与导数应用：中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当 柯西中值定理： 拉格朗日中值定理： xx F f aFbF afbf abfafbf )(F )( )( )()( )()( )()()( 曲率：曲率： . 1 ; 0 . )1 ( limM sMM:. ,1 320 2 a Ka K y y ds d s K MM s K tgydxyds s 的圆：半径为 直线： 点的曲率： 弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率： 其中弧微分公式： 定积分的近似计算：定积分的近似计算： 2 3 3 3 31 3 3 cos3cos43cos sin4sin33sin tg tgtg tg 2 2 2222 1 2 2 2 1 2 sincossin211cos22cos cossin22sin tg tg tg ctg ctg ctg 第第 4 页页 共共 25 页页 b a nnn b a nn b a n yyyyyyyy n ab xf yyyy n ab xf yyy n ab xf )(4)(2)( 3 )( )( 2 1 )( )()( 1312420 110 110 抛物线法： 梯形法： 矩形法： 定积分应用相关定积分应用相关公式：公式： b a b a dttf ab dxxf ab y k r mm kF ApF sFW )( 1 )( 1 , 2 2 21 均方根： 函数的平均值： 为引力系数引力： 水压力： 功： 空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数： 。代表平行六面体的体积 为锐角时，向量的混合积： 例：线速度： 两向量之间的夹角： 是一个数量 轴的夹角。与是向量在轴上的投影： 点的距离：空间 ,cos)( .sin, cos ,cos PrPr)(Pr ,cosPr )()()(2 222222 2121 2 12 2 12 2 1221 cba ccc bbb aaa cbacba rwvbac bbb aaa kji bac bbbaaa bababa bababababa a ja jaaj uABABABj zzyyxxMMd zyx zyx zyx zyx zyx zyxzyx zzyyxx zzyyxx u u 第第 5 页页 共共 25 页页 （马鞍面）双叶双曲面： 单叶双曲面： 、双曲面： 同号）（、抛物面： 、椭球面： 二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程： 面的距离：平面外任意一点到该平 、截距世方程： 、一般方程： ，其中、点法式： 平面的方程： 1 1 3 , 22 2 11 ;, 13 02 ),(,0)()()(1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 000 222 000 0000000 c z b y a x c z b y a x qpz q y p x c z b y a x ptzz ntyy mtxx pnmst p zz n yy m xx CBA DCzByAx d c z b y a x DCzByAx zyxMCBAnzzCyyBxxA 多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x yx F F y z F F x z zyxF dx dy F F yF F xdx yd F F dx dy yxF dy y v dx x v dvdy y u dx x u du yxvvyxuu x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz yyxfxyxfdzz dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz ， ， 隐函数 ， ， 隐函数 隐函数的求导公式： 时，当 ：多元复合函数的求导法 全微分的近似计算： 全微分： 0),( )()(0),( ),(),( ),(),( )(),( ),(),( 2 2 第第 6 页页 共共 25 页页 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),( 0),( 0),( yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u GG FF v G u G v F u F vu GF J vuyxG vuyxF vu vu 隐函数方程组： 微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用： ),(),(),( 3 0)(,()(,()(,(2 ),(),(),(1 ),(0),( , 0),( 0),( 0)()()( )()()( ),( )( )( )( 000 0 000 0 000 0 000000000000 000000000 000 000000 0 0 0 0 0 0 000 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxFzyxFzyxFn zyxMzyxF GG FF GG FF GG FF T zyxG zyxF zztyytxxtM t zz t yy t xx zyxM tz ty tx zyx zyx zyx yx yx xz xz zy zy 、过此点的法线方程： ：、过此点的切平面方程 、过此点的法向量： ，则：上一点曲面 则切向量若空间曲线方程为： 处的法平面方程：在点 处的切线方程：在点空间曲线 方向导数与梯度：方向导数与梯度： 上的投影。在是 单位向量。 方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是 的梯度：在一点函数 的转角。轴到方向为其中 的方向导数为：沿任一方向在一点函数 lyxf l f ljieeyxf l f j y f i x f yxfyxpyxfz lx y f x f l f lyxpyxfz ),(grad sincos),(grad ),(grad),(),( sincos),(),( 多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法： 第第 7 页页 共共 25 页页 不确定时 值时， 无极 为极小值 为极大值 时， 则： ，令：设 ,0 0 ),( , 0 ),( , 0 0 ),(,),(,),(0),(),( 2 2 00 002 0000000000 BAC BAC yxA yxA BAC CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx 重积重积分及其应用：分及其应用： D z D y D x zyx D y D x D D y D x D DD ayx xdyx faF ayx ydyx fF ayx xdyx fF FFFFaaMzxoy dyxxIydyxyIx dyx dyxy M M y dyx dyxx M M x dxdy y z x z Ayxfz rdrdrrfdxdyyxf 2 3 222 2 3 222 2 3 222 22 D 2 2 )( ),( )( ),( )( ),( ,)0(), 0 , 0( ),(,),( ),( ),( , ),( ),( 1),( )sin,cos(),( ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于 轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心： 的面积曲面 柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标： dvyxIdvzxIdvzyI dvxMdvz M zdvy M ydvx M x drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf ddrdrdrdrrddv rz ry rx zrrfzrF dzrdrdzrFdxdydzzyxf zz ry rx zyx r )()()( 1 , 1 , 1 sin),(sin),(),( sinsin cos sinsin cossin ),sin,cos(),( ,),(),(,sin cos 222222 2 00 ),( 0 22 2 ， ， 转动惯量： ， 其中 重心： ， 球面坐标： 其中： 柱面坐标： 曲线积分：曲线积分： 第第 8 页页 共共 25 页页 )( )()()()(),(),( ),(, )( )( ),( 22 ty tx dtttttfdsyxf t ty tx LLyxf L 特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设 长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧 。，通常设 的全微分，其中：才是二元函数时，在 ：二元函数的全微分求积 注意方向相反！减去对此奇点的积分， ，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、 是一个单连通区域；、 无关的条件：平面上曲线积分与路径 的面积：时，得到，即：当 格林公式：格林公式： 的方向角。上积分起止点处切向量 分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关 ，则：的参数方程为设 标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐 0),(),(),( ),( )0 , 0(),(),(2 1 2 1 2, )()( )coscos( )()(),()()(),(),(),( )( )( 00 ),( ),( 00 yxdyyxQdxyxPyxu yxuQdyPdx y P x Q y P x Q GyxQyxP G ydxxdydxdyAD y P x Q xQyP QdyPdxdxdy y P x Q QdyPdxdxdy y P x Q L dsQPQdyPdx dttttQtttPdyyxQdxyxP ty tx L yx yx DL DLDL LL L 曲面积分：曲面积分： dsRQPRdxdyQdzdxPdydz dzdxzxzyxQdzdxzyxQ dydzzyzyxPdydzzyxP dxdyyxzyxRdxdyzyxR dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf zx yz xy xy D D D D yx )coscoscos( ),(,),( ,),(),( ),(,),( ),(),(),( ),(),(1),(,),( 22 系：两类曲面积分之间的关 号。，取曲面的右侧时取正 号；，取曲面的前侧时取正 号；，取曲面的上侧时取正 ，其中：对坐标的曲面积分： 对面积的曲面积分： 高斯公式：高斯公式： 第第 9 页页 共共 25 页页 dsAdvA dsRQPdsAdsnA z R y Q x P dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P n n div )coscoscos( ., 0div,div )coscoscos()( 成：因此，高斯公式又可写 ，通量： 则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度： 通量与散度：高斯公式的物理意义 斯托克斯公式斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：曲线积分与曲面积分的关系： dstARdzQdyPdxA RQP zyx A y P x Q x R z P z Q y R RQP zyx RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdxdxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R 的环流量：沿有向闭曲线向量场 旋度： ， ， 关的条件：空间曲线积分与路径无 上式左端又可写成： kji rot coscoscos )()()( 常数项级数：常数项级数： 是发散的调和级数： 等差数列： 等比数列： n nn n q q qqq n n 1 3 1 2 1 1 2 ) 1( 321 1 1 1 12 级数审敛法：级数审敛法： 第第 10 页页 共共 25 页页 散。存在，则收敛；否则发 、定义法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 、比值审敛法： 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 ，则设： 别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法 n n nn n n n n n n suuus U U u lim; 3 1 1 1 lim 2 1 1 1 lim 1 21 1 。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足 莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数 11 1 3214321 , 0lim )0,( nnn n n nn n urrus u uu uuuuuuuu 绝对收敛与条件收敛：绝对收敛与条件收敛： 时收敛 时发散 级数： 收敛； 级数： 收敛；发散，而调和级数： 为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果 收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果 为任意实数；，其中 1 1 1 ) 1(1 ) 1 () 1 ()2( ) 1 ()2( )2( ) 1 ( 2 321 21 pn p n nn uuuu uuuu p n n nn 幂级数：幂级数： 0 0 1 0 )3(lim )3( 1 1 1 1 1 1 1 2 210 32 R R R aa a a R Rx Rx Rx R xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 时， 时， 时， 的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设 称为收敛半径。，其中 时不定 时发散 时收敛 ，使在数轴上都收敛，则必存 收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数 时，发散 时，收敛于 第第 11 页页 共共 25 页页 函数展开成幂级数：函数展开成幂级数： n n n n n n n n n x n f x f xffxfx Rxfxx n f R xx n xf xx xf xxxfxf ! )0( ! 2 )0( )0()0()(0 0lim)(,)( )!1( )( )( ! )( )( ! 2 )( )()( )( 2 0 1 0 )1( 0 0 )( 2 0 0 00 时即为麦克劳林公式： 充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项： 函数展开成泰勒级数： 一些函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数： )( )!12( ) 1( ! 5! 3 sin ) 11( ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( 1)1 ( 12 1 53 2 x n xxx xx xx n nmmm x mm mxx n n nm 欧拉公式：欧拉公式： 2 sin 2 cos sincos ixix ixix ix ee x ee x xixe 或 三角级数：三角级数： 。上的积分 在任意两个不同项的乘积正交性： 。，其中， 0 ,cos,sin2cos,2sin,cos,sin, 1 cossin )sincos( 2 )sin()( 00 1 0 1 0 nxnxxxxx xtAbAaaAa nxbnxa a tnAAtf nnnnnn n nn n nn 傅立叶级数：傅立叶级数： 是偶函数 ，余弦级数： 是奇函数 ，正弦级数： （相减） （相加） 其中 ，周期 nxa a xfnnxdxxfab nxbxfnxdxxfba nnxdxxfb nnxdxxfa nxbnxa a xf nnn nnn n n n nn cos 2 )(2 , 1 , 0cos)( 2 0 sin)(3 , 2 , 1nsin)( 2 0 124 1 3 1 2 1 1 64 1 3 1 2 1 1 246 1 4 1 2 1 85 1 3 1 1 )3 , 2 , 1(sin)( 1 )2 , 1 , 0(cos)( 1 2)sincos( 2 )( 0 0 0 2 222 2 222 2 222 2 22 1 0 周期为周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：的周期函数的傅立叶级数： 第第 12 页页 共共 25 页页 l l n l l n n nn ndx l xn xf l b ndx l xn xf l a l l xn b l xn a a xf )3 , 2 , 1(sin)( 1 )2 , 1 , 0(cos)( 1 2)sincos( 2 )( 1 0 其中 ，周期 微分方程的相关概念：微分方程的相关概念： 即得齐次方程通解。 ，代替分离变量，积分后将，则设 的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方 称为隐式通解。 得： 的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 或 一阶微分方程： u x y uu du x dx u dx du u dx du xu dx dy x y u x y yxyxf dx dy CxFyGdxxfdyyg dxxfdyyg dyyxQdxyxPyxfy )( )( ),(),( )()()()( )()( 0),(),(),( 一阶线性微分方程：一阶线性微分方程： ) 1 , 0()()(2 )(0)( ,0)( )()(1 )()( )( nyxQyxP dx dy eCdxexQyxQ CeyxQ xQyxP dx dy n dxxPdxxP dxxP ，、贝努力方程： 时，为非齐次方程，当 为齐次方程，时当 、一阶线性微分方程： 全微分方程：全微分方程： 通解。应该是该全微分方程的 ，其中： 分方程，即：中左端是某函数的全微如果 Cyxu yxQ y u yxP x u dyyxQdxyxPyxdu dyyxQdxyxP ),( ),(),(0),(),(),( 0),(),( 二阶微分方程：二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次 ， 0)( 0)( )()()( 2 2 xf xf xfyxQ dx dy xP dx yd 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 21 22 ,)(2 ,(*)0)(1 ,0(*) rr yyyrrqprr qpqyypy 式的两个根、求出 的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程： 求解步骤： 为常数；，其中 第第 13 页页 共共 25 页页 式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),3 21 rr 的形式， 21 rr (*)式的通解 两个不相等实根)04( 2 qp xrxr ececy 21 21 两个相等实根)04( 2 qp xr exccy 1 )( 21 一对共轭复根)04( 2 qp 2 4 2 2 21 pqp irir ， ， )sincos( 21 xcxcey x 二阶常二阶常系数非齐次线性微分方程系数非齐次线性微分方程 型 为常数；型， 为常数， sin)(cos)()( )()( ,)( xxPxxPexf xPexf qpxfqyypy nl x m x 第第 14 页页 共共 25 页页 线性代数部分线性代数部分 1、行列式 1. n行列式共有 2 n个元素，展开后有!n项项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质： 、 ij A和 ij a的大小无关； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0； 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：( 1)( 1) ijij ijijijij MAAM 4. 设n行列式D： 将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 1 D，则 (1) 2 1 ( 1) n n DD ； 将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为 2 D，则 (1) 2 2 ( 1) n n DD ； 将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为 3 D，则 3 DD； 将D主副角线翻转后，所得行列式为 4 D，则 4 DD； 5. 行列式的重要公式： 、主对角行列式：主对角元素的乘积； 、副对角行列式：副对角元素的乘积 (1) 2 ( 1) n n ； 、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积； 、 和 ：副对角元素的乘积 (1) 2 ( 1) n n ； 、拉普拉斯展开式： AOAC A B CBOB 、( 1)m n CAOA A B BOBC 、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； 、特征值； 6. 对于n阶行列式A，恒有： 1 ( 1) n nkn k k k EAS ，其中 k S为k阶主子式； 7. 证明0A 的方法： 、AA ； 、反证法； 、构造齐次方程组0Ax ，证明其有非零解； 、利用秩，证明( )r An； 、证明 0 是其特征值； 2、矩阵 1. A是n阶可逆矩阵： 第第 15 页页 共共 25 页页 0A （是非奇异矩阵）； ( )r An（是满秩矩阵） A的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组0Ax 有非零解； n bR ，Axb总有唯一解； A与E等价； A可表示成若干个初等矩阵的乘积； A的特征值全不为 0； T A A是正定矩阵； A的行（列）向量组是 n R的一组基； A是 n R中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n阶矩阵A： * AAA AA E 无条件恒无条件恒成立； 3. 1 *111* ()()()()()() TTTT AAAAAA *111 ()()() TTT ABB AABB AABB A 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆： 若 1 2 s A A A A ，则： 、 12s AA AA； 、 1 1 1 12 1 s A A A A ； 、 1 1 1 AOAO OBOB ；（主对角分块） 、 1 1 1 OAOB BOAO ；（副对角分块） 、 1 111 1 ACAA CB OBOB ；（拉普拉斯） 、 1 1 111 AOAO CBB CAB ；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的： r m n EO F OO ； 第第 16 页页 共共 25 页页 等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若( )( )r Ar BAB； 2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非 0 元素必须为 1； 、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） 、若(,)(,) r A EE X ，则A可逆，且 1 XA； 、对矩阵( ,)A B做初等行变化，当A变为E时，B就变成 1 A B ，即： 1 ( ,)( ,) c A BE A B ； 、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果( , )( , ) r A bE x，则A可逆，且 1 xA b ； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； 、 1 2 n ，左乘矩阵A， i 乘A的各行元素；右乘， i 乘A的各列元素； 、对调两行或两列，符号( , )E i j，且 1 ( , )( , )E i jE i j ，例如： 1 11 11 11 ； 、倍乘某行或某列，符号( ( )E i k，且 1 1 ( ( )( ( )E i kE i k ，例如： 11 1 1 (0) 1 1 kk k ； 、倍加某行或某列，符号( ( )E ij k,且 1 ( ( )( ()E ij kE ijk ，如： 1 11 11(0) 11 kk k ； 5. 矩阵秩的基本性质： 、0()min( , ) m n r Am n ； 、()( ) T r Ar A； 、若AB，则( )( )r Ar B； 、若P、Q可逆，则( )()()()r Ar PAr AQr PAQ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩可逆矩阵不影响矩阵的秩） 、max( ( ), ( )( ,)( )( )r A r Br A Br Ar B；（） 、()( )( )r ABr Ar B；（） 、()min( ( ), ( )r ABr A r B；（） 、如果A是m n矩阵，B是n s矩阵，且0AB ，则：（） 、B的列列向量全部是齐次方程组0AX 解（转置运算后的结论）； 、( )( )r Ar Bn 、若A、B均为n阶方阵，则()( )( )r ABr Ar Bn； 第第 17 页页 共共 25 页页 6. 三种特殊矩阵的方幂： 、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）列矩阵（向量）行矩行矩阵（向量）阵（向量）的形式，再采用结合律； 、型如 1 01 001 ac b 的矩阵：利用二项展开式； 二项展开式： 0111111 0 () n nnnmn mmnnnnmmn m nnnnnn m abC aC abC abCa bC bC a b ； 注：、()nab展开后有1n项； 、 0 (1)(1)! 1 1 2 3!()! mn nnn n nnmn CCC mm nm 、组合的性质： 11 11 0 2 n mn mmmmrnrr nnnnnnnn r CCCCCCrCnC； 、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： 、伴随矩阵的秩： * ( ) ()1( )1 0( )1 nr An r Ar An r An ； 、伴随矩阵的特征值： *1* (,) AA AXX AA AA XX ； 、 *1 AA A、 1 * n AA 8. 关于A矩阵秩的描述： 、( )r An，A中有n阶子式不为 0，1n阶子式全部为 0；（两句话） 、( )r An，A中有n阶子式全部为 0； 、( )r An，A中有n阶子式不为 0； 9. 线性方程组：Axb，其中A为m n矩阵，则： 、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程； 、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程； 10. 线性方程组Axb的求解： 、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换只能使用初等行变换）； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得； 11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程： 、 11112211 21122222 1122 nn nn mmnmnn a xa xa xb a xa xaxb axaxaxb ； 、 1112111 2122222 12 n n mmmnmm aaaxb aaaxb Axb aaaxb （向量方程，A为m n矩阵，m个方程，n个未知数） 第第 18 页页 共共 25 页页 、 1 2 12n n x x aaa x （全部按列分块，其中 1 2 n b b b ）； 、 1122nn a xa xa x （线性表出） 、有解的充要条件：( )( ,)r Ar An （n为未知数的个数或维数） 4、向量组的线性相关性 1. m个n维列向量所组成的向量组A： 12 , m 构成n m矩阵 12 (,) m A ； m个n维行向量所组成的向量组B： 12 , TTT m 构成m n矩阵 1 2 T T T m B ； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. 、向量组的线性相关、无关 0Ax有、无非零解；（齐次线性方程组） 、向量的线性表出 Axb是否有解；（线性方程组） 、向量组的相互线性表示 AXB是否有解；（矩阵方程） 3. 矩阵 m n A 与 l n B行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax 和0Bx 同解；( 101 P例 14) 4. ()( ) T r A Ar A；( 101 P例 15) 5. n维向量线性相关的几何意义： 、 线性相关 0 ； 、, 线性相关 , 坐标成比例或共线（平行）； 、, 线性相关 , 共面； 6. 线性相关与无关的两套定理： 若 12 , s 线性相关，则 121 , ss 必线性相关； 若 12 , s 线性无关，则 121 , s 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B： 若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs(二版 74 P定理定理 7)； 向量组A能由向量组B线性表示，则( )( )r Ar B；（ 86 P定理定理 3） 向量组A能由向量组B线性表示 AXB有解； ( )( ,)r Ar A B（ 85 P定理定理 2） 向量组A能由向量组B等价( )( )( ,)r Ar Br A B（ 85 P定理定理 2 推论推论） 第第 1