点集拓扑学第一章 集合论初步

点集拓扑学,主讲人：吴洪博,第一章集合论初步,1.2关系,等价关系,1.1集合,1.3映射,1.4集族及其运算,1.5可数集，不可数集,1.6基数,1.1集合,重点:熟悉有关集合的等式和性质难点:有关集合的有限笛卡尔积的等式和性质,集合一词，我们在高中阶段已经接触过，在那里，集合是指具有某种属性的对象的全体.在这里，我们仍采用对集合的这种直观的描述性定义，以后我们还将经常遇到像这样直观的描述性定义或一些直观的结论.虽然这样做逻辑性差一些，不及公理集合论的严密性，但这样做却是我们易于理解和接受的，不致使读者陷入逻辑困惑之中，从而尽快地进入拓朴学基础的学习程序.,不含任何元素的集合称为空集，用符号表示.,规定空集是任意集合的子集.,含有有限个元素的集合叫做有限集，,不是有限集的集合叫做无限集.,定义1.1.2给定集合A,B,由A与B的全部元素构成的集合叫做A与B的并集,记作.,用描述法表示是:,.,定义1.1.3给定集合A,B,由A和B的公共元素构成的集合叫做A与B的交集,记作.,定义1.1.4给定集合A,B，把由属于A而不属于B的元素构成的集合叫做A与B的差集,记作.,用描述法表示是.,而此时可称B为全集，全集在一个问题中是事先指定的或者是不言自明的.,对于集合之间的运算，有时用图象表示更直观一些.在下面的图1.1.1中，我们用两个圆分别表示集合A,B，而用阴影部分表示两个集合运算的结果.,图1.1.1,观察图1.1.1我们不难得出下面的等式:,这样做的好处在于将并集转化成互不相交的集合并集.该集合等式也可以用定义证明.,集合中的运算律,设X是全集，A，B，C是X的子集，则以下运算律成立：,(1)交换律,(2)结合律,(3)零元,单位元,(4)吸收律,(5)分配律,(6)幂等律,(7)对合律,(8)对偶律,(9)互补律,以上运算定律由定义或作图不难验证,我们仅以对偶律的验证为例,其余读者自己完成.,图1.1.2,.,虽然对于任意给定集合,它们的元素不必有序,但我们可以把集合的元素串在一起,这样就可用线段或直线表示集合.进而将集合的笛卡尔积就可用“平面图形”直观的表现出来.,（A-B）（C-D）,图1.1.3,该集合等式也可用定义证明,其过程读者自己做为练习完成.,习题1.1,1.试判断下列关系式的正确与错误,的元素.,2.设,都是集合，其中,证明：如果,则,3.设,，即X有,个互不相同的元素，X的幂集P(X)有多少个互不相同,4.设,，用列举法给出P(X).,5.设A，B是集合，证明,的充要条件是,，,的充要条件是,.,且,；,，,，,1.2关系,等价关系,重点：熟悉关系像，逆关系，复合关系和等价关系的性质难点：对命题演算知识的欠缺将影响性质证明的严谨性,定义1.2.2设R是从集合X到集合Y的一个关系,即,显然，若,，集合B相对于关系R-1的象集就是集合,集合,.,(1),证明：(1),当且仅当,当且仅当,.,(1),(2),(3),(4),，,，,.,，,此时假设,，由于,，因此,，,这与,，,定义1.2.6设R是集合X中的一个关系,如果,即对于任意,有,则称关系R为自反的;,如果,即对于任何,如果,则,则称关系R为对称的;,如果,即对于任何,.,有,例1.2.1给出平面上的一个关系,的意义,是平面上的一个等价关系.相对于等价关系,即商集是由单点集,和以原点为中心的所有圆,周组成的集合.,习题1.2,2.设R是从集合X到集合Y的一个关系,证明下列条件,等价:,(1)对于任意,，,6.实数集合R中的一个关系定义为：,1.3映射,重点：熟悉由映射所诱导的逆关系得所有性质难点：对映射的逆关系性质的理解,(4)f(X)叫映射f的值域.,(3)(Y)=X,即映射f的定义域是X.,(6)f-1作为Y到X的关系有定义,但一般说来f-1不是一个从Y到X的映射.,.,(2)对,设使得,因此，是从X到Z的映射.,(2),(1),(2)由于,是关系,由定理1.2.2可得,根据下面的定理1.3.3,一一映射又称为可逆映射.,),并且也是一一映射,此外还有,如果f是个一一映射，则其逆关系f-1便是从Y到X的映射(因此可以写作,定理1.3.3设X和Y是两个集合,又设,.,证明：结合定理1.3.1和单射、满射定义容易证明,本定理,略.,从关系出发定义映射的本意使得我们在本书的理论体系中除了“集合”和“元素”不再有任何未定义对象.但是，如果每次定义一个映射都要将映射写成它的定义域与值域的笛卡尔积的一个子集，毕竟是件不太方便的事，因此在定义映射时仍采用我们习惯的方法：对定义域中的每一个元素指定值域中的唯一一个元素作为它的象.,定义1.3.6设是集合X中的一个等价关系.从集合X到它的商集的自然投射定义为对于每一个这个自然投射用关系定义便是：,习题1.3,1.设是一个满射,关系定义为：,其中是的简写.,2.设X是一个给定集合，,证明集合的对称差满足交换群公理,即设则,(3)存在集合-A，使得,(4),f是单射.,对于任意).,对于任意,3.设X和Y是两个集合,证明,对于任意,1.4集族及其运算,重点:集族的交与并的理解难点：集族交与并的理解,1.5可数集，不可数集,重点:可数集合的定义和性质难点：不可数集合的存在性,对于有限集，我们今后使用下面的定义.定义1.5.1设X是一个集合,如果X是空集或者存在正整数使得集合X和集合1,2,n之间有一个一一映射,则称集合X是一个有限集.,定义1.5.2不是有限集的集合称为无限集;如果存在一个从集合X到正整数集Z+的双射,则称集合X