苏大--高数下--练习答案

微积分（二）同步练习答案 1 8.1 向量及其线性运算（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4） 一、设2,2uabc vabc=+=+ ? ? ? ，试用, ,a b c ? ? 表示24uv ? 24102uvbc= ? ? 二、, ,a b c ? ? 为三个模为 1 的单位向量，且有0abc+= ? ? 成立，证明：, ,a b c ? ? 可构成一个等边三角形 , ,a b c ? ? 可构成一个三角形0abc+= ? ? ，且, ,a b c ? ? 两两不共线 三、把ABC的BC边四等分，设分点依次为 123 DDD、，再把各分点与点A连接，试以 ABc BCa= ? ? ? ? 、表示向量 12 D A D A ? ? ? ? 、和 3 D A ? ? 1 1 () 4 D Aca= + ? ? ， 2 1 () 2 D Aca= + ? ? ， 3 3 () 4 D Aca= + ? ? 四、已知两点() 1 1,2,3M和() 2 1, 2, 1M，试用坐标表示式表示向量 12 M M ? ? ? 及 12 3M M ? ? ? 12 (0, 4, 4)M M = ? ， 12 3(0,12,12)M M= ? 8.1 向量及其线性运算（5） 8.2 数量积 向量积 一、试证明以三点()()()10, 1,64,1,92,4,3ABC、为顶点的三角形是等腰直角三角形 7AB= ? ? ，7BC= ? ? ，7 2AC= ? 二、 设已知两点 ()() 12 5,2,24,0,3MM和， 计算向量 12 M M ? ? ? 的模、 方向余弦和方向角， 并求与 12 M M ? ? ? 方向一致的单位向量 12 ( 1,2,1)M M = ? ， 12 2M M= ? ， 1 cos 2 = ， 2 cos 2 = ， 1 cos 2 = 2 3 =， 3 4 =， 3 =， 12 12 1 (, ) 222 M M = ? 三、设234 ,4223mijk nijkpijk=+=+= + ? ? 及，求232amnp=+ ? ? 在x轴上的投影及在 z轴上的分向量 (18, 1,8)a= ? ，Pr18 x j a = ? ，8 z a kk= ? 四、已知, ,a b c ? ? 为三个模为 1 的单位向量，且0abc+= ? ? ，求a bb cc a+ ? ? ? iii之值 ?2 ( , )( , )( , ) 3 a bb cc a = ? ? ? ? ， 3 2 a bb cc a+= ? ? iii 五、已知23,aijk bijkcij=+=+ ? ? ? 和，计算： ( )( )() 1a b ca c b ? ? ? ii； ( )( ) () 2abbc+ ? ? ； ( )( ) 3ab c ? ? i ( )()()125( 7,3,5)a b ca c bcb= = ? ? ? ii ( )() ()2(3,2,0) (2,0, 1)( 2,3, 4)abbc+= ? ? ( )()3( 2,3, 5) (1,1,0)1ab c= = ? ? i 六、设()()2, 1,3 ,1,2, 1ab= ? ? ，问和满足何关系时，可使ab+ ? ? 与z轴垂直？ (2,2 ,3)ab+= + ? ? ，3= 七、已知()1,2,3OA= ? ? ，()2, 1,1OB= ? ? ，求AOB的面积 (5,5, 5)OA OB= ? ? ? ， 15 3 22 ABC SOA OB = ? ? ? 微积分（二）同步练习答案 2 8.3 曲面及其方程 一、一动点与两定点()()1,2,33,0,7和等距离，求这动点的轨迹方程 2110 xyz+= 二、方程 222 2460 xyzxyz+=表示什么曲面？ 球心在(1, 2,3)，半径为14的球面 三、将xoz平面上的双曲线 22 4936xz=分别绕x轴及z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程 绕x轴： 222 49()36xyz+=；绕z轴： 222 4()936xyz+= 四、指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？ 1.24yx=+； 直线，平面 22 2.326xy= 双曲线，双曲柱面 五、说明下列旋转曲面是怎样形成的？ 222 1.226xyz+=； 22 26xy+=，绕x轴；或 22 26xz+=，绕x轴 () 2 22 2. zaxy+=+ () 2 2 zax+=，绕z轴；或() 2 2 zay+=，绕z轴 六、指出下列方程所表示的曲面： 222 1.22xyz+=； 222 2.33xyz= 22 3. 345 xyz += 单叶双曲面； 双叶双曲面 椭圆抛物面 8.4 空间曲线及其方程 8.5 平面及其方程(1) 一、填空题： 1曲面 22 xy+ 2 0 9 z =与平面3z=的交线圆的方程是（ 22 1 3 xy z += = ） ，其圆心坐标是 （ (0,0,3) ） ，圆的半径为（ 1 ） 2曲线 22 222 1 (1)(1)1 xy xyz += += 在yoz面上的投影曲线为（ 2 2(1)1 0 yz x = = ） 3螺旋线cosxa=,sinya=,zb=在yoz面上的投影曲线为（ sin 0 z ya b x = = ） 4上半锥面 22 zxy=+（01z）在xoy面上的投影为（ 22 1 0 xy z + = ） ，在xoz面上的投影 为（ 1 0 xz y = ） ，在yoz面上的投影为（ 1 0 yz x = ） 二、选择题： 1方程 22 1 49 xy yz += = 在空间解析几何中表示（ B ） （） 、椭圆柱面 （） 、椭圆曲线 （） 、两个平行平面 （） 、两条平行直线 微积分（二）同步练习答案 3 2参数方程 cos sin xa ya zb = = = 的一般方程是（ D ） （） 、 222 xya+= (B)、cos z xa b = (C)、sin z ya b = (D)、 cos sin z xa b z ya b = = 3平面20 xz=的位置是( D ) （） 、平行xoz坐标面。 （） 、平行oy轴 （） 、垂直于oy轴 （） 、通过oy轴 4下列平面中通过坐标原点的平面是( C ) （） 、1x = ()、2340 xyz+= (C)、3(1)(3)0 xyz+= (D)、1xyz+= 三、化曲线 222 9xyz yx += = 为参数方程 3 2 cos 2 x=， 3 2 cos 2 y=，3sinz= 四、求通过三点(1,1,1)、( 2, 2,2)和(1, 1,2)的平面方程 3680 xyz+= 8.5 平面及其方程(2)(3) 8.6 空间直线及其方程 一、填空题： 过点(4, 1,3)P且平行于直线 5 1 2 3 2 = z y x 的直线方程为（ 43 2(1) 35 xz y =+=） 过点(2,0, 3)P且与直线 277 3521 xyz xyz += += 垂直的平面方程为（312311950 xyz=） 过点(0,2,4)P且与二平面21xz+=和32yz=平行的直线方程是（ 2 4 23 xy z = ） 4当m =（ 1 ）时，直线 13 2 4 1zyx = + = 与平面3510mxyz+ =平行 二、选择题： 1下列直线中平行与xoy坐标面的是( D ) （A） 2 3 3 2 1 1+ = + = zyx （C） 10 1 0 1zyx = = + （B） 440 40 xy xz = = （D） 12 3 4 xt yt z = + = = 2直线:L 37 4 2 3zyx = + = + 与平面:4223xyz=的关系是( A ) （A）平行 （B）垂直相交 （C）L在上 （D）相交但不垂直 3设直线 1 158 : 121 xyz L + =与 2 6 : 23 xy L yz = += ，则 1 L与 2 L的夹角为( C ) （A）/6 （B）/4 （C）/3 （D）/2 微积分（二）同步练习答案 4 4两平行线tztytx=+=+=, 12, 1与 1 1 2 1 1 2 = + = zyx 之间的距离是( D ) （）1 （）2 （） 2 3 （） 4 3 3 三、设直线L通过(1,1,1)， 且与 1:6 32Lxyz= 相交， 又与 2: L 4 3 1 2 2 1 = = zyx 垂直， 求直线L 的方程 设交点为( ,2 ,3 )ttt，则(1,21,31)(2,1,4)sttt= ? ，得 7 16 t= 9251 (,)(9,2, 5) 1616 1616 s= = ? ，L的方程： 111 925 xyz = 四、求通过z轴，且与平面2570 xyz+=的夹角为 3 的平面方程 设所求平面为0AxBy+=，则 22 21 2 10 AB AB + = + ， 22 3830AABB+= 3AB= 或 3 B A=，故30 xy+=或30 xy= 五、求通过点(2,0, 1)P，且又通过直线 3 2 12 1 = = +zyx 的平面方程 取( 1,0,2)Q，( 3,0,3)nPQ= ? ? ，(2, 1,3)ns= ? (3,15,3)3(1,5,1)nPQs= = ? ? 方程为 (2)5(1)0 xyz+=，即510 xyz+ = 六、设直线 11 :230 112 xyz Lxyz =+= 与平面：， （）求证L与相交，并求交点坐标； （）求L与交角； （）求过L与交点且与L垂直的平面方程； （）求过L且与垂直的 平面方程； （）求L在上的投影直线方程 （1）:,1,21L xt ytzt= = +=+，代入平面得 1t = ，交点为(1,0, 1) （2） 2 1 21 sin 266 + = ， 6 = （3）(1)2(1)0 xyz+=，即230 xyz= （4）( 1,1,2) (2,1, 1)3(1, 1,1)n= = ? ，方程为(1)(1)0 xyz+=，即0 xyz+= （5） 0 230 xyz xyz += += 第八章 习题课 一、选择题： 1若直线 1 2 1 1 1 = + = zyx 和直线z yx = = + 1 1 1 1 相交，则=（ D ）. （A）1 （B） 3 2 （C） 5 4 （D 5 4 2母线平行于x轴且通过曲线 =+ =+ 0 162 222 222 zyx zyx 的柱面方程是( B ). （A） 2 216xy+= (B) 22 316yz= (C) 22 3216xz+= (D) 22 316yz+= 微积分（二）同步练习答案 5 3曲线 222 (1)(1)4 0 xyz z += = 的参数方程是( A ). （） = = += 0 sin3 cos31 z y x (B) = = += 0 sin2 cos21 z y x （C） = = = 0 sin3 cos3 z y x (D) = = = 0 sin2 cos2 z y x 二、填空题： 1已知a ? 与b ? 垂直，且a ? =5，b ? =12，则=+ba ? ? （ 13 ） ，ba ? ? =（ 13 ）. 2.一向量与ox轴和oy轴成等角， 而与oz轴组成的角是它们的二倍， 那么这个向量的方向角=（ 4 ） ， =（ 4 ） ，=（ 2 ）. 3已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点( 2, 2,1)，则该平面方程为（ 2290 xyz+ += ）. 四、求原点关于平面6291210 xyz+=的对称点. 过原点且垂直于平面的直线为6 ,2 ,9xt yt zt= ，与平面交点为( 6, 2,9) 所求对称点为( 12, 4,18) 五、求过点( 1,2,3)垂直于直线 456 xyz =，且平行于平面789100 xyz+=的直线方程. (7,8,9) (4,5,6)3(1, 2,1)s = ? ，所求直线为 123 121 xyz+ = 六、求过原点且与直线 2340 23450 xyz xyz += += 垂直相交的直线方程. 已知直线为 23 121 xyz+ = ，设交点为(2, 23, )N ttt+，则(1, 2,1)ON ? ，得 4 3 t = 1 (2, 1, 4) 3 ON = ? ，所求直线为 214 xyz = 七、讨论两直线 1 230 : 2470 xyz l xyz += += 与 2 32350 : 3230 xyz l xyz += = 的位置关系. 交点为( 3, 2,0) 9.1 多元函数的基本概念 一、已知 22 ),(yx x y yxf=+ ，求( , )f x y。 令, y uxy v x =+=，则, 11 uuv xy vv = + ， 222 2 (1)(1) ( , ) (1)1 uvuv f u v vv = + 2(1 ) ( , ) 1 xy f x y y = + 二、求下列函数的定义域： 1 yxyx z + = 11 xyx 2. 22 1 )ln( yx x xyz += 22 1,0 xyxy+ 微积分（二）同步练习答案 6 3 2222 ln(9)(1)zxyxy=+ 22 19xy+ （2） 1 ( , ) D f x y d 、 2 ( , ) D f x y d ， 12 0,fDD 12 ( , )( , ) DD f x y df x y d 4. 计算： （1） 22 1,1 () xy xxyyd + 原式 111 222 111 28 ()(2) 33 dxxxyydyxdx =+=+= （2） 0 0 cos() x y x xxy d + 原式 000 3 cos()(sin2sin ) 2 x dxxxy dyxxx dx =+= 5. 画出积分区域，并计算： （1） xy D ye dxdy ，其中D由1,2,1xyxy=所围 原式 2 121 2 111 22 2 () 2 xyy y ee ydye dxee dy = （2） () 2 D xydxdy+ ，其中() ,1Dx yxy=+ 原式 11 2 00 1 4 3 y y dydx = 6. 交换积分次序： （1） 1 1 0 ( , ) y dyf x y dx 原式 1 00 x dxfdy= （2） 2 1 0 ( , ) y y dyf x y dx 原式 1 0 x x dxfdy= （3） 2 2 2 0 ( , ) y y dyf x y dx + 原式 24 0022 xx x dxfdydxfdy =+ 10.2 二重积分的计算法（1） （续） （2） 1. 画出下列积分区域D，并把( , ) D f x y dxdy 化为极坐标系下的二次积分： （1）() 2222 ,0Dx y axybab=+，求| L y ds 。 :cos2La= 原式 2 2 4 0 4cos2 sin2(22) cos2 a ada = 11.2 对坐标的曲线积分（2） （3） 11.3 格林公式及其应用（1） 1 计算下列对坐标的曲线积分： （1） L xydx ? ，其中L为()() 2 22 0 xRyRR+=及x轴所围成的在第一象限内的区域的逆时针 方向绕行的整个边界 2 :2 cos,2 sin cos , :0 2 L xRt yRtt t = 微积分（二）同步练习答案 18 原式 3 23 2 0 4sin cos( 4 sin cos ) 2 R RttRtt dt = （2） ()() 22 L xy dxxy dy xy + + ? ，其中L为逆时针方向绕行的圆周 222 xyR+= :cos ,sin , :02L xRt yRt t= 原式 2 2 0 (cossin )(sin )(cossin )cos 2 RtRtRtRtRt Rt dt R + = （3）()232xdxydyxydz + ，其中为从点()1,1,1到点()2,3,4的一段直线 :1,21,31, :01xtytztt= +=+=+ 原式 1 0 39 (1114) 2 tdt=+= （4） ()() 322 22 L xxydxyxy dy+ ，其中L为 2 yx=上从点()1,1到点()1,1的一段弧 原式 1 543 1 4 (22) 5 xxx dx =+= 2 将对坐标的曲线积分()(), L P x y dxQ x y dy+ 化为对弧长的曲线积分，其中L为： （1）在xoy平面内从点()0,0到点( ) 1, 3的直线段 原式 13 () 22 L PQds=+ （2）沿 22 2xyx+=的上半部分从点()0,0到点()1,1 原式(1) L P yQx ds=+ 3 利用曲线积分计算星形线 222 333 xya+=所围图形的面积。 33 :cos,sin, :02L xat yat t= 原式 2 2 224242 0 13 (3sincos3sincos) 28 a attatt dt =+= 4 利用格林公式计算下列曲线积分： （1）()()24357 L xydxxydy+ ? ，其中L为三顶点分别为()0,0、()3,0和()3,2的三角形正 向边界 原式(32)15 D d=+= （2） () 22 4 L ydxxdy xy + ? ，其中L为() 2 2 29xy+=，且为逆时针方向 :cos ,sin , :02l xrt yrt t= 原式 () 2222 2 2 22 0 sincos 424 l ydxxdyrtrt dt rxy = + ? 11.3 格林公式及其应用（2） （3） 一、验证下列曲线积分与路径无关，并求积分值： 1、 (1,1) (0,0) ()()xy dxdy 微积分（二）同步练习答案 19 1 QP xy = 原式 11 00 (1)0 xdxy dy=+= 2、 (1,2) 2 (2,1) ydxxdy x 沿在右半平面的路线 2 1QP xyx = 原式 12 2 21 3 2 dx dy x =+= 二、利用格林公式计算曲线积分(sin)( cos1) L yy dxxydy+ ? ，其中L为圆周 22 2xyx+=上从点 (0,0)O到点(1,1)A的一段弧。 原式 0 1 (coscos1)(cos1)sin1 1 4 D yydydy = += + 三、验证下列( , )( , )P x y dxQ x y dy+是某一函数的( , )U x y全微分，并求这样的一个( , )U x y： 1、 2222 (2)(2)xxyydxxxyydy+ 原式 33 222222 (2)(2)() 33 xy x dxy dyxydxx dyy dxxydydx yxy=+=+ 2、(2sin )cosxy dxxydy+ 原式 2 2(sincos)(sin )xdxydxxydyd xxy=+=+ 四、在过点()0,0O与(),0A的曲线族()sin0yaxa=中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到 A的积分( )() 3 12 L ydxxy dy+ 的值最小。 3 33 0 4 ( )1sin(2sin ) cos 4 3 a I aaxxax ax dxa =+=+ 1a =时，最小 五、求可微函数( )f x，使关系式( )()0 L f xydxxdy= ? 成立，其中L为与y轴不相交的任何闭曲线。 ()ffxf= +， 2 ( ) C f x x = 第十一章 曲线积分及格林公式习题课 一、计算() L xy ds+ ? ，其中L为连接点(0,0)、(1,0)、(0,1)的闭折线。 原式 111 000 () 212xdxxxdxydy=+= + 二、计算 + L yx dse 22 ，其中L为圆周 222 ayx=+，直线yx= 和0y=在第一象限内围成扇形的边 界。 原式 4 000 2(1) 4 a aa xaya ae e dxe ade dye =+=+ 三、计算ydxxdyxy L 22 ，L是从(1,0)A沿 2 1xy=到( 1,0)B的圆弧。 :cos ,sin , :0L xt yt t= 微积分（二）同步练习答案 20 原式 2222 00 1 (cossincossin)(1 cos4 ) 44 tttt dtt dt =+= 四、计算曲线积分 () () 2 2 1 1 L ydxxdy I xy = + ? ， 其中( )1 L为圆周 22 20 xyy+=的正向；( )2 L为椭圆 22 480 xyx+=的正向。 （1） 22 222 (1) (1) QPxy xyxy = + 原式0= （2）:1cos ,sin , :02l xrt yrt t= += 原式 () () 2222 2 22 2 0 1cossin 2 1 l ydxxdyrtrt dt r xy = + ? 五、设曲线积分( ) 2 L xy dxyx dy+ 与路径无关，其中具有连续的导数，且( )00=，计算 ( ) () () 1,1 2 0,0 Ixy dxyx dy=+ 。 2yxy = ， 2 ( )xx= 原式 () () 22 1,1 22(1,1) (0,0) 0,0 1 | 22 x y xy dxyx dy=+= 七、设 曲 线L是 正 向 圆 周()() 22 1xaya+=，( )x是 连 续 的 正 函 数 ， 证 明 ： ( ) ( )2 L x dyyx dx y ? 。 22 :()()1Dxaya+ 左式 11 ( )( )22 ( )( ) DDD x dx dd yx =+=+= 11.4 对面积的曲面积分 11.5 对坐标的曲面积分(1) 一. 计算下列对面积的曲面积分： 1. ()xyz dS + , 其中是上半球面 2222, 0 xyzaz+= 222 :zaxy=， 222 :D xya+， 222 adxdy dS axy = 原式 2223 222 D adxdy zdSaxya axy = 微积分（二）同步练习答案 21 2. 22 dS xy + , 其中为柱面 222 xyR+=被平面0,zzh=所截取的部分 原式 22 22dSRhh RRR = 3. xyzdS , 其中为平面1xyz+=在第一卦限的部分 :01,01Dxyx 原式 11 00 3 (1) 33(1) 120 x D xyxydxdydxxyxy dy = 二. 求面密度为z=的抛物面壳 22 1 ()(01) 2 zxyz=+的质量。 22 222 2 222 0 2 2(6 31) 121 2215 xy xyr MzdSxy drrdr + + =+=+= 三. 如是坐标面xOy面内的一个闭区域时, 曲面积分( , , )R x y z dxdy 与二重积分有什么关系? ( , , )( , ,0)R x y z dxdyR x ydxdy = 11.5 对坐标的曲面积分(2)(3) 11.6 高斯公式(1) 一. 计算下列对坐标的曲面积分： 1. yzdzdx , 其中是球面 222 1xyz+=的上半部分并取外侧 22 :1,0D zxz+ 原式 1 2222 2 0 2 212cos1 4 D zzx dzdxdrr dr = 2. xydydzyzdzdxzxdxdy + , 其中是由平面0 xyz=和1xyz+=所围的四面体表面并 取外侧 原式 11 00 1 33(1) 8 x zxdxdydxxxy dy = 二. 求流速场kyi xv ? ? 2 +=穿过曲面 22 yxz+=与平面1z=所围成的立体表面的流量。 2 211 2 00 2 r xdydzy dxdydvddrrdz =+= = = ? 三. 试把对坐标的曲面积分( , , )( , , )( , , )P x y z dydzQ x y z dzdxR x y z dxdy + 化成对面积的曲面积分, 其中是平面322 36xyz+=在第一卦限的部分的上侧。 原式 322 3 () 555 PQR dS =+ 四. 利用高斯公式计算曲面积分 22 ()()y xz dydzx dzdxyxz dxdy + ? , 其中是0,xxa=， 0,0,yya zza=所围正方体表面的外侧。 微积分（二）同步练习答案 22 原式 4 000 ()() aaa xy dvdxdyxy dza =+=+= 第十一章 曲面积分及高斯公式习题课 一. 计算dxdy z dzdx y dydz x 111 + ，为球面 2222 xyzR+=的外侧。 原式 2 2200 36612 R dxdydxdyrdr dR zz Rr = ? 二. 设是球面 2222 azyx=+的外侧，求曲面积分 zdxdy。 原式 3 4 3 a dv = 三计算 +,)()()(dxdyyxdxdzxzdydzzy为)0( 222 hzyxz+=的下侧。 222 1: ,:zh D xyh=+，上侧 11 ()()()()0yz dydzzx dxdzxy dxdyxy dxdy += 原式 1 ()()()00yz dydzzx dzdxxy dxdydv + =+= ? 四. 求曲面积分 22 ()xydS + ? ，为锥面 22 zxy=+与平面1z=所围成的区域的边界曲面。 原式 22 2222 2222 () 1() DD xy xydxdyxydxdy xyxy =+ + 21 3 00 12 (12) 2 dr dr + =+= 五. 利用高斯公式计算曲面积分xdydzydzdxzdxdy + ? , 其中为界于0z =和3z = 之间的圆柱 体 22 9xy+的整个表面的外侧。 原式33 3 981dv = = 六. 计算对坐标的曲面积分( )( )( )If x dydzg y dzdxh z dxdy =+ ? ,其中是平行六面体 0,0,0 xaybzc的表面并取外侧, ( ), ( ), ( )f x g y h z为上的连续函数。 ( )( )(0) ( )(0) DD h z dxdyh c dxdyhdxdyab h ch = ? 原式 ( )(0) ( )(0) ( )(0)bc f afca g bgab h ch=+ 12.1 常数项级数的概念和性质 12.2 常数项级数的审敛法（1） 一、根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的收敛性： 1. 1111 1 66 111116(54)(51)nn + + ? iii 1 111111111 ()(1) 5 1661154515515 n S nnn =+= + ? 微积分（二）同步练习答案 23 2. 1 (221) n nnn = + + ( 32)( 21)( 43)( 32)(21)(1) n Snnnn=+ ? 1 1121212 1 nn nn =+ + =+ + + 二、判断下列级数的收敛性： 1. 3451 234 n n + +? 10 n u ，发散 2. 2341 23 8888 9999 n n + +? 8 8( ) 9 n n u=，收敛 3. 23 11111111 ()()()() 3132333nn +? 1 1 3n n = 收敛， 1 1 n n = 发散，故发散 三、若级数 1 n n u = 收敛于 1，求级数 2 1 () nn n uu + = + 的和。 21212 111 ()2 nnnn nnn uuuuuuuu + = +=+= 四、求级数 22 1 21 (1) n n n n = + + 的和。 2222 11 2111 ()1 (1)(1) nn n n nnn = + = + 五、判别下列级数的收敛性： 1. 3 1 1 2 n n n = + + 2 2 3 (1) limlim1 2 n nn nn n u n + = + ，收敛 2. 1 11 sin n nn = 2 1 limlim sin1 n nn n un n =，收敛 3. 1 1 2 tan 3 n n n = 12 2( ) 33 nn n n u=，收敛 4. 1 1 1 n n a = + (0)a 1a 时， 1 ( )n n u a ，收敛；1a =时， 1 2 n u=，发散；1a ，发散 3. 1 (1)sin 2n n n = + 11 1 (1)sin(1) 1 22 2 sin 22 nn n n nn nn u u nn + + + =，收敛 二、用根值审敛法判断下列级数的收敛性： 1. 2 1 11 (1) 4 n n n n = + 11 (1)1 44 n n n e u n =+时，收敛；ae时，发散；ae=时，不定 三、判断下列级数是否收敛？如果是收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 1. 1 1 ( 1) 2 n n n = 条件收敛 2. 2 1 ( 1) 2 n n n n = 绝对收敛 3. 2 (1) 2 1 2 ( 1) ! n nn n n = 2 2 ! n n v n =， 21 1 2 1 n n n v vn + + = + ，发散 四、设 2 1 n n a = 收敛，证明 1 n n a n = 绝对收敛。 2 2 11 () 2 n n a a nn + 微积分（二）同步练习答案 25 12.3 幂级数 一、求下列幂级数的收敛域： 1. 1 ( 1) n n n x n = ( 1,1 2. 1 2n n n x n = i 1