3第三章线性电路的一般分析方法

第三章线性电路的一般分析方法和定理,第一节支路法第二节网孔法第三节节点法第四节叠加定理第五节等效电源定理第六节最大功率传输定理,第一节支路法,以各支路电流为未知量，应用KCL和KVL列出独立电流、电压方程联立求解各支路电流。,解题思路：根据基尔霍夫定律，列节点电流和回路电压方程，然后联立求解。,一、支路法,二、关于方程的独立性问题,问题的提出：在用KCL定律或KVL定律列方程时，究竟可以列出多少个独立的方程？,分析下面电路中应列几个电流方程？几个电压方程？,第一节支路法,第一节支路法,设：电路中有N个节点，b条支路,N=2、b=3,推广,则：独立的节点电流方程有(N-1)个独立的回路电压方程有(bN+1)个,第一节支路法,第一节支路法,1.对每一支路假设一未知电流（I1-I6）,4.解联立方程组,对每个节点有,2.列电流方程(N-1个),对每个回路有,3.列电压方程(bN+1个),三、支路法解题步骤,b,a,c,d,节点a：,列电流方程(N-1个),节点c：,节点b：,节点d：,（取其中三个方程）,第一节支路法,列电压方程(选取网孔),b,a,c,d,第一节支路法,支路电流法的优缺点,优点：支路电流法是电路分析中最基本的方法之一。只要根据基尔霍夫定律、欧姆定律列方程，就能得出结果。,缺点：电路中支路数多时，所需方程的个数较多，求解不方便。,节点数N=2支路数B=4共须列4个方程式,第一节支路法,例,解：支路数b=3节点数N=2,电源IS、E以及电阻值已知，求I2和I3。,IS+I2-I3=0,因为Is已知，因此只需再列一个电压回路方程,I3R3+I2R2E=0,联立求解，最后得:,I2、I3,第一节支路法,支路电流法,分析电路依据,拓扑约束（KVL、KCL）,元件约束（VAR）,n个节点、b条支路的电路,支路电压和支路电流和电路变量的独立方程,（1）n-1个独立的KCL方程。（2）b-n+1个独立的KVL方程。（3）b个独立的元件特性方程。,独立的KCL方程,独立的KVL方程,元件的特性方程,独立KCL方程,独立KVL方程,元件特性方程,电路含不同类型元件时，方程出现微积分运算；,电路变量个数较多，导致所建立的电路方程的数目较多，给手工求解带来不便。,直接用两类约束求解电路时，常将所求电压或电流转化为求其它电压、电流。,（1）电压的表示根据元件的VAR，将电压用电流表示；根据KVL，将电压用其它电压表示。,（2）电流的表示根据元件的VAR，将电流用电压表示；根据KCL，将电流用其他电流表示。,注意：,流过（独立或受控）电压源（包括短路）的电流不能由其自身的电压直接（用VAR）求得，必须借助与电压源相串联元件的VAR或利用KCL来求得。（独立或受控）电流源（包括开路）两端的电压不能由其自身的电流直接用VAR求得，必须借助与电流源并联元件的VAR或利用KVL来求得。,例：求10V电压源提供的功率,解：,由KCL得,10V电压源提供的功率为,1.在图中标出各支路电流的参考方向，对选定的回路标出回路循行方向。,2.应用KCL对结点列出(n1)个独立的结点电流方程。,3.应用KVL对回路列出b(n1)个独立的回路电压方程(通常可取网孔列出)。,4.联立求解b个方程，求出各支路电流。,对结点a：,例：,I1+I2I3=0,对网孔1：,对网孔2：,I1R1+I3R3=E1,I2R2+I3R3=E2,支路电流法的解题步骤:,(1)应用KCL列(n-1)个结点电流方程,因支路数b=6，所以要列6个方程。,(2)应用KVL选网孔列回路电压方程,(3)联立解出IG,支路电流法是电路分析中最基本的方法之一，但当支路数较多时，所需方程的个数较多，求解不方便。,例2：,对结点a：I1I2IG=0,对网孔abda：IGRGI3R3+I1R1=0,对结点b：I3I4+IG=0,对结点c：I2+I4I=0,对网孔acba：I2R2I4R4IGRG=0,对网孔bcdb：I4R4+I3R3=E,试求检流计中的电流IG。,RG,支路数b=4，但恒流源支路的电流已知，则未知电流只有3个，能否只列3个方程？,例3：试求各支路电流。,可以。,注意：(1)当支路中含有恒流源时，若在列KVL方程时，所选回路中不包含恒流源支路，这时，电路中有几条支路含有恒流源，则可少列几个KVL方程。,(2)若所选回路中包含恒流源支路,则因恒流源两端的电压未知，所以，有一个恒流源就出现一个未知电压，因此，在此种情况下不可少列KVL方程。,1,2,支路中含有恒流源,(1)应用KCL列结点电流方程,支路数b=4，但恒流源支路的电流已知，则未知电流只有3个，所以可只列3个方程。,(2)应用KVL列回路电压方程,(3)联立解得：I1=2A，I2=3A，I3=6A,例3：试求各支路电流。,对结点a：I1+I2I3=7,对回路1：12I16I2=42,对回路2：6I2+3I3=0,当不需求a、c和b、d间的电流时，(a、c)(b、d)可分别看成一个结点。,支路中含有恒流源。,1,2,因所选回路不包含恒流源支路，所以，3个网孔列2个KVL方程即可。,(1)应用KCL列结点电流方程,支路数b=4,且恒流源支路的电流已知。,(2)应用KVL列回路电压方程,(3)联立解得：I1=2A，I2=3A，I3=6A,例3：试求各支路电流。,对结点a：I1+I2I3=7,对回路1：12I16I2=42,对回路2：6I2+UX=0,1,2,因所选回路中包含恒流源支路，而恒流源两端的电压未知，所以有3个网孔则要列3个KVL方程。,3,+UX,对回路3：UX+3I3=0,第二节网孔法,网孔法：以网孔电流为电路的变量来列写方程的方法网孔电流:设想在每个网孔中，都有一个电流沿网孔边界环流，这样一个在网孔内环行的假想电流叫网孔电流。,一、网孔法和网孔电流,第二节网孔法,二、网孔方程,通常，选取回路的绕行方向与网孔电流的参考方向一致,经整理后，得,可以进一步写成,上式就是当电路具有两个网孔时，网孔方程的一般形式,第二节网孔法,二、网孔方程,其中:（1）R11=R1+R2、R22=R2+R3，分别是网孔1与网孔2的电阻之和,称为各网孔的自电阻。因为选取自电阻的电压与电流为关联参考方向,所以自电阻都取正号,第二节网孔法,二、网孔方程,（2）R12=R21=-R2是网孔1与网孔2公共支路的电阻,称为相邻网孔的互电阻。互电阻可以是正号,也可以是负号。当流过互电阻的两个相邻网孔电流的参考方向一致时,互电阻取正号,反之取负号,（3）Us11=Us1-Us2、Us22=Us2-Us3分别是各网孔中电压源电压的代数和,称为网孔电源电压。凡参考方向与网孔绕行方向一致的电源电压取负号,反之取正号,第二节网孔法,二、网孔方程,推广到具有m个网孔的平面电路,其网孔方程的规范形式为：,第二节网孔法,例：用网孔法求图示电路的各支路电流,第二节网孔法,解：（1）根据各网孔电流的参考方向,计算各网孔的自电阻和相关网孔的互电阻及每一网孔的电源电压,(3)求解网孔方程组,解之可得,（2）列网孔方程组,第二节网孔法,(4)根据所选各支路电流的参考方向,由网孔电流求出各支路电流:,第二节网孔法,第三节节点法,节点电压法：以电路的节点电压为未知量来分析电路的一种方法。节点电压：在电路的n个节点中,任选一个为参考点,把其余(n-1)个各节点对参考点的电压叫做该节点的节点电压。电路中所有支路电压都可以用节点电压来表示。,节点方程的形式：,式中左边G11、G22分别是与节点1、节点2相连接的各支路电导之和,称为各节点的自电导,自电导总是正的。G12、G21是连接在节点1与节点2之间的各公共支路的电导之和的负值,称为两相邻节点的互电导,互电导总是负的。式中右边Is11、Is22分别是流入节点1和节点2的各电流源电流的代数和,称为节点电源电流,流入节点的取正号,流出的取负号。,第三节节点法,弥尔曼定理：,对于只有一个独立节点的电路,第三节节点法,结点电压法,结点电压的参考方向从结点指向参考结点。,结点电压法适用于支路数较多，结点数较少的电路。,在求出结点电压后，可应用基尔霍夫定律或欧姆定律求出各支路的电流或电压。,在左图电路中只含有两个结点，若设b为参考结点，则电路中只有一个未知的结点电压。,2个结点的结点电压方程的推导,设：Vb=0V结点电压为U，参考方向从a指向b。,2.应用欧姆定律求各支路电流,1.用KCL对结点a列方程I1+I2I3I4=0,将各电流代入KCL方程则有,整理得,注意：(1)上式仅适用于两个结点的电路。,(2)分母是各支路电导之和,恒为正值；分子中各项可以为正，也可以为负。(3)当电动势E与结点电压的参考方向相反时取正号，相同时则取负号，而与各支路电流的参考方向无关。,即结点电压公式,例1：,试求各支路电流。,解:(1)求结点电压Uab,(2)应用欧姆定律求各电流,电路中有一条支路是理想电流源，故节点电压的公式要改为,IS与Uab的参考方向相反取正号,反之取负号。,例2:,计算电路中A、B两点的电位。C点为参考点。,I3,I1I2+I3=0I5I3I4=0,解：(1)应用KCL对结点A和B列方程,(2)应用欧姆定律求各电流,(3)将各电流代入KCL方程，整理后得,5VAVB=303VA+8VB=130,解得:VA=10VVB=20V,第四节叠加原理,叠加原理：对于线性电路，任何一条支路的电流，都可以看成是由电路中各个电源（电压源或电流源）分别作用时，在此支路中所产生的电流的代数和。,原电路,+,=,叠加原理,E2单独作用时(c)图),E1单独作用时(b)图),原电路,+,=,同理:,可以用支路电流法证明,叠加原理只适用于线性电路。,不作用电源的处理：E=0，即将E短路；Is=0，即将Is开路。,线性电路的电流或电压均可用叠加原理计算，但功率P不能用叠加原理计算。例：,注意事项：,应用叠加原理时可把电源分组求解，即每个分电路中的电源个数可以多于一个。,解题时要标明各支路电流、电压的参考方向。若分电流、分电压与原电路中电流、电压的参考方向相反时，叠加时相应项前要带负号。,例1：,电路如图，已知E=10V、IS=1A，R1=10,R2=R3=5，试用叠加原理求流过R2的电流I2和理想电流源IS两端的电压US。,(b)E单独作用将IS断开,(c)IS单独作用将E短接,解：由图(b),解：由图(c),例1：,电路如图，已知E=10V、IS=1A，R1=10,R2=R3=5，试用叠加原理求流过R2的电流I2和理想电流源IS两端的电压US。,例2：,已知：US=1V、IS=1A时，Uo=0VUS=10V、IS=0A时，Uo=1V求：US=0V、IS=10A时，Uo=?,解：电路中有两个电源作用，根据叠加原理可设Uo=K1US+K2IS,当US=10V、IS=0A时，,当US=1V、IS=1A时，,得0=K11+K21,得1=K110+K20,联立两式解得：K1=0.1、K2=0.1,所以Uo=K1US+K2IS=0.10+(0.1)10=1V,齐性定理,只有一个电源作用的线性电路中，各支路的电压或电流和电源成正比。如图：,若E1增加n倍，各电流也会增加n倍。,可见：,叠加定理的验证：,第四节叠加定理,用叠加定理计算：,第四节叠加定理,叠加定理总结,一、内容在线性电阻电路中，任一支路电流（或支路电压）都是电路中各个独立电源单独作用时在该支路产生的电流（或电压）的代数和。二、注意1、叠加定理适用于线性电路，不适用于非线性电路；2、叠加时，电路的联接以及电路所有电阻和受控源都不予更动；,以电阻为例：,电压源不作用就是把该电压源的电压置零，即在该电压源处用短路替代；电流源不作用就是把该电流源的电流置零，即在该电流源处用开路替代。,3、叠加时要注意电流和电压的参考方向；4、不能用叠加定理来计算功率，因为功率不是电流或电压的一次函数。,例,用叠加定理求：I=?,I=2A,I=-1A,I=I+I=1A,例：图示桥形电路中R1=2,R2=1,R3=3,R4=0.5,Us=4.5V,Is=1A。试用叠加定理求电压源的电流I和电流源的端电压U。,第四节叠加定理,解：（1）当电压源单独作用时,电流源开路,如图（b）所示,各支路电流分别为,电流源支路的端电压U为,第四节叠加定理,(2)当电流源单独作用时,电压源短路,如图（c）所示,则各支路电流为,电流源的端电压为,第四节叠加定理,电流源的端电压为,(3)两个独立源共同作用时,电压源的电流为,第四节叠加定理,戴维南定理:含独立源的线性二端电阻网络,对其外部而言,都可以用电压源和电阻串联组合等效代替(1)该电压源的电压等于网络的开路电压UOC(2)该电阻等于网络内部所有独立源作用为零情况下的网络的等效电阻Ri,第五节等效电源定理,应用戴维南定理的关键是求出开路电压和输入电阻。求开路电压可用前面介绍的线性电路的各种分析方法和定理等进行。求输入电阻有如下三种方法。（1）将二端网络中所有独立电源置零（即电压源用短路替代，电流源用开路替代），按照电阻串并联、星形与三角形等效变换的方法，求出输入电阻。,（2）将二端网络所有独立电源置零，在端口ab处施加一电压，计算或测量输入端口的电流I，则输入电阻Ri=U/I,第五节等效电源定理,（3）用实验方法测量或用计算方法求得该有源二端网络的开路电压UOC和短路电流ISC，根据有源二端网络的等效电路不难看出，输入电阻为Ri=UOC/ISC,第五节等效电源定理,例1：,电路如图，已知E1=40V，E2=20V，R1=R2=4，R3=13，试用戴维宁定理求电流I3。,注意：“等效”是指对端口外等效,即用等效电源替代原来的二端网络后，待求支路的电压、电流不变。,等效电源,有源二端网络,解：(1)断开待求支路求等效电源的电动势E,例1：电路如图，已知E1=40V，E2=20V，R1=R2=4，R3=13，试用戴维宁定理求电流I3。,E也可用结点电压法、叠加原理等其它方法求。,E=U0=E2+IR2=20V+2.54V=30V,或：E=U0=E1IR1=40V2.54V=30V,解：(2)求等效电源的内阻R0除去所有电源(理想电压源短路，理想电流源开路),例1：电路如图，已知E1=40V，E2=20V，R1=R2=4,R3=13，试用戴维宁定理求电流I3。,从a、b两端看进去，R1和R2并联,实验法求等效电阻,R0=U0/ISC,解：(3)画出等效电路求电流I3,例1：电路如图，已知E1=40V，E2=20V，R1=R2=4，R3=13，试用戴维宁定理求电流I3。,例：图示为一不平衡电桥电路,试求检流计的电流I。,第五节等效电源定理,解：,第五节等效电源定理,求图a所示电路的戴维南等效电路。,第五节等效电源定理,解：先求开路电压Uoc,然后求等效电阻Ri,则，等效电路中：,第五节等效电源定理,诺顿定理,任何一个有源二端线性网络都可以用一个电流为IS的理想电流源和内阻R0并联的电源来等效代替。,等效电源的内阻R0等于有源二端网络中所有电源均除去（理想电压源短路，理想电流源开路）后所得到的无源二端网络a、b两端之间的等效电阻。,等效电源的电流IS就是有源二端网络的短路电流，即将a、b两端短接后其中的电流。,等效电源,例1：,已知：R1=5、R2=5R3=10、R4=5E=12V、RG=10试用诺顿定理求检流计中的电流IG。,有源二端网络,解:(1)求短路电流IS,R=(R1/R3)+(R2/R4)=5.8,因a、b两点短接，所以对电源E而言，R1和R3并联，R2和R4并联，然后再串联。,IS=I1I2=1.38A1.035A=0.345A,或：IS=I4I3,(2)求等效电源的内阻R0,R0,R0=(R1/R2)+(R3/R4)=5.8,(3)画出等效电路求检流计中的电流IG,在什么条件下有源二端网络传输给负载电阻功率最大？这时功率传输的效率是多少？,第六节最大功率传输定理,负载由给定的有源二端网络获得最大功率的条件是负载电阻等于二端网络的戴维南等效电路的输入电阻。这就是最大功率传输定理。这种工作状态称为负载与电源匹配。,当RL=Ri时，负载可获得最大功率，,此时的传输效率为：,第六节最大功率传输定理,对于传输功率较小的线路（如电子线路），其主要功能是处理和传输信号，电路的信号一般很小，传输的能量并不大，人们总是希望负载上能获得较强的信号，把效率问题放在次要位置，这时应使负载与信号源满足功率匹配条件。例如扩音机的负载是扬声器，应选择扬声器的电阻等于扩音机的内阻，使扬声器获得最大的功率。,对于传输功率较大的线路（如电力系统），不允许工作在功率匹配状态，这时电路传输的功率很大，效率问题非常