裂项相消法的八大类型

中学生数学 年月上第 期（ 高中） 网址： 电子邮箱： 思 路 与 方 法 浙江省兰溪市第一中学（ ） 蒋志明 舒林军 裂项相消法实质上是把一个数列的每一 项裂为两项的差， 即化 （）（） 的 形式， 从而达到数列求和的目的， 即得到 （）（） 的形式 通过此类题型的解 决， 可以培养同学们的逆向思维， 开发同学们 的智力， 检查同学们思维的灵活性 故在高考 中常常出现利用裂项相消法来求数列的前 项和、 不等式证明等较难的题型 笔者通过长 期教学的研究， 并加以总结， 归纳出八大题型， 让同学们通过对题型的了解， 可以快速掌握其 技巧， 达到事半功倍的效果 题型一 等差型 等差型是裂项相消法中最常见的类型， 也 是最容易掌握的 设等差数列 的各项不为 零， 公差为 ， 则 （ ） 常见的 有： （ ） （） ； （ ） （ ） （） （ ） ； （ ） （） 例 求数列 （ ） （ ） 的前项的和 分析 先把通项进行化简， 分子通常化为 常数， 然后裂项就可以求得 解 数 列 的 通 项 （ ） （ ） （ ） ， （ ） （ ） （ ） （ ）（ ） 题型二 无理型 该类型的特点是， 分母为两个根式之和， 这两个根式的平方差为常数， 然后通过分母有 理化来达到消项的目的， 有时在证明不等式 时， 常常把分母放缩成两个根式之和， 来达到 消 项 化 简 的 目 的常 见 有： 槡槡 槡槡 例 证明： 槡 槡 槡 槡 槡 （ ，） 分析 先把通项进行放缩后再裂项相消 即可证 证明 因为 槡 槡 槡槡 （槡槡） （，） ， 所以 槡 槡 槡 （槡槡） （槡槡）（槡 槡）槡 又因为 槡 槡 槡槡 （槡槡） （，） ， 所以 槡 槡 槡 （槡 中学生数学 年月上第 期（ 高中） 网址： 电子邮箱： 思 路 与 方 法 槡）（槡槡）（槡槡）槡 即不等式成立 题型三 指数型 由于（ ） ， 因此一般地有 （ ） （ ） （ ） 例 已知数列 的首项为， 点（， ） 在直线上 （ ） 求数列 的通项； （ ） 设数列 的前项 和 为， （ ）（ ） ， 求数列 的前 项和 分析 先求数列 的通项， 再求， 然 后把通项 进行裂项即可 解 （） 容易解得 ； （ ） 因为 （ ） ， 所以 （ ） （ ） （ ） 即 （ ） 题型四 对数型 由对数的运算法则可知： 若 ， ， 则 例 已 知 数 列 的 通 项 为 ， 若其前项和， 则 分析 因为 （） ， 所以 （ ） （） ， 即 题型五 三角函数型 由三角函数两角和差公式可以得到的变 形如下： （ ） （ ） 等， 可以经过构造达到裂项消项的目的 例 在数和 之间插入个实数， 使得这个数构成递增的等比数列， 将这 个数的乘积记作， 再令 ， （） 求数列 的通项公式； （ ） 设 求数列 的 前项和 分析 （） 利用倒序相乘不难得到 ， 即得 （ ） （）（） （） （） （） （） ， （ ） （ ） （） （） ， （） （） （） （ ） （） （） （） （） （） （） （） （） （） 题型六 阶乘和组合数公式型 由阶乘的定义可以得到： ！（） ！ ！ ， 由组合数公式也可以得到 例 化简： （ ）！ ！ ； （ ） （，） 分析 由上面所推出的结论得到： （ ） 原式 ！（ ） ！（） ！； （ ） 原式 （ ）（） 中学生数学 年月上第 期（ 高中） 网址： 电子邮箱： 思 路 与 方 法 题型七 抽象型 有些抽象函数可以根据给出的性质， 也可 以进行裂项相消， 如下面例子 例 定义在（， ） 上的函数（） 满 足： （ ） 对 （，） ， 都有（）； （ ） 已知（） ，（ ） ， （ ） （ ）（ ） （ ，） ， 比 较， ，的大小 分析 由（） 可知： 令 ， 则 （）； 令 ， 则 （）（） ， 所以（） 为奇 函数， 对， （，） ， 且， 都有（） （） （） ， 所以（） 在（，） 上是减函数 又因为 （） （） （ 熿 燀 燄 燅 ） （ 熿 燀 燄 燅 ） （ ） （ ） ， 所以（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）（ ） （ ） 因此 题型八 混合型 有些可以通过以上几种进行混合的通项， 裂项的难度较大， 例如： （） （） （） （ ） （ （） （ ） （） ） ； 又 如 下 面 例 题： 例 已知数列 的通项为 ， 求和： 分析 因为 （ ） （ ） （） （ ） （） （ ） ， 所以 （ ） （ ） 以上笔者仅仅归纳出常见的八大题型， 对 一些不常见的题型需要大胆的猜测， 也可以从 首项起开始裂项， 然后加以归纳， 即从特殊到 一般， 有时也可以利用待定系数法去完成裂开 通项 最后希望同学们要善于总结归纳， 并加 以积累， 这样才能把自己从题海里解脱出来 （ 责审 王雷 檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 ） （ 上接第 页） 图 （ ） 如图 ， ， ， 当 ， 即 时取等号， 此时直 线的倾斜角为 ， 故所求直线方程为 小结 解法一， 解法二分别用直线方程的 点斜式和截距式给出直线方程， 然后建立目标 函数， 再用基本不等式求出最值， 解法自然流 畅 解法三是通过转换解析几何环境到解三角 形环境这样设角也比较自然 本题与本文开头的联考题， 一个以解几为 背景， 一个以平几为背