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教学课题必修53.4基本不等式河北任丘第一中学 史亚军课标要求知识与技能:学会推导并掌握基本不等式,理解这个基本不等式的几何意义,并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等;过程与方法:通过实例探究抽象基本不等式;情感目标:通过本节的学习,体会数学来源于生活,提高学习数学的兴趣;知识点认知层次识记理解应用综合知识点一:基本不等式及其推导过程知识点二:基本不等式的应用目标设计1.通过从不同角度探索不等式 的证明过程,使学生理解基本不等式及其等号成立的条件;2.掌握基本不等式解决最值问题,并理解运用基本不等式的三个限制条件(一正二定三相等)在解决最值中的作用。教学情境一:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表中国人民热情好客。问题1:你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?分析:将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。我们考虑4个直角三角形的面积的和是,正方形的面积为。由图可知,即当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有。新知:若,则教学情境二:先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形,再用这两个三角形拼接构造出一个矩形(两边分别等于两个直角三角形的直角边,多余部分折叠)假设两个正方形的面积分别为和()问题2:考察左图中两个直角三角形的面积与矩形的面积,你能发现一个不等式吗?新知:若,则问题3:你能用代数的方法给出它们的证明吗?证明:因为,即(当时取等号)(在该过程中,可发现的取值可以是全体实数)证明:(分析法):由于,于是要证明 , 只要证明 , 即证 ,即 ,所以,(当时取等号)【板书】两个重要不等式若,则(当且仅当时,等号成立)若,则(当且仅当时,等号成立)教学情境三:学以致用,我们可以两个重要不等式来解决什么样的问题呢?问题4:(1)用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短,最短的篱笆是多少?(2)一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园,问这个矩形的长、宽为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?【板书】利用基本不等式求最值时,一定要注意三个限制条件(一正二定三相等)缺一不可。例1:函数,在下列哪个区间内有最小值,若有请求出;若没有,说明理由?(1) (2) (3)例2:已知,(1)求的最大值;(2)求的最小值;分享收获:对于,(1)若(定值),则当且仅当时,有最小值;(2)若(定值),则当且仅当时,有最大值习题设计1.求下列函数的最值(利用基本不等式求最值)(1)的最小值(难度) (2)若,求的最小值(难度)2.已知直角三角形的面积为50,两条直角边各为多少时,两条直角边的和最小,最小值是多少?(利用基本不等式求最值;难度)3.下列函数的最小值为的是:(一正二定三相等;难度) A B C D 4.求下列代数式的最小值(一正二定三相等)(1)已知,且,求的最小值(难度)(2)设,且,求的最小值(难度)5.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m,
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