计量学第2章普通最小二乘数

2-1,使用OLS方法估计单变量模型,回忆回归分析的出发点：(2.1)通过使用样本数据可以得到(2.2)再次强调式(2.1)是纯理论的，而式(2.2)是经验估计的结果现在的问题是如何得到(2.2)?,2-2,一种被广泛使用的方法称为最小二乘法：OrdinaryLeastSquares(OLS)OLS通过最小化(i=1,2,.,N)(2.3)通过估计的误差，或称残差，或个别点与估计回归线垂直距离的差，的平方和最小化来估计回归参数这个平方和称为残差平方和“ResidualSumofSquares”(RSS),使用OLS方法估计单变量模型,2-3,也就是说OLS最小化为什么使用OLS?相对简单最小化RSS的目的，直观地或理论上是希望估计的回归方程与各观测值尽可以的接近OLS估计值有许多有用的性质,使用OLS方法估计单变量模型,2-4,OLS估计量至少有两个有用的性质：残差之和一定是零在满足一定的条件下，OLS是“最优”估计量，将在第4章再次讨论这个问题,使用OLS方法估计单变量模型,2-5,OLS是如何进行的?回忆(2.3)，OLS最小化残差平方和可以得到如下的系数估计值计算公式(见Exercise12)：(2.4)(2.5),使用OLS方法估计单变量模型,2-6,Table2.1a身高与体重案例中回归参数的运算,2-7,Table2.1b身高与体重案例中回归参数的运算,已经得出估计的回归方程：现在来仔细看一下各参数是如何估计的：,使用OLS方法估计单变量模型,2-9,使用OLS估计多元模型,在“现实世界”中，一个解释变量通常是不足的K个解释变量的多元线性回归模型的一般形式：Yi=0+1X1i+2X2i+.+KXKi+i(i=1,2,N)(1.13)与单变量模型最大的不同是回归系数的解释多变量模型中，回归系数代表了1单位解释变量的变化引起的被解释变量的变化，在保持其它解释变量不变的情况下！多元线性回归模型中，回归系数通常被称为“偏回归系数”美国牛肉人均需求量模型：,2-10,使用OLS估计多元模型,遗漏的（相关的）解释变量，因此，没有保持不变截距，0，是当所有解释变量X和误差项都等于0时，Y的取值当然，最小化残差平方的原则没有变对于最简单的多变量模型，参见P24，脚注19事实上，多元线性回归模型通常使用矩阵的形式进行表达,2-11,Example:文学院的奖学金,被解释变量：FINAIDi:授予申请者的奖学金(单位：美元),2-12,理论模型：(2.9)(2.10)此处：PARENTi:家长能够提供的学费（单位：美元）HSRANKi:学生高中时GPA排名，以比例计算，例如，介于0至100之间,Example:文学院的奖学金,2-13,Table2.2a奖学金例子数据,2-14,Table2.2b奖学金例子数据,2-15,Table2.2c奖学金例子数据,2-16,Table2.2d奖学金例子数据,2-17,使用Table2.2估计得到的结果为：(2.11)回归系数的解释Figures2.1、2.2中图形的解释,Example:文学院的奖学金,2-18,Figure2.1奖学金与父母支付能力的函数关系,2-19,Figure2.2奖学金与高中成绩的函数关系,2-20,总离差、解释、残差平方和,(2.12)(2.13)TSS=ESS+RSS总离差平方和=回归离差平方和+残差平方和这通常被称为方差分解,2-21,Figure2.3Y的方差分解,2-22,评估回归方程的质量,通过以下几个问题进行检查：1.方程是否得到理论的支持？2.估计结果对数据的拟合优度如何？3.数据集是否足够大、足够精确？4.OLS是方程的最优估计量吗？,2-23,评估回归方程的质量,通过以下几个问题进行检查：5.估计的结果与研究者的预期一致吗？6.是否所有重要的解释变量都包含在方程中了？7.是否使用了理论逻辑形式？8.回归结果是否存在主要的计量经济模型的问题？这本书将初步地探讨这些问题,2-24,描述估计模型的拟合优度,最简单的拟合优度的衡量指标是判定系数，或可决系数：R2(2.14)由于OLS选择的系数估计值最小化了RSS，因此，OLS提供了最大的R2的估计值(在线性模型中)判定系数R2的取值范围：0，1,2-25,Figure2.4R2=0,2-26,Figure2.5R2=.95,2-27,Figure2.6R2=1,2-28,简单相关系数,r,与R2相关的一个度量r度量了两个变量之间线性关系：r=+1:两个变量是严格正相关r=1:两个变量是严格负相关r=0:两个变量完全不相关,2-29,调整的判定系数,R2的主要问题是，随着解释变量的增加，R2一定增加。如何证明？一个替代的方法是使用调整的R2，或R2，而不是R2：(2.15)NK1是自由度,2-30,调整的判定系数,因此,R2度量了经自由度调整后，Y的变化被回归方程解释的部分R2可用于比较相同被解释变量，但有不同数量解释变量的回归方程因此，研究者通常使用R2来评估不同的回归方程R