第3章计量学原理

精思国计，细量民生,1,测量是计量测试的基本问题。由于各种因素的影响，任何一种测量都不可避免地存在误差。了解和掌握一些误差方面的概念以及评估误差的大小与性质的基本方法，是十分必要的。研究误差的目的是为了减小误差，也可以优化出更科学的测量方法。对计量测试和仪器设计人员而言，对误差的详细掌握有助于获得突破性成果。,第3章测量误差和测量不确定度,精思国计，细量民生,2,一、量和单位,计量术语是计量科学的专门用语，是用来定义描述计量科学相关概念的。1、可测量的量现象、物体或物质的可以定性区别和定量确定的一中属性。2、计量单位为定量表示同种量的大小而约定地定义和采用的特定值。3、量值由一个数乘以测量单位所表示的特定量的大小,3.1测量误差及其分类误差相关概念,精思国计，细量民生,3,一、量和单位,4、量的真值与给定的特定量的定义一致的客观量值。5、计量约定真值对于给定目标具有适当不确定度的、赋予特定量的值，有时该值是约定采用的。6、量的数值在量值表示中与单位相乘的数。,3.1测量误差及其分类误差相关概念,精思国计，细量民生,4,二、测量,1、测量以确定量值为目的的一组操作。2、测量原理测量的科学基础。3、测量方法进行测量是所用的，按类别叙述的一组操作逻辑次序。4、被测量作为测量对象的特定量。5、影响量不是被测量但对测量结果有影响的量。,3.1测量误差及其分类误差相关概念,精思国计，细量民生,5,三、测量结果,1、测量结果由测量得到赋予被测量的值。2、测量准确度测量结果与被测量真值之间的一致程度。3测量仪器的重复性在相同测量条件下，重复测量同一被测量，测量仪器提供相近示值的能力。4、相对误差测量误差除以被测量的真值。,3.1测量误差及其分类误差相关概念,精思国计，细量民生,6,四、测量仪器的特性,1、测量范围测量仪器的误差处在规定极限内，计量器具所能够测量的最小尺寸与最大尺寸之间的范围。2、测量仪器的最大允许误差对给定的测量仪器，规范，规程等所允许的误差极限值。3、测量仪器的示值误差为核查仪器而选用在规定的示值或规定的被测量值处的测量仪器误差。即计量器具指示出来的测量值与被测量值的实际数值之差,3.1测量误差及其分类误差相关概念,精思国计，细量民生,7,一、绝对误差,测量误差有时称为测量的绝对误差。当用表示绝对误差时，是测量结果与被测量的真值之差，即,二、相对误差,相对误差是绝对误差（即测量误差）除以被测量的真值，即,3.1测量误差及其分类误差的定义,精思国计，细量民生,8,三、分贝误差,分贝误差实际上是相对误差的另一种表示形式，是对误差进行数学变换，具体是采用对数变换，因而适于那些具有指数规律性的误差。分贝的定义是D=20lgxdB，若x有误差，则分贝亦有一对应的误差，即于是分贝误差为,3.1测量误差及其分类误差的定义,精思国计，细量民生,9,四、引用误差引用误差是一种简化的相对误差,在多挡和连续刻度的仪器仪表中广泛应用,这类仪器仪表可测范围不是一个点而是一个量程,各刻度点的示值和其对应的真值都不一样,因此,计算相对误差时所用的分母也不一样,所以计算很麻烦。为了计算和划分准确度等级方便,规定一律取该仪器仪表的特定值作分母,由此可以定义引用误差：引用误差是计量仪器的示值的绝对误差与仪器的特定值之比，通常也用百分数表示。即,3.1测量误差及其分类误差的定义,精思国计，细量民生,10,式中,xlim称为特定值,也称为引用值,通常是计量仪器量程中的满刻度值（最大刻度值）或标称范围的上限。【例】检定2.5级、上限为100V的电压表时,发现50V刻度点的最大示值误差为2V,并且比其他各刻度点的误差都大,问该电压表是否合格？解：该电压表的最大引用误差为2.5级的含义是合格仪器仪表最大引用误差的界限为2.5,可见,该电压表合格。,3.1测量误差及其分类误差的定义,精思国计，细量民生,11,根据误差的性质,计量误差可以分为三类：系统误差，随机误差和粗大误差。下面分别介绍这三类误差。,3.1测量误差及其分类误差的分类,精思国计，细量民生,12,一、系统误差,1、系统误差的概念系统误差按其本质被定义为在重复条件下，对同一被测量进行无限多次测量所得到结果的平均值与被测量的真值之差。实际上由于真值不能确定和有限次测量缘故，系统误差并不能完全获知，得到的也是估计值。对测量仪器而言，是测量仪器的示值的“偏移”。,3.1测量误差及其分类系统误差,精思国计，细量民生,13,在分析和研究测量误差时,必须把系统误差排除才能按随机误差理论对测量误差进行处理。实际上,测量过程中往往存在系统误差。在某些情况下,系统误差数值还比较大,因此,测量结果的精度,不仅取决于随机误差,还取决于系统误差的影响。由于系统误差和随机误差同时存在于测量数据之中,且不易被发现,多次重复测量又不能减小它对测量结果的影响,这种潜伏性使得系统误差比随机误差具有更大的危险性。,3.1测量误差及其分类系统误差,一、系统误差,精思国计，细量民生,14,一、系统误差,各种系统误差随测量过程t变化特征线包括常值和变值系统误差（累积的、周期的和按复杂规律变化的系统误差）,3.1测量误差及其分类系统误差,精思国计，细量民生,15,一、系统误差,2、系统误差的产生（1）装置误差测量装置本身的结构、工艺、调整及老化或故障等引起的误差。（2）环境误差环境的各种条件，如温度、湿度、气压、电场、磁场等引起的误差。,3.1测量误差及其分类系统误差,精思国计，细量民生,16,一、系统误差,2、系统误差的产生（3）方法（或理论）误差测量方法不十分完善，特殊量的忽略和简化等引起的误差。例如用线性刻度代替仪器的非线性特性所形成的误差。（4）人员误差由于测量者的技术水平、个性、生理特点或习惯等所造成的误差。当然，若是自动测试，则不存在该项误差。,3.1测量误差及其分类系统误差,精思国计，细量民生,17,一、系统误差,3、系统误差的补偿（1）测量前设法消除可能消除的误差源。从产生误差根源上消除误差是最根本的方法，它要求测量人员对测量过程中可能产生的系统误差的环节作仔细分析，并在测量前就将误差从产生根源上加以消除。,3.1测量误差及其分类系统误差,精思国计，细量民生,18,一、系统误差,3、系统误差的补偿（2）测量过程中采用适当的实验方法，将系统误差消除，如替代法、补偿法、对称法等。（3）通过适当的计算对测量结果引入可能的修正值。（4）通过若干人重复测量取平均来消除人员操作差异引入的误差。,3.1测量误差及其分类系统误差,精思国计，细量民生,19,【例1】替代法的应用之一沃尔德称重法设待测重量为x,当天平达到平衡时所加砝码重量为Q,天平的两臂长度分别为l1和l2。根据力矩平衡原理,当天平达到平衡时有一般用天平称重时,我们认为l1=l2,所以有x=Q,3.1测量误差及其分类系统误差,精思国计，细量民生,20,实际在制造天平时,很难保证天平的两臂长度相等,即l1l2。为了消除因天平臂长不等而产生的系统误差,可用已知标准砝码P代替x,若天平仍达到平衡,则,3.1测量误差及其分类系统误差,精思国计，细量民生,21,【例2】替代法的应用之二用电桥测量电阻,3.1测量误差及其分类系统误差,图a直流电桥法,图b等效电路,精思国计，细量民生,22,电桥的两测量端口AB接入被测电阻Rx时,调节可调电阻R1和R2的值,使电桥平衡。电桥平衡时,检流计G指示为零,此时的等效电路如图b所示。由UB=UC,可得R1(Rx+R3)=Rx(R1+R2)R1Rx+R1R3=RxR1+RxR2R1R3=RxR2,3.1测量误差及其分类系统误差,精思国计，细量民生,23,由式可以看出,各桥臂电阻的误差R1、R2、R3对测量结果有影响,其误差为如果采用替代法,则可以避免这种影响。在接入被测电阻Rx并调节平衡后，保持各可调元件不动,然后换上标准可调电阻Rs,并调节其大小,使电桥又恢复平衡,于是可得到Rx=Rs。此时,测量的精度仅取决于Rs,而与检流计G、R1、R2、R3的误差无关,只要指示器有足够高的灵敏度和各电阻在替代过程中保持稳定不变即可。,3.1测量误差及其分类系统误差,精思国计，细量民生,24,【例3】交换法的应用高斯称量法。交换法应用最典型的例子是用于消除天平不等臂问题引起的恒定系统误差。在两臂为l1和l2的天平上称重,先将待测量x放在天平左侧,标准砝码Q放在天平右侧,达到平衡,则有然后交换x和Q的位置,由于ll2,将Q换为Q后才能与x平衡,这时有,3.1测量误差及其分类系统误差,精思国计，细量民生,25,两式相比得这样就消除了由于天平不等臂而造成的系统误差。这种方法最早在天平称重中应用,因此称高斯称量法。根据式（3.1.31）可以得到不带有因天平臂长不等而产生的恒定系统误差的测量结果。,3.1测量误差及其分类系统误差,精思国计，细量民生,26,【例4】对称法的应用用电位差计测电压。利用对称法来消除由于电池组的电压下降而在直流电位差计中引起的累积系统误差。实践证明,在一定的时间内,电池组的电压下降所产生的误差是与时间成正比的线性系统误差，因此,可以利用对称法来消除这个误差。原理线路如图所示。,3.1测量误差及其分类系统误差,对称法,电位差计,精思国计，细量民生,27,3.1测量误差及其分类系统误差,首先在Rn上平衡标准电压En。由于电池组的电压下降,使工作电流I减小，因此有然后在Rx上平衡被计量电压Ex，有,（2）,（1）,精思国计，细量民生,28,再次平衡En，有如果使每次计量的时间间隔相等,则由式（2）得,3.1测量误差及其分类系统误差,（3）,（4）,（5）,精思国计，细量民生,29,将式（5）分别代入式（1）和式（3）,得式（5）与式（6）相加,得,3.1测量误差及其分类系统误差,（6）,（7）,（8）,精思国计，细量民生,30,再将式（4）代入式（8）,得由此可得出不含累积系统误差的被测电压Ex的值：,3.1测量误差及其分类系统误差,（9）,（10）,精思国计，细量民生,31,二、随机误差,1、随机误差的概念在对同一量的多次测量中，每个测得值的误差以不可预知的方式变化但就整体而言还服从一定统计规律，这样的测量误差称为随机误差。随机误差是由于尚未被认识和控制的规律或因素所导致的，引起被测量重复观测值的变化，故而不能修正，也不能完全消除，只能用增加测量次数的方法加以限制和减小。,3.1测量误差及其分类随机误差,精思国计，细量民生,32,二、随机误差,2、概率论是研究随机误差的理论基础概率论和数理统计方法是研究随机误差的理论基础。在相同条件下进行大量的试验，可以得到相当稳定的规律性。这就是将概率论和数理统计方法应用于处理大量观测结果的理论基础。,3.1测量误差及其分类随机误差,精思国计，细量民生,33,二、随机误差,3、随机误差的基本性质服从正态分布的随机误差具有下列基本统计规律性：有界性、对称性、抵偿性、单峰性。,3.1测量误差及其分类随机误差,精思国计，细量民生,34,(1)有界性：在一定的条件下,绝对值很大的误差出现的概率为零,随机误差的绝对值不会超过某一界限。(2)对称性：当计量次数足够多时,绝对值相等的正、负误差出现的概率相同,即P(+)=P(-)(3)抵偿性：当计量次数无限增加时,误差的算术平均值的极限为零,即(4)单峰性：在一系列等精度计量中,绝对值小的误差出现的概率大于绝对值大的误差出现的概率,也就是说,绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多,3.1测量误差及其分类随机误差,精思国计，细量民生,35,4、随机误差的表示方式随机误差的表示方式有以下几种：(1)残余误差（）：把有限n次测量所得测得值的算术平均值作真值求得的绝对误差,称剩余误差,简称残差。式中：i为第i个测得值的残差；xi为第i次测量得到的测得值,i=1，2，,n；为n次测得值的算术平均值。因为剩余误差i可以用测得值算出,所以在误差计算中经常使用。,3.1测量误差及其分类随机误差,精思国计，细量民生,36,(2)最大绝对误差（U）：因为通过测量不能得到真实值,所以严格地讲,也就无法求得绝对误差（真差）。若能找到一个界限值U,并能做出判断：U|x-x0|即U=sup|x|则称U为最大绝对误差(其中,sup表示测得值x的绝对误差x的绝对值不超过U)。因为在实用中很少用绝对误差x,所以习惯上都把最大绝对误差U简称为最大误差。,3.1测量误差及其分类随机误差,精思国计，细量民生,37,二、随机误差,(3)标准偏差()随机误差的大小可用标准差评价，标准差用贝塞尔公式计算：,3.1测量误差及其分类随机误差,精思国计，细量民生,38,二、随机误差,所表征的是一个被测量的n次测量列所得结果的分散性，故称为测量列中单次测量的标准偏差，偏差越小，测量结果越好。,3.1测量误差及其分类随机误差,精思国计，细量民生,39,(4)极限误差（lim）:一般在精密测量中,对于服从正态分布的随机误差常用三倍标准误差作为极限误差,记为lim=3从理论上讲,当测量次数无穷多时,若测得值服从正态分布,则测得值的误差小于极限误差的概率为99.73,即测量误差只有3/1000能超过极限误差。,3.1测量误差及其分类随机误差,精思国计，细量民生,40,(5)极差（R）:一系列计量所得值中的最大值与最小值之差的绝对值称为极差。记作R=|xmax-xmin|显然,极差只用到了两个数据,大多数的中间信息没有利用,而且没有反映计量次数的影响,体现不了误差的随机性及其概率。用表示标准偏差的估计值。,3.1测量误差及其分类随机误差,精思国计，细量民生,41,三、粗大误差,1、粗大误差的概念超过在规定条件下预期的误差就是粗大误差。产生粗大误差的原因：1）计量人员的主观原因；2）客观外界条件原因。,3.1测量误差及其分类粗大误差,精思国计，细量民生,42,三、粗大误差,2、粗大误差的剔除准则1）3准则测量列中误差绝对值超过3者概率很小而为不可能事件。2）格拉布斯准则与其它几个准则相比，对样本中仅混入一个异常值的情况，用格拉布斯准则的效果最好。,3.1测量误差及其分类粗大误差,精思国计，细量民生,43,三、粗大误差,3、罗曼诺夫斯基准则若认为某数据xi可疑，将其除外计算、，若有，则认为xi为粗大误差，剔除是正确的，否则应予以保留，式中k可由有关手册查得，k值与测量次数n及置信概率有关。,3.1测量误差及其分类粗大误差,精思国计，细量民生,44,一、间接测量的误差,根据一些直接测量的结果按一定的关系式求得被测量的量。于是，便出现了关于间接测量的误差问题。另外即使是直接测量，相关的测量环节的误差也会对测量结果产生影响，也要通过误差的合成方法折算到测量结果中去。设间接测量结果y由直接测量量xi所决定，即,3.1测量误差及其分类误差的合成,精思国计，细量民生,45,一、间接测量的误差,令为的误差，为的误差，则对上式取全导数，用微分代替增量有上式中的偏导数称为误差传递系数。若为系统误差，则可直接应用上式进行计算总的系统误差值，若中含有随机误差，则必须按随机误差的方法合成。,3.1测量误差及其分类误差的合成,精思国计，细量民生,46,二、测量误差的合成,在实际计量测试中，对一个被测量来说，往往可能有许多因素引入若干项误差，应将所有误差合理地合成起来。比较常见的测量误差往往都可看成是不相关的，即相互独立的。这样可以不考虑误差因素间的耦合影响。,3.1测量误差及其分类误差的合成,精思国计，细量民生,47,3.2测量不确定度基本概念,一、测量不确定度的定义,测量不确定度是与测量结果相关联的、表征合理地赋予被测量值分散性的参数。测量不确定度的主要含义：（1）该参数是一个分散性参数，是可以定量表示测量结果的指标（2）该参数一般由若干分量组成，称为不确定度分量（3）该参数用于完整表征测量结果，应包括对被测量的最佳估计和分散性参数两部分内容。,精思国计，细量民生,48,二、测量不确定度与测量误差,测量不确定度的定义为表征合理赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数。用标准偏差表示，在数轴上表示为一个区间。测量误差的定义为测量结果减去被测量真值。在数轴上表示为一个点。真值按其本性不是确定的，往往无法得到测量误差的值，所以实际用的是约定真值。,3.2测量不确定度基本概念,精思国计，细量民生,49,二、测量不确定度与测量误差,测量不确定度可以由人们根据实验、资料、经验等信息进行评定，从而可以定量确定测量不确定度的值。不确定度为无符号的参数，恒定取正值。当用方差求取时，取其正平方根。误差为带有正号或负号的量值，不能用（）号表示不确定度。,3.2测量不确定度基本概念,精思国计，细量民生,50,三、测量不确定度的分类,1、依据不确定度的评定方法分类（1）不确定度的A类评定用统计分析法评定，其标准不确定度等于由系列观测值获得的标准差，即。（2）不确定度的B类评定不用统计分析方法，而是基于其他方法估计概率分布或分布假设来评定标准差并得到标准不确定度。,3.2测量不确定度基本概念,精思国计，细量民生,51,三、测量不确定度的分类,2、不确定度的其他概念（1）标准不确定度用标准差表征的不确定度，一般用表示，测量不确定度所包含的若干个不确定分量，均是标准不确定度，用表示。（2）合成标准不确定度当测量结果受多种因素影响时，形成若干个不确定度分量，测量结果的标准不确定度，就需要用各标准不确定度分量合成后所得的合成标准不确定度表示。,3.2测量不确定度基本概念,精思国计，细量民生,52,2、不确定度的其他概念（3）扩展不确定度合成标准不确定度可以表示测量结果的不确定度，但它仅对应于标准差，由其所表示的测量结果，含有被测量的真值的概率仅为68%。给出一个测量结果的区间，以使被测量的值有更大把握位于其中，为此需用扩展不确定度表示结果。,三、测量不确定度的分类,3.2测量不确定度基本概念,精思国计，细量民生,53,一、标准不确定度A类评定,所谓A类评定是指用统计分析法评定，等同于，即，求法可按式,3.2测量不确定度不确定度评定,精思国计，细量民生,54,一、标准不确定度A类评定,当被测量取决于其它N个量时，则的估计值的标准不确定度将取决于的估计值，的标准不确定度可表示为。可表示为或。,3.2测量不确定度不确定度评定,精思国计，细量民生,55,二、标准不确定度B类评定,B类评定不用统计分析法，而是基于其它方法估计概率分布或分布假设来评定标准差并得到标准不确定度。B类评定在不确定度评定中占有重要地位。采用B类评定法，需先根据实际情况分析，对测量进行一定的分布假设，可假设为正态分布，也可假设为其它分布。常见有下列几种情况：,3.2测量不确定度不确定度评定,精思国计，细量民生,56,二、标准不确定度B类评定,1、当测量估值受到多个独立因素影响，且影响大小相近，则假设为正态分布，由所取置信概率P的分布区间，半宽a与包含因子来估计标准不确定度。的数值可由正态分布积分表查得,3.2测量不确定度不确定度评定,精思国计，细量民生,57,二、标准不确定度B类评定,2、当估计值取自有关资料，所给出的测量不确定度为标准差的k倍时，其标准不确定度为：3、若根据信息，已知估计值落在区间内的概率为1，且在区间内出现的机会相等，则服从均匀分布，其标准不确定度为：,3.2测量不确定度不确定度评定,精思国计，细量民生,58,二、标准不确定度B类评定,4、当估计值受到两个独立且皆是