量子力学——谐振子、势垒贯穿

2.5 2.5 线性谐振子线性谐振子 经典谐振子经典谐振子 2 22 1 F=-kx( )kx 2 1k () 2 U x x 2 2 2 0 0 d xU x dtx x=Asin( t+) A- 振振幅幅；初初始始相相位位 每一时刻振每一时刻振 子位置是确定子位置是确定 的的 其位移不能其位移不能 超过振幅决定超过振幅决定 的最大位移！的最大位移！ 量子谐振子的例子量子谐振子的例子 电磁场量子运动可以借助于谐振子模型（量子光电磁场量子运动可以借助于谐振子模型（量子光 学课程）学课程） 微观粒子在平衡位置附近的微小振动可以近似当微观粒子在平衡位置附近的微小振动可以近似当 作谐振子（统计物理部分）作谐振子（统计物理部分） 2 2 2 x=0 x=0 x=0 2 222 2 x=0 U1U ( )U(0)+xx. x2x U U(0)=00 x 1U1 ( )xx 2x2 U x U x 取取；因因平平衡衡位位置置，故故 定态薛定谔方程：定态薛定谔方程： 是谐振子的固有圆频率。是谐振子的固有圆频率。 , 2 1 )( 22 xxU 222 2 222 2 0. dE x dx 22 2 2 d UE dx 无量纲化变换：无量纲化变换： E2 . 0)()( 2 2 2 d d 得到得到 , xx 无量纲化的定态方程无量纲化的定态方程 222 2 222 2 0. dE x dx 观察观察 方程近似为：方程近似为： . 2 2 2 d d .e)( 2 2 1 ),(e)( 2 2 1 H 于是令于是令 22 /2/2 ee 取取（舍舍去去发发散散的的解解） 代入代入无量纲化的定态方程（无量纲化的定态方程（1）得）得 . 0)()( 2 2 2 d d （1） . 0)1(2 2 2 H d dH d Hd 23 0123 ( ). n n Haaaaa 比比较较同同次次项项得得 设设 级数求解：级数求解： 时时HH一一般般是是发发散散的的，下下面面分分析析其其发发散散的的“速速度度”, , 看看看看 是是否否也也发发散散。 2 21 aa (1)(2) (0,1,2,3.) + + )(e)( 2 2 1 H 发散发散 趋于趋于0 ？ 2 e 与与“发发散散的的速速度度”相相等等，这这是是因因为为 2 2n n=0 n 2 e n 2nb / 2 b/ 2/ 2 limlimlim b2 / 2/ 2+ 2 1 ！ （令令） （）！ （）！（）！ （）！（）！ 2 a2 lim a 由由于于， 2 1 2 ( )e( )H 故故波波函函数数也也发发散散 2 21 aa (1)(2) + + 2 2 1 2 1 2 0 limlime( ) lime. ( ) 0(. n ). n n H aa 束束缚缚（） （ 态态 有有限限） 2 21 aa (1)(2) + + 21 2 n 避避免免发发散散的的唯唯一一途途径径是是取取， （n=0,1,2,3.n=0,1,2,3.）, ,这这时时n+n+ 的的项项全全为为零零，于于是是 21n 所所以以截截断断条条件件限限制制了了 的的取取值值。 能量本征值能量本征值 由截断条件由截断条件 , 3 , 2 , 1 , 0, 12 nn , 3 , 2 , 1 , 0, 2 1 nnEn ) 2 ( E 得得 波函数在无穷远不发散波函数在无穷远不发散 截断条件截断条件 能量量子化能量量子化 讨论： (1)能级是等间隔的，能级是等间隔的， (2)零点能是零点能是 , 3 , 2 , 1 , 0, 2 1 nnEn 2 1 0 E 再次看到束缚态能量的不连续性再次看到束缚态能量的不连续性 x E 0 E 1 E 2 E HermitianHermitian多项式的计算公式多项式的计算公式 . 0)1(2 2 2 H d dH d Hd . 022 2 2 n nn nH d dH d Hd 0,1,2,)nn 取取不不同同值值( (时时 21n 23 0123 ( ) n nn Haaaaa将将代代入入， 2 2 21 2n 21 aa ( aa (1)( 1 2 )(2) ) n + + + + （） （） 由由前前面面递递推推公公式式 得得 偶宇称解偶宇称解 奇宇称解奇宇称解 0nn-2n-4 nn-2n-14 aaa. (2 a ) aaa.a （1 1）当当n n为为偶偶数数时时，递递推推序序列列： 当当n n为为奇奇数数时时，递递推推序序列列： 24 n024 ( ). n n Haaaa 35 n135 ( ). n n Haaaa .ee)1()( 22 n n n n d d H 易证：以上递推公式得到的结果可以写成易证：以上递推公式得到的结果可以写成 以下形式：以下形式： 有限多项的多项式有限多项的多项式 举例 前3个 . 24)( ,2)( , 1)( 2 2 1 0 H H H 能级和波函数能级和波函数 能级：能级： 波函数：波函数： , 3 , 2 , 1 , 0, 2 1 nnEn 22 1 2 ( )()e. x nnn xN Hx .ee)1()( 22 n n n n d d H （是归一化常数）（是归一化常数） 2 e x dx （） . !2 n N n n ， 2 3 1 E （偶宇称）（偶宇称） 22 2 1 22 2/1 2 )12( 2 )( x exx 22 1/2 1 2 0( ) x xe （偶偶宇宇称称） 22 1/2 1 2 1( ) 2 x xxe （奇奇宇宇称称） 第二激发态第二激发态, 2 n 第一激发态第一激发态, 1 n 0 1 2 E （零零点点能能） 基态基态，0 n 最常用的几个态：最常用的几个态： ， 2 5 2 E 线 性 谐 振 子 波 函 数 线 性 谐 振 子 波 函 数 线 性 谐 振 子 位 置 概 率 密 度 线 性 谐 振 子 位 置 概 率 密 度 0 0n x 1 1n x 2n 2 x 2 0 0n x 2 2 2n x 2 1 1n x 2 11 11n x n=11 时的概率密度分布时的概率密度分布 经典粒子不能出现在经典粒子不能出现在E E 0， 没有束缚态没有束缚态(可以出现在无穷远可以出现在无穷远) 0)( U U0 0)( U 能量连续的定态问题能量连续的定态问题 粒子能量大于无穷远势能粒子能量大于无穷远势能 一维散射问题的一般性描述一维散射问题的一般性描述 假设假设 . 0, 0)()( EUU x e ( ) e ikx ikx x 于是得无穷远处 2 E k 正向行波（向右）正向行波（向右） 反向行波（向左）反向行波（向左） 时时 自由自由 自由自由 2 2 2 2 d E 2dx 0k 左方入射左方入射 , 2 vAJ I 2 , R JB v , 2 vCJ D 2 2 | | R I BJ R J A 2 2 A C J J D I D 反射系数反射系数 透射系数透射系数 ikx ikx ikx C B A e e e 透射：透射： 反射：反射： 入射：入射： k v 几率流几率流 波函数波函数 2 idd J dxdx 方势垒的穿透方势垒的穿透 0 0(0,) ( ) 0(0) xor xa U x Uxa 0 0UE 0 a U0 假设粒子能量小于势垒最高点的值假设粒子能量小于势垒最高点的值 22 2 d (E)0 2dx U 势垒外部势垒外部 2 0k ee(0) ( ) e() ikxikx ikx ABx x Cxa 0 a 2 E k U0 势垒内部势垒内部 2 0 ( )ee xx xFG 0 2 ()UE )xa（0 0 合并解合并解 ikx Ae axC axGF xBA x ikx xx ikxikx ,e 0,ee 0,ee )( U0 左侧左侧 右侧右侧 中间区域中间区域 在在X=0X=0和和x=ax=a处连续，得到处连续，得到4 4个方程，个方程， 能够确定能够确定5 5个系数个系数A A、B B、F F、G G、C C 的相对大小（比值）的相对大小（比值） 0 a ikx B e ikx Ce 22 22 ()sh() , ()sh()2ch() Bka Akaika 22 2e , ()sh()2ch() ika Cik Akaika 11 sh(ee), ch(ee). 22 xxxx xx U0 0 a ikx Ae ikx B e ikx Ce 反射与透射系数 2 2222 2222222 () sh () , () sh ()4 Bka R kak A 2 22 2222222 4 . () sh ()4 Ck D kak A RD1 U0 0 a ikx Ae ikx B e ikx Ce 反射系数反射系数 透射系数透射系数 量子隧道效应量子隧道效应 0 UE 0D 0 2 2 A C D ikx Ae ikx Ce 简单地说，粒子“能够穿越比入射能量高的势垒”简单地说，粒子“能够穿越比入射能量高的势垒” （透射系数不为零），称为量子隧道效应（透射系数不为零），称为量子隧道效应 U0 U0 0 UE 透射率透射率D对参数的敏感性对参数的敏感性 假设 a 1 2 20 0 2 () e,. a UE a DDa 它对势垒高度它对势垒高度( )、宽度、宽度(a)和粒子能和粒子能 量量( E )非常敏感。非常敏感。 应用：扫描隧道显微镜应用：扫描隧道显微镜 0 U e 0 a U0 E 作业作业 ( (补充题补充题2.32.3，选做选做): ): 完成完成 的推导的推导 R D, 量子隧道效应是波动性的表现量子隧道效应是波动性的表现 量子隧道效应是微观粒子才具有的性量子隧道效应是微观粒子才具有的性 质：质：宏观物体贯穿势垒的几率太小，宏观物体贯穿势垒的几率太小， 因此实际上不可能发生。因此实际上不可能发生。 关于进入经典“禁区”的讨论关于进入经典“禁区”的讨论 在在E E确定的状态下，位置是不确定的，有一确定的状态下，位置是不确定的，有一 定空间分布，在定空间分布，在“经典禁区经典禁区”中的几率也中的几率也 不为零。不为零。 U0 E T=E-U00， 代代表表负负向向传传播播的的波波。 为为什什么么？ - U =e0 ()/ ,/ i Kxt KpE （） 薛薛定定谔谔方方程程的的解解( =0)( =0)： 且且 下面求相位传播速度（即等相位面移动的速度）下面求相位传播速度（即等相位面移动的速度） 相速度（相位传播速度）：相速度（相位传播速度）： -, 0 0 =ee ,= - , = =- i Kxtix t x x x t t t t K Kx （）（） （）是是对对，。 对对等等相相位位面面，（） （常常数数），所所 相相位位 以以 ， 0 -= -=0 v, v Kxt Kdxd dt dx t K dx dtK 由由两两边边 跟跟踪踪一一个个等等相相位位面面的的运运动动，设设经经时时间间 后后 该该等等相相位位面面位位移移为为， 则则 所所以以的的符符号号取取决决 微微分分得得 于于是是 于于 的的符符号号. . K 0 v x 0 0 , v v 0,0, 向向传传播播。 v K - iKx i t