量子力学周世勋第三章习题

13 第三章 量子力学中的力学量 3.1 一维谐振子处在基态 ( ) 22 22 1 2 xi t xe =,求 (1) 势能的平均值 22 2 1 xU=; (2) 动量的几率分布函数; (3) 动能的平均值 2 2 p T =. 解: (1) 势能的平均值: ( )( )( ) 222 *2222 222 32 11 22 111111 22444 x Ux Ux dxxx dxx edx = = ? ? (2) 动量的几率分布函数 ( )( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 22 * 22 2 2 2 2 22 3 22 2 2 3 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 x i px p xii tpx ip i xx t ipp i x t pi t y C pxx dxx edx eedx eedx ip eeed x eedy + + = = = =+ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 22 2 2 1 pi t e = ? ? 所以 ( ) 22 2 12 ? ? p epC = (3) 动能的平均值 2 2 p T = ( ) 2 22 2 2 222 22 332 1111 222 111 2242 p y TpC pp dpep dp y edy = = ? ? ? ? ? 14 计算可知,这一状态中的振子的势能和动能的平均值相等,都是零点能2?的一半. 以上计算中,用到积分公式: () nn xn n dxex 1 2 2 12531 2 2 + = ? 费曼方法介绍: 设某系统的能量本征值方程为 n H nE n= 其中 , , n H En含有一参数, 那么, 便有 n n nnEH nHnE +=+ 于是有 n n nnEH nnn Hnnn E +=+ 再根据 n n Hn E=, 得到 n EH nnnn = . 这个公式对于求某些力学量本征态下的平均值问题会非常有用.具体到这里的(1)、(3)小题,有 (1) 2 22 1 22 p Hx =+. 因而 222 2 12 2 H xxU = . 这样便有 0 21 0000 2 E U = ? 这里, 用到了 0 1 2 E=?, 因此, 有 1 00 4 UU=? (3) 22 22 2 1 22 d Hx dx = + ? . 因而 222 22 22 2 Hdd T dxdx = = ? ? . 根据费曼方法, 有 0 21 0000 2 E T = ? 这样, 便有 1 00 4 TT=? 从以上两例, 可以看到:利用费曼方法,可以非常简捷地得到所要的结果.这种方法,在后面 15 还会用到. 此外,根据(1)与(3)两道小题,有 1 2 HTUTU=+=+=? 3.2. 氢原子处在基态() 0 3 0 1 a r e a , r = ,求: (1) r的平均值; (2) 势能 r e2 的平均值; (3) 最可几半径; (4) 动能的平均值; (5) 动量的几率分布函数. 解: (1) r的平均值: ( ) 0 2 223 3 0 0 4 3 00 0 34 00 1 4 443 3! 222 r a x rr r r drdr edr a aa x e dxa a = = (2) 求势能的平均值: 0 2 0 2 0 3 0 2 0 2 3 0 2 4 4 0 a e dxxe a a e drre a e U xa r = = 2 (3) 求最可几半径: 电子在半径为r的球面上的几率为 ( )( ) 2 2 3 0 2 2 0 1 re a rrrW a r = 求上式对r的导数 ( ) 0 2 2 3 00 12 2 r a dr W rre draa = 令上式等于零, 则可求得最可几半径为: 0 ar = (4) 动能的平均值 2 2 p T = ( )( ) 00 0 22 *2 100100 222 2 22 2 33 0 00 2 2 2 32 0000 11 sin 2sinsin 11 4 2 112 4 2 rr aa r a Trrr d rrr erer dr rrr aa r edr aaa r =+ = = ? ? ? 16 2 2 00 2 000 222 00 22 000 2 82 2 4222 xx aa x e dxxe dx a aae aaa = = = ? ? (5) 动量的几率分布函数 欲求动量的几率分布,必须先将波函数按动量的本征函数展开.即 ( ) () ( ) 3 2 1 2 i Ced = ? ? p r rpp 其中 ( ) () ( ) 3 2 1 2 i Ced = ? ? p r pr 将氢原子的基态波函数代入得: ( ) () 0 cos 2 3 23 0 0 0 21 sin 2 r i pr a Cr eed dr a = ? ? p 因为在积分过程中p不变,我们p选沿z轴方向,即cospr=p r对的积分已经完成,以 下作对的积分: coscos 00 sincos i pr iiii prprprpr y i pr i ededpre dyee ipripripr = ? ? ? ? ? 将上式的结果代入( )C p中,最后对r积分: ( ) () () () () 00 11 3 23 000 2233 0 00 44 0 233 222 00 0 3 2 33 0 0 233 22222 0 00 21 2 1111 2 11 114 2 218 ii p rp r aa Credrredr aipip a ip ii pp aa aip a ip a a p aa a a pa + = = + = + = + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? p () 2 2 p 这就是当氢原子处在基态时,电子动量的绝对值取p的几率.电子动量的绝对值在dppp+范 围内的几率,等于( ) 2 pC乘以动量空间的体积元dpp 2 4.此题中势能动能平均值可用费曼方法 求解. 费曼方法求动能势能平均值. 动能平均值: 22 2 pe H r = 24 1 2 0 22 ee E a = = ? 于是有: 17 2 2 4 1 2 2 2 HpT Ee = = = ? 这样根据费曼的方法,有 4 1 2 442 22 0 1111 ,11 2 11, 222 EHTe Teee T a = = = ? ? 同样地,有 3 1 2 22 4 2 He U ere Ee e = = = ? 这样根据费曼的方法,有 33 22 342 22 0 244 1111 ,11 22 24 11, 2 Hee U ee eee UU ea = = = = ? ? 当然有 222 000 22 eee HTUTU aaa =+=+= 是自洽的. *3.3. 证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标系中的分量是 0= eer JJ 2 sin enlm e m J r = ? 解: 电流密度 e e= JJ 而J为电子的几率流密度 () * 2 i = ? J 在球坐标系中电子运动状态函数为 ( )()cos mim nlmlmnll N Rr Pe = 其中(),cos m nll RP均为实数， lm N是实数，只有 im e是非实数，而 () im * im ee = 另外球坐标中的梯度算符为 11 sin r rrr =+ eee 18 则电流密度的径向分量 r J为： ( )() ( ) () ( )() ( ) () 0 2 coscos 2 coscos 2 2 * = = = = m llmnl m llmnl m llmnl m llmnl im m llm nlim m llmnl im m llm nlim m llmnl nlm nlmnlm nlmr PNR dr d PNRPNR dr d PNR i ePN dr rdR ePNrR i ePN dr rdR ePNrR i rr i J ? ? ? ? 电流密度方向的 J分量为 ( )()( )() = im m llmnl im m llmnl eP rd d NrRePNrR i Jcoscos 2 ? ( )()( )()0coscos 2 = im m llmnl im m llmnl eP rd d NrRePNrR i? 其实0= JJr是很显然的，因为 r 和 对 imim e ,e 不起作用，所以状态函数与实函数的 情况相同. 电流密度方向的 J分量为 ( )()( )() ( )()( )() ( )()( )() () ( )()( ) 1 coscos 2sin 1 coscos 2sin coscos 2sin cos 2 mmimim nllmlnllml mmimim nllmlnllml mmimim nllmlnllml mim nllmlnl i JRr N PeRr N Pe r i Rr N PeRr N Pe r imi Rr N PeRr N Pe r i Rr N PeRr = = ? ? ? ? () () 2 cos sin sin mim lml nlm im N Pe r m r = ? 综上所述：()()0 ee r =JJ ()() 2 sin eeenlm em eeJ r = = = ? JJ 3.4. 由上题知,氢原子中的电流可以看作是由许多圆电流组成的. (1) 求一圆电流的磁矩; (2) 证明氢原子磁矩为 () () 2 2 z me SI MM me CGS c = ? ? 19 原子磁矩与角动量之比 () () 2 2 z z e SI M eL CGS c = 这个比值,称为回转比磁比率. 解: (1) 一个微分的园环中通过电流所产生的磁矩 在球极坐标中(核处于原点),某一r ,的圆环附近流过电流dS面积的微分圆面积电流为 dSJdI e = 该圆电流的磁矩为 dSJrAdIdM ez 22 sin= 式中 22 sinr是环子()r ,的所围成的面积.将 2 sin enlm em J r = ? 代入得 2 2 sin sin znlm znlm emr dMdS emr m = = ? ? z m是一圆周电流的磁矩. (2) 氢原子的磁矩为: 0 0 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 sin 1 sin 2 22 zz nlm nlm nlm MMm rdrd em rdrd em rdrd d emem d = = = = = ? ? ? (SI) 若用 CGS 单位制, z AdI dM c =, 则 2 z em M c = ? (CGS) 注意到?mLz=,则立即可以得到回转磁比率: () () = CGS c e SI e L M z z 2 2 3.5. 一刚性转子转动惯量为 I,它的能量的经典表示式是 I L H 2 2 =,L为角动量, 求与此对应 的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数: (1) 转子绕一固定点转动; (2) 转子绕一固定轴转动. x y z O sinr J 图题53. r 20 解: 空间转子是在中心力场中运动的特例,即它是被约束在球面上运动的体系.这种情况下, 体系的哈密顿为 222 22 11 sin 22sinsin L H II = + ? (1) 对于定点转动,状态与,都有关,设能量的本征函数为(),有 ()(),E,H = 即 ()(),E, I L = 2 2 而 ()()() 22 ,1, lmlm LYl lY =+? 比较上两式,我们得到: 当()(),Y, lm =时，则 () I ll El 2 1 2 ?+ = 此时我们同时求得能量的本征值和本征函数. (2) 转子绕一固定轴转动. 对于定轴转动,即转子被约束在某个平面内的圆周上转动,我们可以假设 2 =,波函数与 无关.此时体系的哈密顿算符亦与无关,写作 2 222 22d d II L H ? = 波函数与无关,只取决于()( )cos m lmlm YP =中的( )m 即 ( )( ) im m e 2 1 = 将哈密顿算符作用于上式得到能量的本征值为 ? ? ,m I m Em=10 2 22 或直接解本征值方程 ( )( ) 22 2 2 d E I d = ? ( )( ) 2 2 0 d d += 其中 2 2 ? IE = 其解 ( )sincosAB =+ 考虑单值条件, 即( )()02=, 得 sin2cos2BAB=+ 由此得 () 2 0,1,2,mm=? 也可以将本征函数改写为 ( )(),0,1,2, imim AeBem =+=? 即 21 ( )(),0, 1, 2, im Aem = ? 可归一化为: ( )( ) 22 2 * 00 21dA AdA = 1 2 A = 最后得 ( )() 1 ,0, 1, 2, 2 im em = ? 因此本征值为 ? ? ,m I m Em=10 2 22 3.6. 设0=t粒子的状态为 ( ) 2 1 sincos 2 xAkxkx =+ 求此时的平均动量和平均动能. 解: 方法 I: ( )( )dpepCx px i ? ? = 2 1 ( )( ) ()()( ) 2 2 22 11 sincos 222 1 2222 1 2 42 2 222 4 pxpx ikxikxikxikx px px ikxikxikxikx A C pedxkxkx edx Aeeee edx i A eeeeedx A kpkppk =+ + =+ =+ =+ ? ? ? ? ? ? ? ? ()()pkp+ ? 将上式代入( )( )dpepCx px i ? ? = 2 1 中得 ( )()()( ) ()() () 220 220 222 444 44 2 4 211211 422222 iii pxpxpx ii pxpx i kxi kxi kxikxikx i kxi kxi kxikxikx AAA xkp edpkp edpp edp AA kp edpkp edp A eeeee A eeeee = + + =+ =+ ? ? ? ? ? ? () ()1 2 xx i ppx xx ppedx = ? ? 22 可见动量可以取 5 个值,依次是:?k ,k,k022和?k 由归一化条件:( ) =1 2 pC得 1 4 2 4 2 4 22 4 2 4 2 22222 = + + + + ?AAAAA 所以归一化系数为 ? 1 =A ( ) += ikxikxkxikxikxi eeeeex ? 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 4 2 022 它们出现的几率分别为是: 8 1 2 1 8 1 8 1 ,和 8 1 动量的平均值: ( )()()0 8 1 8 1 0 2 1 2 8 1 2 8 12 =+=?kkkkppCp p 动能的平均值: ( ) () 2 2 2 22222222 2 1 22 11111 440 28888 5 8 p p TC pp kkkk k = =+ = ? ? 方法 II: ( ) () 2 2 220 220 1 sincos 2 1 222 2 4 211211 422222 ikxikxikxikx i kxi kxi kxikxikx i kxi kxi kxikxikx xAkxkx eeee A i A eeeee A eeeee =+ + =+ =+ =+ ? ? 上面利用欧拉公式直接展开,结果与方法 I 一样,以下运算与方法 I 完全相同. 3.7. 一维运动粒子的状态是 ( ) ,求 (1) 粒子的动量的几率分布函数; (2) 粒子的平均动量. 解: (1) 按照波叠加原理，任一波函数都可以看作是各种不同动量的平面波的叠加.叠加系数为 23 ( )( ) = 0 22 1 dxexe A dxexpC px i x px i ? ? 用到积分公式 1 0 ! mx m m x edx + = 积分 2 00 1 + = + p i dxxedxexe xp i px i x ? ? ? 再求出所给波函数的归一化常数 A： ()3 2 0 222 2 2 1 AdxexA x = 即 32 4=A 最后得到动量的几率分布： ( ) () 2 3333 2 222 2222 2 2 41412 22 C p i pp p = + + + ? ? ? ? ? (2) 求粒子动量的平均值： 由上式( ) 2 pC已经看出，粒子在状态中取p+和p几率相等，所以动量的平均值为零， 实际上： ( )( )() ()() 0 2 ! 2 2 1 32 2 0 22 0 22 0 2 0 = = = = Ai dxexdxxeAi dxxe dx d xeAidxx p xp xx xx* ? ? ? 或 ( ) () () 33 2 2 222 3333 2222 222 2 21 0 p pC ppdpdp p p dp p p = + = + + ? ? ? ? ? 3.8. 在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为a,如果粒子状态的波函数为 ( )()xaAxx=, A 为归一化常数,求粒子能量的几率分布和能量的平均值. 24 解: 首先将波函数归一化： ()1 304 2 53 5 2 0 4532 2 0 2 22 = += a A axxxa AdxxaxA a a 所以 5 2 30 a A = 将给定的波函数视为能量本征函数 ( ) 2 sin n n xx aa = 的线性叠加,即 ( )( )xCx n nn = 其中系数 ( )( )() * 00 2 sin aa nn n x Cxx dxAx axdx aa = 其中 () 2 00 2 2 0 sinsin sin1 aa x n n n xann xn x xdxxd anaaa aa yydy nn = = = 而 ()() 3 22 00 33 33 sinsin 2 111 an y nn n xa xdxyydy an aa nn = = = + 将两式结果代入 n C得 ()()() () () = = += 数为 奇 偶 数为 n n n n n a aa n a n a n a a AC n n nnn n 0 2402 11 240 11 2230 11 2 11 2 33 33 33 3 5 33 333 因此，能量的几率分布函数 ?531 960 66 2 ,n n Cn= 粒子的能量平均值： () () () 2 24 42 2 0 442 2 0 2 22 2 6 6 1 2 5 962 960 12 1 2 960 2 12 12 960 aana a n n ECE n nn nn ? ? = + = + + = = = = 能量还可以方便的由平均值的积分公式求得 25 ()() ()() 0 22 * 52 00 22232 223 5552 0 30 2 153011305 2 236 aa a a d EHdxx axx ax dx adx a axxdxaxx aaaa = = = ? ? 3.9. 设氢原子处于状态 ()( )()( )(),YrR,YrR, r 11211021 2 3 2 1 = 求氢原子的能量、角动量的平方及角动量z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量 的平均值. 解: (1) 能量 能量的本征值方程为 ( )( )rRErRH nlnnl = 其能量为 2 2 0 1 2 s n e E a n = 可见所给的波函数是能量的本征函数，本征值为 2 E，即 ()( )()( )() ( )()( )() () , rE ,YrRE,YrRE ,YrRH ,YrRH , rH 2 1121210212 11211021 2 3 2 1 2 3 2 1 = = = 22 20 2 0 8 s s e Ea ae = = ? (2) 角动量的平方 角动量平方的本征值方程为 ()()(),Yll,YL lmlm 22 1?+= 其 () 22 1 ?+=llL 可见所给的波函数是角动量平方的本征函态，角动量平方有确定的值(对应于1=l) () 222 2111? =+=L (3)角动量z分量 z L 的本征值方程为 ( )( ) mmz mL ?= ( ) im m e 2 1 =它是( ) lm Y的一个因子。 z L的值取决于量子数m，题给定的状态不是 z L的本征态，而是 z L本征态的线性叠加。在 1021 2 1 YR态中，00= z L,m而在 1121 2 3 YR态中?= z L，故在所给的态(), r中， z L的 可能值为0和?，出现0和?的几率分别为 2 2 1 和 2 2 3 ，即 4 1 和 4 3 。 z L的平均值 ()? 4 3 4 3 0 4 1 =+= z L 26 3.10. 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为 ( ) 28 ()() 2 , 3 1,1, 2 r rr n l ln lln l C a jka jka + = 其中归一化系数为 ()() 1 2 , 3 1,1, 2 r rr n l ln lln l C a jka jka + = 此时 ( )( ) 1212 2 , 0 a k lk lk k Rr Rr r dr= 3.11. 求 3.6 题中粒子位置和动量的不确定性() () 22 ?xp= 解: 根据 3.6 的结果以及对任何一个力学量A有 ()() 2 2 222222 22AAAAAAAAAAAAA=+=+= 便有 () 2 222 2pppTp= 由 3.6 题知: 动量的平均值: ( ) 2 0 p pC pp= 动能的平均值: ( )() 2 2 2 2 15 228 p p TC ppk = ? 因此有 ()() 22 222 55 22 84 pTpkk =? 此外,有 ( ) 2 1 sincos 2 xAkxkx =+ ( ) () 220 2 211211 422222 2111 cos2cos 2222 2 1 cos2cos 2 2 21 cos21 cos 222 11 sincos 2 i kxi kxi kxikxikx xeeeee kxkx kxkx kx kx kxkx =+ =+ =+ =+ =+ ? ? ? ? ? 29 由于( )w x是关于x的偶函数,因此 ( )0 xxw x dx = 另外,我们有 * 22202 220 211211 422222 211211 422222 i kxi kxi kxikxikx i kxi kxi kxikxikx xeeeeex eeeeedx =+ + = ? ? 故我们有 () 2 22 xxx= 最终有 () () 22 xp= 3.12. 粒子处于状态 ( ) 1 2 2 0 22 1 exp 24 ix xp x = ? 式中为常量.求粒子的动量平均值, 并计算测不准关系() () 22 ? x xp= 解: ( )x是不归一的，因此令归一化常数为A,则有 ( ) 1 2 2 0 22 1 exp 24 ix xAp x = ? ( )( ) 2 2 2 22 2*2 22 22 2 2 222 1 2 2 xx AAx xx dxedxed AA = = 因此得: 2A= 最后得归一化波函数为 ( ) 1 2 4 0 22 1 exp 24 ix xp x = ? (1) 求粒子动量的平均值 22 00 22 2 2 2 1 2 44* 0 22 2 22 00 0 1 22 220 222 222 ixix p xp x xx dix pidxepedx dxi ppxix ededp + = =+=+= ? ? ? ? (2) 计算测不准关系 30 因 22 00 22 22 00 22 2 2 1 2 2 4422 22 1 2 442 0 22 1 2 22 0 2 1 2 1 22 1 22 ixix p xp x ixix p xp x x d peedx dx dix epedx dx ix ep + + = = = ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 0 22 22 0 2 22 1 22 2 22 00 22242 2 22 20 22422 2 222 22 224 1 2 11 242 1 242 1 2422 x x xx dx pxpx eidx p ixpx edx p x edxe = + =+ =+ ? ? ? ? ? ? 2 2 22 22 0 2 2 2 2 0 2 20 22 2 2 22 22 22 2 2 20 22 2 2 2 22 2 12 2 2222 222 2 1 2 222 x xx x x ixp dxedx p xxx eded ip exdx p x ed + =+ + =+ ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 222 0 0 0 2 2 2 2 22 20 22 2 222 22 0 222 2 2 22 22 2 2 2 2 222 22 1 2 2222 1 2 2222 1 2 x x yyy xx ed ipx ed p ip edyey dyedy p p + =+ =+ =+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 22 2 222 44 p =+ ? 另解: 22 00 22 22 00 22 1 2 2 442 2 * 1 2 44 2 1 2 1 2 ixix p xp x ixix p xp x peiedx x ieiedx xx + = = ? ? ? ? 31 22 00 22 22 00 22 * 1 2 44 00 222 1 2 44 00 222 1 222 1 222 1 ixix p xp x ixix p xp x xx piepiedx xx piepiedx + =+ =+ = ? ? ? ? 2 2 2 2 22 22 1 2 2 00 222 1 2 2 222 00 0 2224 1 2 2 2222 0 24 1 2 2 0 2 222 1 2224 1 24 1 2 2 x x xx x xx epipidx xpxpx epiidx pedxx edx pe + =+ =+ = ? ? ? 22 22 22 2 2 322 4 1 2 2 22 0 2 1 2 2 2 0 2 1 2 2 2 0 22 2 2 0 2 2 2 4222 1 2 22 1 2 222 1 22 24 4 x yy xxx ded pedyy edy p p p + =+ =+ =+ =+ ? ? ? ? ? 2 2 2 1 0 2 x xxedx = ()() 2 22 33 22222 111 22 2222 x y xx edxy e