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文档简介
绝密启用前 江苏省 2017 年普通高校专转本选拔考试 高等数学 试题卷 注意事项: 1本试卷分为试题卷和答题卡两部分试题卷共 3 页,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 2必须在答题卡上作答,作答在试题卷上无效,作答前务必将自己的姓名和准考证号准确清晰 地填写在试题卷和答题卡上的指定位置 3考试结束时,须将试题卷和答题卷一并交回 一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,共24分,在下列每小题中,选出一个正确答案,请在答 题卡上将所选的字母标号涂黑) 1设( )f x为连续函数,则 0 ()0fx是( )f x在点 0 x处取得极值的( D ) A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D非充分非必要条件 2当0 x 时,下列无穷小中与x等价的是( B ) Atansinxx B11xx C11x D1cosx 30 x 为函数 e10 20 ( ) 1 sin0 x x x f x xx x 的( A ) A可去间断点 B跳跃间断点 C无穷间断点 D连续点 4曲线 2 2 68 4 xx y xx 的渐近线共有 ( C ) A1 条 B2 条 C3 条 D4 条 5设函数( )f x在点0 x处可导,则有( D ) A 0 ( )() lim(0) x f xfx f x B 0 (2 )(3 ) lim(0) x fxfx f x C 0 ()(0) lim(0) x fxf f x D 0 (2 )( ) lim(0) x fxf x f x 6若级数 1 ( 1)n p n n 条件收敛,则常数p的取值范围为( C ) A1), B(1), C(0 1, D(0 1), 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 7设 1 lim()e d a xx x x x x ,则常数a 1a 1 11 lim()lim(1)e xx xx x xx ,e dee aa xxa x ,所以1a 8设函数( )yf x的微分为 2 de d x yx,则( )fx 2 ( )2e x fx 2 ( )e x fx, 2 ( )2e x fx 9设( )yy x是由参数方程 3 31 1sin xtt yt 确定的函数,则 (1, 1) d d y x 1 3 由1x ,1y 得0t , (1, 1) d d y x 2 00 dcos1 d333 tt yt xt 10设( )cosF xx是函数( )f x的一个原函数,则( )dxf x x cossinxxxc ( )ddcoscoscos dcossinxf x xxxxxx xxxxc 11设a 与b 均为单位向量,a 与b 的夹角为 3 ,则ab 3 1 |cos( , ) 2 a ba ba b , 222 ()21 1 13ababaa bb 12幂级数 14 n n n n x 的收敛半径为 4 1 1 111 4 limlim 44 4 n nn n n n n n ,所以,收敛半径4R 三、计算题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分) 13 求极限 2 0 0 (e1)d lim tan x t x t xx 解 2 2 2 0 22 000 (e1)d e1 limlimlim1 tansec1tan x t x xxx t x xxxx 14 设( , )zz x y是由方程ln0zzxy确定的二元函数,求 2 2 z x 解 1 0 zz y xz x , 1 zyz xz , 22 2 222 11 ()0 zzz xzxz x , 22 2 23 1 () (1)(1) zzy z xz zxz 15求不定积分 2 d 3 x x x 解 2 d 3 x x x 2 3 3 xt x t 令 22 42 (3) 2 d2 (69)d t t tttt t 531 53 222 12 2(29 )(3)4(3)9(3) 55 tttcxxxc 16计算定积分 1 2 0 arcsin dxx x 解 1111 222 2222 0000 11 arcsin darcsin d(arcsindarcsin ) 22 xx xx xxxxx 1112 2 222 0002 11 (arcsindarcsin )(d ) 22 24 1 x xxxxx x sinxt令 2 66 00 111cos2 (sind )(d ) 2 242 242 t t tt 6 0 1111133 3 (sin2 ) )() 2 24222 242 6448 tt 17设 2 ()zyf yxy,其中函数f具有二阶连续偏导数,求 2z x y 解 设 2 uy,vxy,则()zyf u v,于是有 2 2 zffv yyy f xxv x , 2 22 222 22 22() fffzuv yfyyfy x yyuyvy 232 2212222122 2(2)22yfyyfxfyfy fxy f 18 求通过点(1,1,1)且与直线 111 121 xyz 及直线 43210 50 xyz xyz 都垂直的直线方程 解 依题意直线 111 121 xyz 的方向向量 1 ( 1,2, 1)s ,直线 43210 50 xyz xyz 的方向向量 2 432(5, 2, 7) 111 ijk s ,则所求直线的方向向量121( 16, 12, 8)4(4,3,2) 527 ijk s , u x f v y 故所求直线方程为 111 432 xyz 19求微分方程233yyyx通解 解 对应齐次方程的特征方程为 2 230rr,特征根为 1,2 12ri ,所以对应齐次方程通解 12 e (cos2sin2 ) x ycxcx, 又 0 不是特征根, 设原方程的特解 * yAxB, 则有 * ,0yAy , 于是有23()3AAxBx,得 2 1, 3 AB,即有 * 2 3 yx,原方程通解 * 12 2 e (cos2sin2 ) 3 x yyycxcxx,其中 12 ,c c为任意常数 20 计算二重积分 2 d d D x x y y ,其中D是由曲线1xy与两直线3xy,1y围成的平面闭 区域 解 232 2 111 211 d dd2 d(3)(1)d y y D x x yyx xyyy yyy 2 2 2 1 1 10111 (7)d(10ln7)10ln2 22 yyyyy y 四、证明题(本大题共 2 小题,每小题 9 分,共 18 分) 21证明:当0 x时,sin2cos2xxx 证明 设( )sin2cos2f xxxx,( )sincos2sincossinfxxxxxxxx, ( )cossincossin0fxxxxxxx (0 x) ,因而当0 x时,( )fx为单调减少函数, 即有( )(0)0fxf,从而有( )(0)0f xf,即sin2cos20 xxx,即有sin2cos2xxx 22设函数( )f x在闭区间,a a上连续,且( )f x为奇函数,证明: (1) 0 0 ( )d( )d a a f x xf x x ; (2)( )d0 a a f x x 证明 (1) 0 ( )d a f x x xt 令00 00 ()d()( )d( )d( )d aa aa fttf ttf ttf x x ; (2)由(1)得 0 000 ( )d( )d( )d( )d( )d0 aaaa aa f x xf x xf x xf x xf x x 五、综合题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分) 23设平面图形D由曲线exy 与其过原点的切线及y轴围成,试求 (1)平面图形D的面积; (2)平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积 解 设切线的切点为( ,e ) t t,则切线方程为ee () tt yxt, 因为原点(0,0)在切线上,故有1t ,即切点为(1,e),切线 方程为ee(1)yx,即eyx (1)平面图形 D 的面积 1 1 2 0 0 1e2 (ee )d(ee) 22 xx Axxx (2)平面图形D绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积 1 2 1 2222 0 0 11(e3) eee 3236 xx Vdxe 24已知曲线( )yf x通过点( 1, 5),且函数( )f x满足方程 5 3 3( )8 ( )12xfxf xx,试求: (1)函数( )f x的解析式; (2)曲线( )yf x的凹凸区间与拐点 解 (1) 5 3 3( )8 ( )12xfxf xx可化为 2 3 8 ( )( )4 3 fxf xx x ,则有 8 ( ) 3 p x x , 2 3 ( )4q xx, 828 ()d()d ( )d( )d 333 ( )e( )ed)e( 4ed) xx p xxp xx xx f xq xxcxxc 858 333 2 4 (d)4xxcxcx x , 又( )yf x通过点( 1, 5),得1c ,因而所求函数 85 33 ( )4f xxx (2) 52 33 820
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