电大《常微分方程》形成想考核作业参考答案

常微分方程第一、二、三次作业参考答案1、给定一阶微分方程：（1） 求出它的通解；解：由原式变形得：.两边同时积分得.（2） 求通过点（2，3）的特解；解：将点（2,3）代入题（1）所求的得通解可得：即通过点（2,3）的特解为：.（3） 求出与直线相切的解；解：依题意联立方程组：故有：。由相切的条件可知：，即解得故为所求。（4） 求出满足条件的解。解：将代入，可得故为所求。2、求下列方程的解。） 2）解：依题意联立方程组：解得：，。则令，。故原式可变成：.令，则，即有.两边同时积分，可得 .将，代入上式可得：.即上式为所求。3、求解下列方程:.解：由原式变形得：.两边同时积分得：.即上式为原方程的解。.解：先求其对应的齐次方程的通解：.进一步变形得：.两边同时积分得：.利用常数变异法，令是原方程的通解。有.整理得：.两边同时积分得.故原方程的通解为：.；解：令，代入方程整理得解得:即.解：由原式化简整理得：两边同时积分得：4、叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理。一阶微分方程 （1）其中是在矩形域上的连续函数。 定义1 如果存在常数，使得不等式 对于所有 都成立，则函数称为在上关于满足Lipschitz条件。 定理1 如果在上连续且关于满足Lipschitz条件， 则方程(1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件， 这里，。 5、求方程通过点的第二次近似解。 解： 令 则 6、讨论方程通过点的解和通过点的解的存在区间。解：此时区域D是整个平面.方程右端函数满足延展定理的条件.容易算出，方程的通解是：故通过(1,1)的积分曲线为：，它向左可无限延展，而当时，y +, 所以，其存在区间为(-,2)。7、考虑方程假设及在xOy平面上连续，试证明：对于任意及，方程满足的解都在上存在。证明：根据题设，可以证明方程右端函数在整个xOy平面上满足延展定理及存在与唯一性定理的条件.易于看到，为方程在(-,+)上的解.由延展定理可知足，任意，的解上的点应当无限远离原点，但是，由解的唯一性，又不能穿过直线 ，故只能向两侧延展，而无限远离原点，从而这解应在(-,+)上存在。8、设（1） 验证函数是方程的通解；解：由，易得.故得以验证（2） 求满足初始条件的特解；解：由，可得.由可得.由可知.所以所求特解为.（3） 求满足初始条件的特解。解：由，代入.解得，.故所求特解为：.9、求解下列微分方程1）、 2）、 3）、解：1）、这里特征根方程为：，有两个特征根 ，因此它的通解为：.解：2）、这里特征根方程为：，它的特征根为 ，因此它对应的齐次方程的通解为：.考虑，它的一个特解为： .取它的虚部作为原方程的一个特解，则 .根据解的结构基本定理，原方程的通解为： .解：3）、这里特征根方程为：，有两个特征根 ，因此它对应的齐次方程的通解为：.考虑原方程，它的一个特解为： .根据解的结构基本定理，原方程的通解为：.10、将下面的初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题:1） 2）解：1）令 xx, x= x, 得 即 又 xx(1)=7 x(1)= x(1)=-2于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：x x(1)其中 x. 解：2) 令x 则得： 且 (0)=x(0)=1, =(0)=-1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0于是把原初值问题化成了与之等价的一阶方程的初值问题：= x(0)=, 其中 x=.11、考虑方程组，其中1）验证 是 的基解矩阵.2）试求的满足初始条件 的解 .证明：a)首先验证它是基解矩阵以表示的第一列 则.故是方程的解如果以表示的第二列 .我们有.故也是方程的解，从而是方程的解矩阵又.故是的基解矩阵；b)由常数变易公式可知，方程满足初始条件的解.而.12、设，求解方程组满足初始条件的解。解：det（EA）=(+1)2(3)0. 1（二重），3.对应的特征向量为u1，u2. . 解得. .常微分方程课程作业4解答1. 解答：证：首先，方程的任意两个线性无关解的郎斯基行列式在区间I上恒不为零。可表如下 ，为区间I上任一点。由于， 在区间I上连续、恒不为零。故在区间I上恒不为零，即同号。此即 （与同号）在区间I上不变号。亦即在区间I上严格单调。2. 解答：证：设二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的郎斯基行列式分别为： a , b分别为这两个行列式在某一点的值。由于线性无关解组的行列式恒不为零。故a , b都不为零。两个行列式之比或为非零常数。3. 解答：方程可变为 通解为：以 代入得 = = = =4. 解答： 或 显然 当为常数时，（比如 =0就能如此）其基本解组的郎斯基行列式为常数。5. 解答： （1） 方程的特征方程为 特征根为 所以方程的通解为 ，其中为任意常数。（2） 方程的特征方程为 特征根为 所以方程的通解为 ，其中，为任意常数。（3） 方程的特征方程为 特征根为 所以方程的通解为 ，其中，为任意常数。6. 解答：（1） 方程的特征方程为 特征根为 所以方程的通解为 ，其中为任意常数。以代入下两式， 得 所以 方程满足初始条件的解为 （2） 方程的特征方程为 特征根为 所以方程的通解为 ，其中为任意常数。以代入下两式 得 所以 方程满足初始条件的解为 7. 解答：（1）齐次方程的特征方程为特征根为 通解为 ，其中为任意常数。令 代入比较同次项系数得 所以方程的通解为（2）齐次方程的特征方程为特征根为 通解为 ，其中为任意常数。令 代入比较同次项系数得 所以方程 的通解为（3）齐次方程的特征方程为特征根为 通解为 ，其中为任意常数。令 代入比较同次项系数得 所以方程的通解为8. 解答：由 f=k x 以 f=9.8 , x=1 得 k=9.8又 得 即特征方程