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2 最大公约数与辗转相除法一、有关概念 1、定义：的公因数， 及 2、说明：公因数不可能是0；1是必然的公因数； 0与非零数的公因数就是的因数； 两两互质与互质的关系； ； 若，则ba 若，则3、定理：与相同的公因数。 =4、求最大公因数的方法：观察法； 短除法；辗转相除法。二、辗转相除法 定理1：设是不全为0的整数，且，为整数 则（1）与有相同的公因数； （2） 定理2：设为正整数，则 推论：的公因数与的因数相同。 例1 证明:当时，为既约的真分数。例2 求及例3 某数除193余4，除1087余7，求符合要求的最大整数。例4 某数除300，262，205余数相同，求这个数。 三、最大公因数的性质 1、为正整数2、为的公因数3、4、设， ， 则例5 设 ，求例6设为正整数，且， 求练习：某商场两年销售额分别是36963元和59570元，单价是相同的整数元，求各年销售商品各多少件？3 整除的进一步性质与最小公倍数一、整除的进一步性质定理：设为任意的正整数，则 其中， 推论：设为任意两个不全为0的整数，则存在两个整数使得 成立，反之不成立。例如 有定理： 存在整数使得例 求整数使推论1：设为整数，且，则 （1）与有相同的公因数； （2）推论2：若，且则推论3：若是两组任意的整数，且， 则（）=1二、最小公倍数1、定义： 2、说明： ； ； 关系：公倍数与最小公倍数的关系； 最小公倍数与最大公因数的关系； 例如 当时，则 若都是正整数，且，则 一个数除以36和48都余5，则这个数是 。 ， 若，则3、多个整数的最小公倍数的求法如何？ ， ， 则4 质数及算术基本定理一、质数1、定义：2、说明：范围；数1；最小的质数是23、性质：、是大于1的整数，其大于1的最小的正因数必为质数； 、若为合数，则满足：； 、质数与整数的关系：或 若，则二、算术的基本定理1、定理1：设，其中， 为质数并且，其中，为质数则，推论1：若，则能唯一地表示为：-叫标准分解式其中，为质数，且推论2：设 则 2、筛选法：（造质数表）3、结论：质数的个数有无穷多个。5 函数及其在数论中的应用1、定义：2、性质：（1） （2） （3） （4）+（5） （6）， （7）若都是正整数，则不大于而为的倍数的正整数的个数是2、结论：（1）在的标准分解式中质因数的指数： （2）例 数的末位有几个零？3、结论：贾宪数是整数；4、结论：若是一个次整系
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