高中数学总复习资料汇总(必修1-5-)

1 高中数学总复习资料汇总（必修 1-5 ） 高考数学复习必修 1 第一章、集合 一、基础知识（理解去记） 定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字 母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x在集合 A 中，称x属 于 A，记为 Ax ，否则称x不属于 A，记作 Ax 。 例如，通常用 N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理 数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示 集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。 例如有理数， 0xx 分别表示有理数集和正实数集。 定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素， 则 A 叫做 B 的子集，记为 BA ，例如 ZN 。规定空集是任何集合的子集，如果 A 是 B 的子集，B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元 素不属于 A，则 A 叫 B 的真子集。 便于理解： BA 包含两个意思：A 与 B 相等 、A 是 B 的真子集 定义 3 交集， .BxAxxBA且 定义 4 并集， .BxAxxBA或 定义 5 补集，若 , 1 AxIxxACIA且则 称为 A 在 I 中的补集。 定义 6 集合 ,baRxbxax 记作开区间 ),(ba ，集合 ,baRxbxax 记作闭区间 ,ba ，R 记作 ).,( 定义 7 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 补充知识点 对集合中元素三大性质的理解 （1）确定性 集合中的元素，必须是确定的对于集合A和元素a，要么a A ，要么a A ，二 者必居其一比如：“所有大于 100 的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的而 “较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的再如， “较大的树” 、 “较 高的人”等都不能构成集合 （2）互异性 对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的任何两个相同的对象在同一集合 中时，只能算作这个集合中的一个元素如：由a， 2 a 组成一个集合，则a的取值不能是 2 0或 1 （3）无序性 集合中的元素的次序无先后之分如：由12 3 上上 组成一个集合，也可以写成13 2 上上 组成 一个集合，它们都表示同一个集合 帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题 （1）注意a与 a 的区别a是集合 a 的一个元素，而 a 是含有一个元素a的集合， 二者的关系是 aa （2）注意与 0 的区别是不含任何元素的集合，而 0 是含有元素0的集合 （3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用实数集或 R 来表示实数集R这一类错 误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思 用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些 特征性质，从而准确地理解集合的意义例如： 集合 ()xy yx上 中的元素是( )xy上 ，这个集合表示二元方程 yx 的解集， 或者理解为曲线 yx 上的点组成的点集； 集合 x yx 中的元素是x，这个集合表示函数 yx 中自变量x的取值范围； 集合 y yx 中的元素是 y ，这个集合表示函数 yx 中函数值 y 的取值范围； 集合 yx 中的元素只有一个（方程 yx ） ，它是用列举法表示的单元素集 合 （4）常见题型方法：当集合中有 n 个元素时，有 2n 个子集，有 2n-1 个真子集，有 2n-2 个非空真子集。 二、基础例题（必会） 例 1 已知 2 43Ay yxxxR上 ， 2 22By yxxx R上 ，求 AB 正解： 22 43(2)11yxxx ， 22 22(1)33yxxx ， 1Ay y ， 3By y ， 13AByy 解析：这道题要注意研究的元素（看竖线前的元素） ，均是 y，所以要求出两个集合中 y 的 3 范围再求交集，A 中的 y 范围是求表达式的值域、因此此题是表示两个函数值域的集合 例 2 若 32 2 427Aaaa上上 ， 2232 1 1122(38)37 2 Baaaaaaaa 上上上上 ，且 2 5AB 上 ，试求实数 a 正解：AB=2，5 ，由 32 275aaa ， 解得 2a 或 1a 当 a=1 时， 2 221aa 与元素的互异性矛盾，故舍去 1a ； 当 1a 时， 10 5 2 4B 上上上上 ，此时 2 4 5AB 上上 ，这与 2 5AB 上 矛盾，故 又舍去 1a ； 当 2a 时， 2 4 5A 上上 ， 13 2 5 25B 上上上上 ，此时 2 5AB 上 满足题意，故 2a 为 所求 解析：此题紧紧抓住集合的三大性质：确定性 互异性 无序性 三、趋近高考（必懂） 1.（2010 年江苏高考 1）设集合 A=-1,1,3，B=a+2,a2+4,AB=3，则实数 a=_ 方法：将集合 B 两个表达式都等于 3，且抓住集合三大性质。 【答案】1. 2.（2010.湖北卷 2.）设集合 A= 22 ( , )|1 416 xy x y ，B=( , )| 3 x x yy ,则 AB 的子集 的个数是（ ） A. 4 B.3 C.2 D.1 方法：注意研究元素，是点的形式存在，A 是椭圆，B 是指数函数，有数形结合方法，交 于两个点，说明集合中有两个元素，还要注意，题目求子集个数，所以是 22=4【答案】A 集合穿针 转化引线（最新） 一、集合与常用逻辑用语 3.若 2 :3840:(1)(2)0pxxqxx上 ，则 p 是 q 的（ ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件 解析： 2 :3840pxx ，即 2 3 x 或 2x ， 2 :2 3 px 4 :(1)(2)0qxx ，即 1x 或 2x ， : 12qx 由集合关系知： pq ，而 qp p 是 q 的充分条件，但不是必要条件故选（） 4. 若kR，则“ 3k ”是“方程 22 1 33 xy kk 表示双曲线”的（ ） （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件 解析：方程 22 1 33 xy kk 表示双曲线 (3)(3)03kkk 或 3k 故选（A） 二、集合与函数 5.已知集合 2 22Py yxxQx yxx RR上上上 ，那么 PQ 等于 （ ） （A） （0，2） ， （1，1） （B） （0，2） ， （1，1） （C） 1，2 （D） 2y y 解析：由代表元素可知两集合均为数集，又 P 集合是函数 2 2yx 中的 y 的取值 范围，故 P 集合的实质是函数 2 2yx 的值域而 Q 集合则为函数 2yx 的定义 域，从而易知 2PQy y ，选（D） 评注：认识一个集合，首先要看其代表元素，再看该元素的属性，本题易因误看代表 元素而错选（）或（） 三、集合与方程 6.已知 2 (2)100Ax xpxxBx x R上上 ，且 AB ，求实数 p 的 取值范围 解析：集合 A 是方程 2 (2)10 xpx 的解集， 则由 AB ，可得两种情况： A ，则由 2 (2)40p ，得 40p ； 方程 2 (2)10 xpx 无正实根，因为 12 10 x x ， 5 则有 0 (2)0p 上 上 于是 0p 综上，实数 p 的取值范围为 4p p 四、集合与不等式 7. 已知集合 222 412(21)(1)0Aa axxxaBx xmxm m上上上上 ， 若 AB ，求实数 m 的取值范围 解析：由不等式 22 412axxxa 恒成立， 可得 2 (2)4(1)0axxa ，（） （1）当 20a ，即 2a 时， （）式可化为 3 4 x ，显然不符合题意 （2）当 20a 时，欲使（）式对任意 x 均成立，必需满足 20 0 a 上 上 即 2 2 44(2)(1)0 a aa 上 上 解得 2Aa a 集合 B 是不等式 2 (21)(1)0 xmxm m 的解集， 可求得 1Bx mxm ， 结合数轴，只要 12m 即可，解得 1m 五、集合与解析几何 例 6 已知集合 2 ()20Axy xmxy上 和 ()10 02Bxy xyx 上上 ， 如果 AB ，求实数 m 的取值范围 解析：从代表元素( )xy上 看，这两个集合均为点集，又 2 20 xmxy 及 10 xy 是两个曲线方程，故 AB 的实质为两个曲线有交点的问题，我们将其 译成数学语言即为：“抛物线 2 20 xmxy 与线段 10(02)xyx 有公共 点，求实数 m 的取值范围 ” 6 由 2 20 10(02) xmxy xyx 上 上 ，得 2 (1)10(02)xmxx ， AB ， 方程在区间0，2上至少有一个实数解 首先，由 2 (1)40m ，得 3m 或 1m 当 m3 时，由 12 (1)0 xxm 及 12 1x x 知，方程只有负根，不符合要求； 当 1m 时，由 12 (1)0 xxm 及 12 10 x x 知，方程有两个互为倒数的 正根，故必有一根在区间(01 上 内，从而方程至少有一个根在区间0，2内 综上，所求 m 的取值范围是( 1 上 第二章、函数 一、基础知识（理解去记） 定义 1 映射，对于任意两个集合 A，B，依对应法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在 B 中都有唯一一个元素与之对应，则称 f: AB 为一个映射。 定义 2 函数，映射 f: AB 中，若 A，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的 定义域，若 xA, yB，且 f(x)=y（即 x 对应 B 中的 y） ，则 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。 集合f(x)|xA叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有 意义的未知数的取值范围，如函数 y=3 x -1 的定义域为x|x0,xR. 定义 3 反函数，若函数 f: AB（通常记作 y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射 f-1: AB 叫原函数的反函数，通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f-1(y)，然后将 x, y 互换得 y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如： 函数 y= x1 1 的反函数是 y=1-x 1 (x0). 补充知识点： 定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义 4 函数的性质。 （1）单调性：设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2I 并且 x1 x2，总有 f(x1)f(x2)，则称 f(x)在区间 I 上是增（减）函数，区间 I 称为单调增（减）区间。 （2）奇偶性：设函数 y=f(x)的定义域为 D，且 D 是关于原点对称的数集，若对于任意的 xD，都有 f(-x)=-f(x)，则称 f(x)是奇函数；若对任意的 xD，都有 f(-x)=f(x)，则称 f(x) 是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。 （3）周期性：对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内每一个 数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称 f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在 7 最小的正数 T0，则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。 定义 5 如果实数 ab，则数集x|axb, xR叫做开区间，记作（a,b） ，集合 x|axb,xR记作闭区间a,b，集合x|a0)； （1）向右平移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象； （2）向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象； （3）向下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象； （4）与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称； （5）与函数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称； （6）与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称；（7）与函数 y=-f(x)的图象关于 x 轴对称。 定理 3 复合函数 y=fg(x)的单调性，记住四个字：“同增异减” 。例如 y= x2 1 , u=2-x 在 （-,2）上是减函数，y=u 1 在（0，+）上是减函数，所以 y= x2 1 在（-,2）上是增函 数。 注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。 一、基础知识（初中知识 必会） 1二次函数：当 a 0 时，y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数，其对称 轴为直线 x=- a b 2 ，另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中 x0=- a b 2 ，下同。 2二次函数的性质：当 a0 时，f(x)的图象开口向上，在区间（-，x0上随自变量 x 增 大函数值减小（简称递减） ，在x0, -）上随自变量增大函数值增大（简称递增） 。当 a0 时，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0和不等式 ax2+bx+c0及 ax2+bx+c0 时，方程有两个不等实根，设 x1,x2(x1x2)，不等式和不等式的解集分别 是x|xx2和x|x1xx2，二次函数 f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点，f(x)还可 写成 f(x)=a(x-x1)(x-x2). 2）当=0 时，方程有两个相等的实根 x1=x2=x0= a b 2 ,不等式和不等式的解集分 别是x|x a b 2 和空集，f(x)的图象与 x 轴有唯一公共点。 3）当5”是命题， “萝卜好大”不是命题。不含逻辑 联结词“或” 、 “且” 、 “非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由 复合命题。 一定注意： “p 或 q”复合命题只有当 p，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且 q”复合命题只有当 p，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非 p”即“p”恰好 一真一假。 定义 2 原命题：若 p 则 q（p 为条件，q 为结论） ；逆命题：若 q 则 p；否命题：若非 p 则 q；逆否命题：若非 q 则非 p。 一定注意： 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 一定注意： 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。 定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为 pq 否则记作 pq.在命题“若 p 则 q”中， 如果已知 pq,则 p 是 q 的充分条件；如果 qp，则称 p 是 q 的必要条件；如果 pq 但 q 不p，则称 p 是 q 的充分非必要条件；如果 p 不q 但 pq，则 p 称为 q 的必要 非充分条件；若 pq 且 qp，则 p 是 q 的充要条件。 二、基础例题（必懂） 1数形结合法。 例 1（09.江西） 求方程|x-1|=x 1 的正根的个数. 【解】 分别画出 y=|x-1|和 y=x 1 的图象，由图象可知两者有唯一交点，所 以方程有一个正根。 例 2 （2010.广西模拟） 求函数 f(x)= 11363 2424 xxxxx 的最大值。 【解】 f(x)= 222222 )0() 1()3()2(xxxx ，记点 P(x, x-2)，A（3，2） ， x y x 1 1 x 9 B（0，1） ，则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。 因为|PA|-|PA|AB|= 10) 12(3 22 ,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交 点时等号成立。 所以 f(x)max= .10 2.函数性质的应用。 例 3 （10、全国） 设 x, yR，且满足 1) 1(1997) 1( 1) 1(1997) 1( 3 2 yy xx ，求 x+y. 【解】 设 f(t)=t3+1997t，先证 f(t)在（-，+）上递增。事实上，若 a0，所以 f(t)递增。 由题设 f(x-1)=-1=f(1-y)，所以 x-1=1-y，所以 x+y=2. 例 4 （10、全国） 奇函数 f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又 f(1-a)+f(1-a2)0，求 a 的取值范围。 【解】 因为 f(x) 是奇函数，所以 f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设 f(1-a)f(a2-1)。 又 f(x)在定义域（-1，1）上递减，所以-11-aa2-11，解得 0a1。 例 5 （10、全国） 设 f(x)是定义在（-，+）上以 2 为周期的函数，对 kZ, 用 Ik 表 示区间(2k-1, 2k+1，已知当 xI0 时，f(x)=x2，求 f(x)在 Ik 上的解析式。 【解】 设 xIk，则 2k-10，则由得 n0，设 f(t)=t( 4 2 t +1),则 f(t)在（0，+）上是增函数。又 f(m) =f(-n)，所以 m=-n，所以 3x-1+2x-3=0，所以 x= . 5 4 )若 m0。同理有 m+n=0,x=5 4 ,但 与 m0 矛盾。 10 综上，方程有唯一实数解 x= . 5 4 3.配方法。 例 7 （经典例题） 求函数 y=x+ 12 x 的值域。 【解】 y=x+ 12 x =2 1 2x+1+2 12 x +1-1 =2 1 ( 12 x +1)-12 1 -1=-2 1 . 当 x=-2 1 时，y 取最小值-2 1 ，所以函数值域是-2 1 ，+） 。 4换元法。 例 8 （经典例题） 求函数 y=( x1 + x1 +2)( 2 1x +1),x0,1的值域。 【解】令 x1 + x1 =u，因为 x0,1，所以 2u2=2+2 2 1x 4,所以 2u2, 所以 2 22 2 2u 2，1 2 2 u 2，所以 y= 2 2u ,u2 2+2，8。 所以该函数值域为2+ 2，8。 5判别式法。 例 9 求函数 y= 43 43 2 2 xx xx 的值域。 【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. 当 y1 时，式是关于 x 的方程有实根。 所以=9(y+1)2-16(y-1)20，解得7 1 y1. 又当 y=1 时，存在 x=0 使解析式成立， 所以函数值域为7 1 ，7。 6关于反函数。 例 10 （10 年宁夏）若函数 y=f(x)定义域、值域均为 R，且存在反函数。若 f(x)在(-,+ )上递增，求证：y=f-1(x)在(-,+ )上也是增函数。 【证明】设 x1x2, 且 y1=f-1(x1), y2=f-1(x2)，则 x1=f(y1), x2=f(y2)，若 y1y2，则因为 f(x)在(-,+ )上递增，所以 x1x2 与假设矛盾，所以 y1y2。 即 y=f-1(x)在(-,+ )递增。 11 例 11 （经典例题）设函数 f(x)= 4 23 14 x x ，解方程：f(x)=f-1(x). 【解】 首先 f(x)定义域为（-，-3 2 ）-4 1 ，+） ；其次，设 x1, x2 是定义域内变量， 且 x1x20, 所以 f(x)在（-，-3 2 ）上递增，同理 f(x)在-4 1 ，+）上递增。 在方程 f(x)=f-1(x)中，记 f(x)=f-1(x)=y，则 y0，又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x，所以 x0,所以 x,y-4 1 ，+）. 若 xy，设 x0，所以 x=1. 7待定系数法。 例 1 （经典例题） 设方程 x2-x+1=0 的两根是 ，求满足 f()=,f()=,f(1)=1 的 二次函数 f(x). 【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a0), 则由已知 f()=,f()= 相减并整理得（-）（+）a+b+1=0， 因为方程 x2-x+1=0 中0， 所以 ，所以(+)a+b+1=0. 又 +=1,所以 a+b+1=0. 又因为 f(1)=a+b+c=1， 所以 c-1=1，所以 c=2. 又 b=-(a+1)，所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由 f()= 得 a2-(a+1)+2=, 所以 a2-a+2=+=1，所以 a2-a+1=0. 即 a(2-+1)+1-a=0,即 1-a=0， 所以 a=1, 所以 f(x)=x2-2x+2. 8方程的思想 例 2 （10.全国） 已知 f(x)=ax2-c 满足-4f(1)-1, -1f(2)5，求 f(3)的取值范围。 【解】 因为-4f(1)=a-c-1, 所以 1-f(1)=c-a4. 又-1f(2)=4a-c5, f(3)=3 8 f(2)-3 5 f(1), 12 所以3 8 (-1)+3 5 f(3)3 8 5+3 5 4, 所以-1f(3)20. 9利用二次函数的性质。 例 3 （经典例题） 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a0)，若方程 f(x)=x 无实根， 求证：方程 f(f(x)=x 也无实根。 【证明】若 a0，因为 f(x)=x 无实根，所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且开 口向上，所以对任意的 xR,f(x)-x0 即 f(x)x，从而 f(f(x)f(x)。 所以 f(f(x)x，所以方程 f(f(x)=x 无实根。 注：请读者思考例 3 的逆命题是否正确。 10利用二次函数表达式解题。 例 4 （经典例题）设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足 0x1x2a 1 , （）当 x(0, x1)时，求证：xf(x)x1； （）设函数 f(x)的图象关于 x=x0 对称，求证：x0 . 2 1 x 【证明】 因为 x1, x2 是方程 f(x)-x=0 的两根，所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)， 即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x. （）当 x(0, x1)时，x-x1x. 其次 f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+a 1 0，所以 f(x)x1. 综上，x0, f(-1)=(a-1)20, f(0)=1-a20， 所以 f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。 即方程的正根比 1 小，负根比-1 大。 12定义在区间上的二次函数的最值。 例 6 （经典例题）当 x 取何值时，函数 y= 22 24 ) 1( 5 x xx 取最小值？求出这个最小值。 【解】 y=1- 222 ) 1( 5 1 1 xx ,令 1 1 2 x u,则 0u1。 y=5u2-u+1=5 20 19 20 19 10 1 2 u , 且当 10 1 u 即 x=3 时，ymin=20 19 . 例 7 设变量 x 满足 x2+bx-x(b-2 时，x2+bx 在0，-(b+1)上是减函数， 所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1=-2 1 ,b=-2 3 . 综上，b=-2 3 . 13.一元二次不等式问题的解法。 例 8 （经典例题） 已知不等式组 12 0 22 ax aaxx 的整数解恰好有两个，求 a 的取值范围。 【解】 因为方程 x2-x+a-a2=0 的两根为 x1=a, x2=1-a, 若 a0，则 x1x2.的解集为 a0，）当 0a2 1 时，x1x2,的解集为 ax1-a. 因为 0ax1-a，由得 x1-2a， 所以不等式组的解集为 1-ax1 且 a-(1-a)3， 所以 1a2，并且当 10，则由知0，所以成立，所以成立。 综上，充分性得证。 15常用结论。 定理 1 若 a, bR, |a|-|b|a+b|a|+|b|.绝对值不等式 【证明】 因为-|a|a|a|,-|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|, 所以|a+b|a|+|b|（注：若 m0，则-mxm 等价于|x|m）. 又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|a+b|.综上定理 1 得证。 定理 2 若 a,bR, 则 a2+b22ab；若 x,yR+,则 x+y .2 xy 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。 第三章、基本初等函数 一、基础知识（必会） 15 1指数函数及其性质：形如 y=ax(a0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为 R，值域为 （0，+） ，当 00, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为 （0，+） ，值域为 R，图象过定点（1，0） 。当 00, N0） ； 1）ax=Mx=logaM(a0, a1)； 2）loga(MN)= loga M+ loga N； 3）loga（ N M ）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M（万能恒等式） 5）loga n M =n 1 loga M；6）aloga M=M; 7) loga b= a b c c log log (a,b,c0, a, c1). 5. 函数 y=x+x a （a0）的单调递增区间是 a, 和 ,a ，单调递减区间为 0 , a 和 a, 0 。 （请同学自己用定义证明） 6连续函数的性质：若 a0 且 f(1)0（因为-10， 所以 f(a)0，即 ab+bc+ca+10. 例 2 （06） （柯西不等式）若 a1, a2,an 是不全为 0 的实数，b1, b2,bnR，则（ n i i a 1 2 ）（ n i i b 1 2 ）( n i iib a 1 )2，等号当且仅当存在 R，使 ai= i b , i=1, 2, , n 时成立。 【证明】 令 f(x)= （ n i i a 1 2 ）x2-2( n i iib a 1 )x+ n i i b 1 2 = n i ii bxa 1 2 )( , 因为 n i i a 1 2 0，且对任意 xR, f(x)0， 16 所以=4( n i iib a 1 )-4（ n i i a 1 2 ）( n i i b 1 2 )0. 展开得（ n i i a 1 2 ）( n i i b 1 2 )( n i iib a 1 )2。 等号成立等价于 f(x)=0 有实根，即存在，使 ai= i b , i=1, 2, , n。 *注释：根据许多省市的 2011 年高考大纲，柯西不等式已经淡化，同学只需大致了解就 即可，不需深入做题。 例 3（10.全国卷） 设 x, yR+, x+y=c, c 为常数且 c(0, 2，求 u= y y x x 11 的最 小值。 【解】u= y y x x 11 =xy+ xyx y y x1 xy+ xy 1 +2 x y y x =xy+ xy 1 +2. 令 xy=t，则 0t=xy 44 )( 22 cyx ,设 f(t)=t+t 1 ,0t . 4 2 c 因为 01. 又 abc，且 a, b, c 为 70 的正约数，所以只有 a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 例 6 （经典例题） 已知 x1, ac1, a1, c1. 且 logax+logcx=2logbx，求证 c2=(ac) logab. 【证明】 由题设 logax+logcx=2logbx，化为以 a 为底的对数，得 b x c x x a a a a a log log2 log log log ， 因为 ac0, ac1，所以 logab=logacc2，所以 c2=(ac)logab. 注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。 3指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单 调性的应用和未知数范围的讨论。 例 7 （经典例题）解方程：3x+4 x +5 x =6 x. 【解】 方程可化为 xxx 6 5 3 2 2 1 =1。设 f(x)= xxx 6 5 3 2 2 1 , 则 f(x)在(- ,+)上是减函数，因为 f(3)=1，所以方程只有一个解 x=3. 例 8 （经典例题） 解方程组： 3 12 xy yx yx yx （其中 x, yR+）. 【解】 两边取对数，则原方程组可化为 . 3lg)( lg12lg)( glxyyx yxyx 把代入得(x+y)2lgx=36lgx，所以(x+y)2-36lgx=0. 18 由 lgx=0 得 x=1，由(x+y)2-36=0(x, yR+)得 x+y=6， 代入得 lgx=2lgy，即 x=y2，所以 y2+y-6=0. 又 y0，所以 y=2, x=4. 所以方程组的解为 2 4 ; 1 1 2 2 1 1 y x y x . 例 9 已知 a0, a1，试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。 【解】由对数性质知，原方程的解 x 应满足 0 0 )( 22 222 ax akx axakx . 若、同时成立，则必成立， 故只需解 0 )( 222 akx axakx . 由可得 2kx=a(1+k2)， 当 k=0 时，无解；当 k0 时，的解是 x= k ka 2 )1 ( 2 ，代入得 k k 2 1 2 k. 若 k1，所以 k0，则 k21，所以 00 表示的区域为 l 上方的部分，Ax+By+C0)。其圆心为 2 , 2 ED ，半径为 FED4 2 1 22 。若点 P(x0, y0)为圆上 一点，则过点 P 的切线方程为 32 . 0 22 00 00 F yy E xx Dyyxx 14根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分） ，这条直线叫两圆 的根轴。给定如下三个不同的圆：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程 分别为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1) y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。 二、基础例题（必会） 1坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。 例 1 （经典例题） 在 ABC 中，AB=AC，A=900，过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于 点 E，求证：ADB=CDE。 证明 见图 10-1，以 A 为原点，AC 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系。设点 B，C 坐标 分别为（0,2a）,(2a,0)，则点 D 坐标为（a, 0） 。直线 BD 方程为 1 2 a y a x ， 直线 BC 方程为 x+y=2a， 设直线 BD 和 AE 的斜率分别为 k1, k2，则 k1=-2。因为 BDAE， 所以 k1k2=-1.所以 2 1 2 k ，所以直线 AE 方程为 xy 2 1 ，由 ayx xy 2 , 2 1 解得点 E 坐标 为 aa 3 2 , 3 4 。 所以直线 DE 斜率为 . 2 3 4 3 2 3 aa a k 因为 k1+k3=0. 所以BDC+EDC=1800，即BDA=EDC。 例 2 （经典例题）半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明：三 角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为 600。 证明 以 A 为原点，平行于正三角形 ABC 的边 BC 的直线为 x 轴，建立直角坐标系见图 10-2，设D 的半径等于 BC 边上的高，并且在 B 能上能下滚动到某位置时与 AB，AC 的 交点分别为 E，F，设半径为 r，则直线 AB，AC 的方程分别为 xy3 , xy3 .设 D 的方程为(x-m)2+y2=r2.设点 E，F 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则 ,3 11 xy 22 3xy ，分别代入并消去 y 得 . 0 3).(03)( 22 2 2 2 22 1 2 1 rxmxrxmx 所以 x1, x2 是方程 4x2-2mx+m2-r2=0 的两根。 33 由韦达定理 4 , 2 22 21 21 rm xx m xx ，所以 |EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2 =4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2. 所以|EF|=r。所以EDF=600。 2到角公式的使用。 例 3 设双曲线 xy=1 的两支为 C1，C2，正 PQR 三顶点在此双曲线上，求证：P，Q，R 不可能在双曲线的同一支上。 证明 假设 P，Q，R 在同一支上，不妨设在右侧一支 C1 上，并设 P，Q，R 三点的坐标 分别为 , 1 , 1 , 1 , 3 3 2 2 1 1 x x x x x x 且 0x1-1，所以它过顶点 C 时，f(x, y)最大，C 点坐标为（-3，7） ，于是 f(x, y)的最大值为 3a+7. 如果-12，则 l 通过 B（3，1）时，f(x, y)取最小值为-3a+1. 6参数方程的应用。 例 7 如图 10-5 所示，过原点引直线交圆 x2+(y-1)2=1 于 Q 点，在该直线上取 P 点，使 P 到直线 y=2 的距离等于|PQ|，求 P 点的轨迹方程。 解 设直线 OP 的参数方程为 sin cos ty tx （t 参数） 。 代入已知圆的方程得 t2-t2sin=0. 所以 t=0 或 t=2sin。所以|OQ|=2|sin|，而|OP|=t. 所以|PQ|=|t-2sin|，而|PM|=|2-tsin|. 所以|t-2sin|=|2-tsin|. 化简得 t=2 或 t=-2 或 sin=-1. 当 t=2 时，轨迹方程为 x2+y2=4；当 sin=1 时，轨迹方程为 x=0. 7与圆有关的问