2014年上海高考文科数学试题详解

2014年普通高等学校招生统一考试上海市数学试题（文科）详解满分150分;考试时间120分钟一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分1函数的最小正周期是 考点：三角恒等变形、三角函数的周期解答：因为，所以.难度：容易题2若复数，其中是虚数单位，则 考点：复数的四则运算，共轭运算解答：此题先根据分配律去括号可简化计算，即难度：容易题3设常数，函数若，则 考点：解方程、求函数值解答：由难度：容易题4若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 考点：圆锥曲线的标准方程解答：知抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为：难度：容易题5某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为 考点：分层抽样解答：高一、高二共有学生2800名，按40：1的比例，需抽取学生数为70人。难度：容易题6若实数满足，则的最小值为 考点：基本不等式解答：，即难度：容易题7若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与轴所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）考点：圆锥的侧面展开图解答：如图：难度：容易题8在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 考点：三视图解答：由三视图知，切割掉的两个小长方体可拼成一个长宽高分别为4、3、2的长方体，所以其体积为24.难度：容易题9设 若是的最小值，则的取值范围为 考点：函数的单调性及最值解答：难度：中等题10设无穷等比数列的公比为，若，则 考点：无穷等比数列各项的和解答：难度：中等题11若，则满足的的取值范围是 考点：幂函数的单调性解答：其定义域为又是增函数，是减函数，是增函数，又，即为，难度：中等题12方程在区间上的所有的解的和等于 考点：三角方程解答：难度：中等题13为强化安全意识，某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天恰好为连续天的概率是 （结果用最简分数表示）考点：组合、概率解答：未来的连续天中随机选择天的所有情况有种；未来的连续天中选择的天恰好为连续天的所有情况有种；则所求概率为难度：中等题14已知曲线，直线若对于点，存在上的点和上的使得，则的取值范围为 考点：圆的方程、能成立问题解答：曲线，即，点即为中点；设，则，点在曲线C上，难度：较难题二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15设，则“”是“且”的（ ）(A) 充分非必要条件(B) 必要非充分条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分又非必要条件考点：充分条件、必要条件解答：必要非充分条件，选B难度：容易题16已知互异的复数满足，集合，则（ ）(A) (B) (C) (D) 考点：集合的相等、复数范围内1的立方根解答：若 则（舍）；若则，那么（舍）或（舍）或或综合上述，.选D难度：中等题17如图，四个边长为的小正方体排成一个大正方形，是大正方形的一条边，是小正方形的其余顶点，则的不同值的个数为（ ）(A) (B) (C) (D) 考点：向量的数量积、向量的投影解答：结合图形，观察在上的投影即可：在上的投影相同；在上的投影相同；在上的投影相同；故的不同值的个数为3，选C难度：中等题18已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）(A) 无论如何，总是无解(B) 无论如何，总有唯一解(C) 存在，使之恰有两解(D) 存在，使之有无穷多解考点：直线的方程、二元一次方程的行列式解法解答：把代入直线得，即.同理可得.则是方程组的解.若不是方程组的唯一解，则方程组 有无数解则，与已知矛盾综上，方程组总有唯一解，选B.难度：较难题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积考点：棱锥的体积、空间想象能力解答：依题意：是边长为4的正三角形，折叠后是棱长为2的正四面体（如图）.设顶点在底面内的投影为，连接，则为的重心，底面.难度：容易题20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 设常数，函数（1） 若，求函数的反函数；（2） 根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由考点：反函数、函数的奇偶性解答：（1）因为，所以，得或，且 因此，所求反函数为（2）当时，定义域为，故函数是偶函数； 当时，定义域为， ，故函数为奇函数； 当且时，定义域为关于原点不对称，故函数既不是奇函数，也不是偶函数难度：容易题21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米设点在同一水平面上，从和看的仰角分别为（1）设计中是铅垂方向，若要求，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，与铅垂方向有偏差现在实测得，求的长（结果精确到0.01米）考点：解斜三角形解答：（1）设，则.因，所以，即，（米）（2）在中，由已知， 由正弦定理得 ，解得（米） 在中，由余弦定理得， 解得（米）所以，的长约为26.93米难度：中等题22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分在平面直角坐标系中，对于直线和点，记若，则称点被直线分隔若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线（1）求证；点被直线分隔；（2）若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；（3）动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设点的轨迹为曲线求的方程，并证明轴为曲线的分隔线考点：定义法求曲线方程、数形结合思想解答：（1）证明：因为，所以点被直线分隔（2）解：直线与曲线没有公共点的充要条件是方程组无解，即当时，对于直线，曲线上的点和满足，即点和被分隔故实数的取值范围是（3）证明：设的坐标为，则曲线的方程为对任意的，不是上述方程的解，即轴与曲线没有公共点又曲线上的点和对于轴满足，即点和被轴分隔所以轴为曲线的分隔线难度：中等题23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分 已知数列满足，（1）若，求的取值范围；（2）设是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；（3）若成等差数列，求数列的