大学文科数学课件-张国楚-第四章

第四章导数的应用问题,教学目标及重点,1、认识中值定理、洛必达法则,2、基本掌握用导数研究函数的性质和绘制函数的图像的方法,3、掌握利用洛必达法则求极限的方法,4、了解业余数学家费马的事迹及其对数学的贡献,教学目标,教学重点及难点,1、拉格朗日中值定理,2、洛必达法则求极限的方法,3、函数的极大值和最值,教学重点,教学难点,1、用导数研究函数的性质,2、利用导数绘制函数的图像,教学内容,一、联结局部与整体的纽带中值定理二、计算不定式极限的一般方法洛必达法则三、利用导数研究函数的性质单调性极值和最大最小值业余数学家之王费马,一联结局部与整体的纽带中值定理,中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系，因而称为中值定理。中值定理既是用微分学解决实际问题的理论基础，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型，因而也称为微分基本定理。,一联结局部与整体的纽带中值定理,（一）费马定理（二）拉格朗日中值定理,（一）费马定理,函数的极值设函数在点的某邻域内有定义,如果对于该邻域内任意异于的值,都有:,或,（一）费马定理,费马定理如果函数在点处有极值且在处可导，则必有：,注：1.使导数的点称为函数的驻点或稳定点；2.可导函数的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。例如：极值点，而对于函数，虽然有，即：,（二）拉格朗日中值定理,罗尔(Rolle)定理,续，,且在区间端点的函数值,相等，,即,使,例如，,且,取,则有,（二）拉格朗日中值定理,罗尔(Rolle)定理,且在区间端点的函数值,相等，,即,使,注：,一般情形下，,定理结论中导数函数的零点,不易找到的.,罗尔定理的三个条件缺一不可。,是,（二）拉格朗日中值定理,罗尔定理的条件与结论,罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不,满足,定理的结论就可能不成立.,下面分别举例说,明之:,易见函数,断,不满足闭区间连续的条件,1.,且,切线.,但显然没有水平,（二）拉格朗日中值定理,罗尔定理的条件与结论,罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不,满足,定理的结论就可能不成立.,下面分别举例说,明之:,2.,处是不可导的,因此不满足在,且有,但是没有水平切线.,开区间可导的条件,（二）拉格朗日中值定理,罗尔定理的条件与结论,罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不,满足,定理的结论就可能不成立.,下面分别举例说,明之:,3.,在开区,间(0,1)内可导的条件,但,显然也没有水平切线.,（二）拉格朗日中值定理,拉格朗日中值定理设函数满足要求:,(1)在闭区间a,b上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,那么在开区间(a,b)内至少存在一点，使得：,（二）拉格朗日中值定理,注：拉格朗日(Lagrange)中值公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在该区间内某点处的导数之间的关系。,（二）拉格朗日中值定理,推论,如果函数在区间（a,b）内的导数恒为零，那么是区间（a,b）内的常数函数。,（二）拉格朗日中值定理,推论1,如果函数,那么,证,在区间,上,得,由假设,于是,的函数值都相等，,应用拉格朗日中值定理，,任意点处,（二）拉格朗日中值定理,柯西(Cauchy)中值定理,且,有一点,使得,这是推导洛必达法则的理论基础。,教学内容,一、联结局部与整体的纽带中值定理二、计算不定式极限的一般方法洛必达法则三、利用导数研究函数的性质单调性极值和最大最小值业余数学家之王费马,二、洛必达法则,本节将利用导数作工具，给出计算两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的不定式的极限的一般方法，即洛必达法则。（一）两个基本类型不定式（二）其他类型不定式,（一）两个基本类型不定式,定理1:如果函数和满足:,1.型不定式,那么,（一）两个基本类型不定式,洛必达法则,注:,1.,上述定理仍然成立;,2.,也有与上述,定理完全类似的结论:,我们把这种在一定条件下,导,法则.,通过对分子分母分别求,再求极限来确定未定式的值的方法,称为洛必达,（一）两个基本类型不定式,例1用洛必塔法则证明公式:,证：,（一）两个基本类型不定式,例2,求：,解：,（一）两个基本类型不定式,例3求,解：,（一）两个基本类型不定式,定理2:如果函数和满足:,那么,2.型不定式,（一）两个基本类型不定式,例4求,解：,属于,型不定式，依定理2有,（一）两个基本类型不定式,例5求,解：,依定理1可得,化成了,型不定式，运用定理2得,（一）两个基本类型不定式,例6,解,求,（一）两个基本类型不定式,例7,解：,求,注:,若求,则可利用,上面求出的函数极限,得,（一）两个基本类型不定式,例8,解,求,（一）两个基本类型不定式,例9,解,求,原式,（一）两个基本类型不定式,例10,解,求,得,原式,（一）两个基本类型不定式,注:,对数函数,幂函数,指数函数,但它们增大的速度很不,一样,其增大速度比较:,对数函数幂函数指数函数.,（一）两个基本类型不定式,例11,解,求,故,（一）两个基本类型不定式,例12,解,求,可将乘积化为除的形式,即化为,或,型的未定式来计算：,（一）两个基本类型不定式,例13,求,解,来计算.,（二）其他类型不定式,例14,求,解,型,步骤,教学内容,一、联结局部与整体的纽带中值定理二、计算不定式极限的一般方法洛必达法则三、利用导数研究函数的性质单调性极值和最大最小值业余数学家之王费马,三、利用导数研究函数的性质,单调性、极值和最值我们已经学会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的极值以及函数的最大值和最小值。但是这些方法使用范围狭小，并且有些需借助某些特殊技巧，因而不具有一般性。本节将以导数为工具，介绍解决上述几个问题的既简便又具有一般性的方法。,三、利用导数研究函数的性质,（一）函数的单调性（二）函数的极值（三）函数的最大值和最小值,（一）函数的单调性,定理：设函数在区间（a,b）内可导，则该函数在区间（a,b）内单调增加（单调减少）的充要条件是：,（一）函数的单调性,（一）函数的单调性,单调区间的求法,问题:,如何确定函数在定义域内各部分区间函数,的单调性.,定义:,若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该区间称为函数的单调区间.,注意:,导数等于零的点和不可导点,均可能是单调,区间的分界点.,方法:,然后判断区间内导,数的符号.,（一）函数的单调性,例1求函数,的单调区间,解：函数的定义域是,由,由得驻点,当,当,所以函数的单调减少区间是,单调增加区间是,（一）函数的单调性,若函数在区间（a,b）内的导数为正(或为负),即：,推论（充分性）,则该函数在区间（a,b）内单调增加（或单调减少）。,（一）函数的单调性,导数符号的几何意义：对于某区间上的函数,导数为正，曲线上升；导数为零，曲线不升不降；导数为负，曲线下降。,（二）函数的极值,定义,内的一个点.,对于该邻域内的,如果存在着点的一个邻域,任何点,除了点外,均成立,就,对于该邻域内的,如果存在着点的一个邻域,任何点,除了点外,均成立,就,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取,得极值的点称为极值点.,是,（二）函数的极值,定理1,(必要条件),取得极值,则,定义,使导数为零的点(即方程的实根),叫做函数的驻点.,注:,可导函数的极值点必定是它的驻点,但函,数的驻点却不一定是极值点.,例如,但不是极值点.,判别法则（第一充分条件）：设函数满足,（二）函数的极值,（1）在点的邻域内可导；,（2）,那么,(1)若在左侧附近，在右侧附近，则为极大值；,(2)若在左侧附近，在右侧附近，则为极小值；,(3)若在左右两侧同号，则不是极值；,（二）函数的极值,函数极值的求法,证,由极值的定义和定理的条件即可推得结果.,综上所述,可将求函数极值的步骤总结如下:,(2),(1),(3),确定极值点;,(4),求导数,求驻点,检查在左右的正负号,求出函数极值.,（二）函数的极值,解,列表讨论如下：,所以,（二）函数的极值,例3求函数：,的极值点和极值,不是极小值。,（二）函数的极值,判别法则（第二充分条件）,（二）函数的极值,例4求函数：,的极值点和极值,解：由,根据判别法则可知：,是函数的极大点，极大值为,得驻点,由,得：,是函数的极小点，极小值为,（二）函数的极值,解,由,得驻点,因,极小值为,因,故用定理3无法判别.,考察一阶导数在驻点,及左右邻近的符号:,（二）函数的极值,当取左侧邻近的值时,当取右侧邻近的值时,因的符号没有改变,值.,同理,也没有极值.,如图所示.,（三）函数的最大值和最小值,定义：,若函数在其定义域a,b上的函数值满足：,则和分别称为函数的最小值和最大值。,（三）函数的最大值和最小值,最大值最小值的求法,若函数在上连续,除个别点外处处可导,并且至多有有限个导数为零的点,上的最大值与最小值存在.,则在,步骤:,1.,求驻点和不可导点;,2.,求区间端点、,驻点及不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,小哪个就是最小值.,哪个,注意:,如果区间内只有一个极值,则这个极值就是,(最大值或最小值).,最值,（三）函数的最大值和最小值,的最大值与最小值.,解,解方程,得,计算,最大值,最小值,比较得,（三）函数的最大值和最小值,例7,小学生接受新概念时接受能力函数为：,问t为何值时学生学习兴趣激增或减退？何时学习兴趣最大？,解：,由,得唯一驻点,可见第13分钟时小学生兴趣最大。,（三）函数的最大值和最小值,要用铁皮做一个容积为V的圆柱形牛奶筒，问底圆半径为何值时用料最省？,例8,解设奶筒表面积为S，半径为r，高为h，所以,业余数学家之王费马,费马(1601-1665)是一位对我们有教益的法国数学家，出身于皮革之家，求学期间没有留下值得传诵的奇闻轶事，30