第09单元(随机变量的数字特征1).ppt

第九单元,第三章随机变量的数字特征,分布函数能完整地描述r.v.的统计特性,但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道r.v.的某些特征.,例如：,考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.,与r.v.有关的某些数值，虽不能完整地描述r.v.但能清晰地描述r.v.在某些方面的重要特征,这些数字特征在理论和实践上都具有重要意义.,随机变量某一方面的概率特性都可用数字来描写,3.1数学期望,引例考察两个班的概率论与数理统计成绩,问：应如何判别甲、乙两个班的成绩的好坏，那个班的学习风气较好？,分析：可以用平均成绩判别甲、乙两个班的成绩的好坏，用成绩的稳定性判别学习风气的好坏。这样做合理吗？,平均成绩：,甲班：,乙班：,定义1设离散型r.v.X的分布列为,若,为X的数学期望（或均值），反之，称X的数学期望不存在。,则称,定义2设连续随机变量X的概率密度为,，若广义积分,则称,数学期望的本质加权平均它是一个数不再是随机变量,为X的数学期望，反之，称X的数学期望不存在,例1XB(n,p)（二项分布）,求E(X).,解,特例若YB(1,p),则E(Y)=p,解,例2已知（泊松分布）,求E(X).,解,例3已知（均匀分布）,求E(X).,解,例4已知（指数分布）,求E(X).,补充：函数,常用分布的数学期望,区间(a,b)上的均匀分布,e(),N(,2),注意不是所有的随机变量都有数学期望,例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为,它的数学期望不存在!,定理1设r.v.X的概率函数为p(x)，则r.v.Y=g(X)的数学期望为：,假设以上期望存在,定理2设二维r.v.(X,Y)的联合概率函数为p(x,y)，则r.v.Z=g(X,Y)的数学期望为：,假设以上期望存在,解,例5已知r.v.X的密度函数为,且E(2X)=1.5，求常数k及a.,由（1）（2）解得a=2，k=3,市场上对某种产品每年需求量为X吨，XU2000,4000,每出售一吨可赚3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品多少吨,才能使平均利润最大？,解,设每年生产y吨的利润为Y,显然，2000y4000,例6,显然，,故y=3500时,E(Y)最大,E(Y)=8250万元,(1)E(C)=C,(2)E(aX)=aE(X),(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y),(4)当X,Y独立时，E(XY)=E(X)E(Y).,性质4的逆命题不成立，即,若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定独立,注：,但,反例2,但,例7设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,求E(X),E(Y),E(X+Y),E(XY),E(Y/X),解,由数学期望性质,数学期望的应用,据统计65岁的人在10年内正常死亡,解,应用1,的概率为0.98,因事故死亡概率为0.02.保险,公司开办老人事故死亡保险,参加者需交纳,保险费100元.若10年内因事故死亡公司赔偿,a元,应如何定a,才能使公司可期望获益;,若有1000人投保,公司期望总获益多少?,设Xi表示公司从第i个投保者身上所得,的收益,i=11000.则,Xi,由题设,公司每笔赔偿小于5000元,能使公司获益.,公司期望总收益为,若公司每笔赔偿3000元,能使公司期望总获益40000元.,为普查某种疾病,n个人需验血.验血方案有如下两种：分别化验每个人的血,共需化验n次；分组化验,k个人的血混在一起化验,若结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则对k个人的血逐个化验,找出有病者,此时k个人的血需化验k+1次.设每人血液化验呈阳性的概率为p,且每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪一方案较经济.,验血方案的选择,应用2,解只须计算方案(2)所需化验次数的期望.为简单计,不妨设n是k的倍数，共分成n/k组.,设第i组需化验的次数为Xi,则,例如,当时,选择方案(2)较经济.,设由自动线加工的某种零件的内径X(mm)N(,1).已知销售每个零件的利润T(元)与销售零件的内径X有如下的关系：,问平均直径为何值时,销售一个零件的平均利润最大？,应用3,解,即,可以验证，,零件的平均利润最大.,柯西,Augustin-LouisCauchy,1789-1857,法国数学家,柯西简介,法国数学家27岁当选法国科学院院士,早在1811年就解决了拉格朗日向他提出的一个问题：凸多面体的角是否被它的面所决定？柯西作了肯定的回答.这一直是几何学中一个精彩的结果.,在概率论中他给出了有名的柯西分布.然而他一生中最重要的数学贡献在另外三个领域：微积分学、复变函数和微分方程.,柯西在代数学、几何学、误差理论以及天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色的工作，特别是他弄清了弹性理论的基本数学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础.,在这三个领域中我们常常能见到以柯西名字命名的定理、公式和方程等:,微积分在几何上的应用1826年,柯西的著作大多是急就章，但都朴实无华，有思想,有创见.他所发现和创立的定理和公式,往往是一些最简单、最基本的事实.因而，他的数学成就影响广泛，意义深远.,柯西是一位多产的数学家，一生共发表论文800余篇，著书7本.柯西全集共有27卷，其中最重要的为：,分析教程1821年,无穷小分析教程概论1823年,若X服从柯西(Cauchy)分布,其p.d.f.为,简记XC()分布,引例甲、乙两射手各打了6发子弹,每发子弹击中的环数分别为：,甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,问哪一个射手的技术较好？,解首先比较平均环数,3.2方差,再比较稳定程度,甲：,乙：,乙比甲技术稳定，故乙技术较好.,进一步比较平均偏离平均值的程度,甲,乙,EX-E(X)2,若EX-E(X)2存在,则称其为随机,定义1,即D(X)=EX-E(X)2,变量X的方差,记为D(X)或Var(X),D(X)描述随机变量X的取值偏离平均值的平均偏离程度,数,若X为离散型随机变量，分布列为,若X为连续型随机变量，概率密度为f(x),计算方差的常用公式：,(1)D(C)=0,(2)D(aX)=a2D(X),D(aX+b)=a2D(X),(3),特别地，若X,Y相互独立，则,则,若X,Y相互独立,*(4)对任意常数C,D(X)E(XC)2,当且仅当C=E(X)时等号成立,*(5)D(X)=0,P(X=E(X)=1,称为X依概率1等于常数E(X),性质1的证明：,性质2的证明：,性质3的证明：,当X,Y相互独立时，,注意到，,性质4的证明：,当C=E(X)时，显然等号成立；,当CE(X)时，,例1设XP(),求D(X).,解,3.方差的计算,例2设XB(n,p)，求D(X).,解一仿照上例求D(X).,故,例2设XB(n,p)，求D(X).,解二引入随机变量,独立同服从B(1,p)分布，,则,易得,例3设XU(a,b),求D(X),解,于是,例4设Xe(l),求D(X),解,于是,常见随机变量的方差(P.135),区间(a,b)上的均匀分布,e(),N(,2),例5已知r.v.X的分布列为,解,由,且E(X)=0.2，D(X)=0.36，求常数a,b,c.,解得a=0.1，b=0.6，c=0.3,例6设r.v.X满足E(X)=D(X)=l，已知E(X-1)(X-2)=1，求常数l.,解,又,可得,于是,解得,标准化随机变量,设随机变量X的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称,为