抢渡长江问题的数学建模和求解

第 2 o 卷 第 7 期 工 程 数 学 学 报 。 年 月 J OURNAL OF E NGI NE E RI NG MATHEMATI C S Vo 1 2 O No 7 De C 2 0 0 3 文章编号 ： 1 0 0 5 3 0 8 5 ( 2 0 0 3 ) 0 7 0 1 2 3 0 8 抢渡长江 问 题的数学建模和求解 叶其孝 ( 北京理工大学数学系， 北京 1 0 0 0 8 1 ) 摘 要： 本文讲述了” 抢渡长江” 问题的命题过程， 评述了优秀论文， 并就鼓励大专、 高职和高专学生参加 大学生数学建模竞赛、 师资培养以及竞赛活动和数学教学改革之间的关联提出了看法和建议。附 录中还给出了本问题的一种解答。 关键词： 数学建模竞赛； 抢渡长江； 数学教学改革 分类号 ： A MS ( 2 0 0 0 ) 9 7 U 6 0 ； 9 7 C 7 0 中图分类号： 0 2 4 2 1 文献标识码 ： A 1 命题 本题是2 0 0 2 年由华中农业大学的殷建肃教授向全国组委会提供的赛题题目， 他给出 了和本文附录一致的数学模型， 即在江水流速给定条件下看能否控制参赛者的速度以最短 的时间 T沿游泳路线 ( z( f ) ， ( f ) ) 从起点游到终点， 实际上， 这是一个最优控制问题。 全国组委会认为这是一个很好的问题，当时由于种种原因没有录用。 今年殷建肃教授又向 全国组委会提供了2 0 0 1和2 0 0 2年当地的有关新闻报道以及有关长江的水文资料等。全国 组委会命题小组进行了仔细的研究， 部分成员在各种情况下进行了具体的求解， 觉得这个 问题可以作为今年大专组的赛题。同时又考虑到今年会有更多的高职高专院校参赛， 为使 更多的同学能够较好地参与竞赛( 实际上也确实如此， 今年大专组共有 1 1 9 8队参赛， 其中 约有 5 8 做的是本题) ， 命题小组把赛题分为四个层次( 即四个问题， 第四个问题是为了在 一 定程度上模拟江水的实际流速分布) ， 根据实际情况对数据进行了一些处理， 特别是作 了一个重要的提示 ，即启发( 或暗示) 同学想到首先考虑 为常角度( 不随时间变化) 的情形。 同时还作了一个使问题简单化的假设，即给定了参赛者游泳的速度为 “=1 5 s 。 2 阅卷感想 笔者参加了一个赛区和全国的阅卷， 也大体上了解了部分赛区的阅卷情况， 事实证明 全国组委会命题小组把本题分为四个层次的命题是符合大多数大专组参赛队的实际情况 的。绝大多数参赛队能通过速度分解、 固定游泳角度来建立数学模型， 并完成第一、 二个问 题的求解以及第三个问题的部分求解。论文给阅卷专家留下了很深的印象。同学们能够通 过求解第一、 二个问题敏锐地观察到如果流速为分段常数， 那么在不同的段内游泳路径一 维普资讯 1 2 4 工 程 数 学 学 报 第2 0 卷 = r ， 。 、 ( 1 )X f=t i ( 一 s in ( ) S t i 0 l 一丌 2= 三 三0 丌 2 3 一些建议 即使对专科或高职高专院校的同学来说， 他们的数学素质的提高， 特别是对数学建模 的思想和方法的掌握， 对于提高其竞争和创新能力来说也是至关重要的。因此， 把数学建 维普资讯 第 7 期 抢渡长江” 问题的数学建模和求解 1 2 5 模和数学实验的思想和方法有机地融人其主干数学课程的教学中去， 可能是这些院校的数 学教育改革的重要而迫切的任务。同时 ， 这些院校的数学老师多数对数学建模和数学实验 的了解不多 ， 实践更少。从某种意义上说数学教学改革 的困难会更大。但是许多专科或高 职高专院校的同学对于数学建模的兴趣很大， 他们很希望通过这样的挑战性的竞赛来提高 自己应用数学解决实践问题的能力 ， 进一步提高学习数学的兴趣和要求 ， 从而真正提高自 己的竞争和创新能力。因此我认为专科或高职高专院校在当前应该尽力满足对参加数学建 模竞赛有兴趣的同学的要求， 指派优秀的青年教师来指导同学参赛。这不仅仅是参赛的问 题， 也是为进一步开展深人的数学教育改革作好师资准备的问题。为此做到“ 以学生为中 心 ， 教师是关键 ， 领导是保证” 是非常重要的。 无论是教师和领导都要充满爱心地指导同学 参赛， 指导教师在某种意义下是动力， 因而也是关键。领导则要在业务和时间上真正帮助 教师提高， 可以采取派出去进修和请进来讲学的办法提高教师在数学建模方面的知识和实 践 ， 这种领导保证的作用常常是决定性的。 很多本科院校已经把数学建模竞赛有机地纳人了教学计划， 而且正在考虑怎样让全体 同学受益的问题。从数学建模竞赛本身来看， 数学建模竞赛的全过程大致可以分为三个阶 段： 赛前准备， 竞赛三天参赛学生的拼搏和赛后的继续这三个阶段。赛后的继续这个阶段 急需加强， 不仅因为参赛同学三天中的想法不可能完全实现， 赛后可以继续完成。 更重要的 是竞赛已经过去 ， 这时师生完全可以一起来讨论、 深人钻研 ， 既帮助了同学的进一步提高， 通过师生间的教学相长也使教师得到提高。 现在看来对于专科或高职高专院校做好这方面 的工作尤为重要，既确保了师资队伍的提高， 也为深人教改作好准备，也确保一届又一届 同学的持续参赛的可能性。既培养了学生， 更培养了教师，也提高了学校的整体水平，这 样的好事何乐而不为呢? 附录： C U MC M 一2 0 0 3 D题( 抢渡长江问题) 的一种解答 r 图 1 L 假设竞渡是在平面区域进行，又设参赛者可看 质点沿游泳路线 ( ( t ) ，Y ( t ) )以速度 ( t )= C O S 口 ( t ) ，“s i n口 ( t ) ) 前进 ，“ ? 为给定常数， 的 义见图 1 。 这样的抽象和近似是合理的。 要求参赛者在流速给定( 或为常数或为Y的 数)的情况下控制 ? ? 能找到适当的路线 以最短 时间 丁从起点游 到终点。 这 是一个最优控制问 ，即求使得满足下面的约束条件 1 号 ：“ c o s 口 ( ) + ， ( o ) = o ， ( 丁 ) = L 1 ， j = “ s in 口 ( ) ， ( 0 ) = o ， ( 丁 ) = H 1 设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化， 即令? ? ，而流速，其中? “和 为常 数， ? ? 为游泳学和 轴正向间的夹角。于是游泳者的路线 ( ( t ) ， ( t ) )满足( 参看图1 ) 维普资讯 1 2 6 工 程 数 学 学 报 第 2 O卷 l 筹= “ c 。 s + ， 二 ( 0 ) = 0 ， ( 丁 ) = L l 窘= “ sin 8 ( ) ， )( 0 ) = 0 ，)( 丁 ) = H 丁是到达终点的时刻。 令 z=c o s 0 ， 如果 ( 1 )有解， 则 f ( t )=( “ 2+ ) t ， L=T ( “ 2 + ) 1 4 3 z s 。 假设 1 9 3 4年竞渡的直线距离为 5 0 0 0” ， 垂直距离仍为 H = 1 1 6 0” ， 则 L =4 8 6 4 ” ，仍设 =1 8 9 ， 则游泳者的速度只要满足 “0 4 4” s ， 就可以选到合适的角 度游到终点( 即使游 5 0 0 0米， 很多人也可以做到) 。 D 图 2 为确定使总的时间最小的路线 A B C D， 由 ( 1 0 ) 在什么 L值取极小的问题： T = To+2T1 + 3 如图 2所示， H 分为 3 段 H =H + H2+H3 ， Hl= H3= 2 0 0” ， H2= 7 6 0” ， 7 d 1 =V 3=1 4 7 ” z s ， ，=2 1 1 ” s ， 游泳者的 速度仍为常数 “= 1 5” s ， 有 l 3 “， 相应的游泳方向 l ， 2 为常数。 路线为 A B C D， A B平行 C DL分为， L = Ll+ L2+ L3 对称性知， 据( 8 ) ， 对于应满足 r L 2 H 2 ( 7 5 2 ” )( 1 2 ) 因为( 1 0 )以及， 故对无要求。 对于确定的， 仍 可用第 1 节的公式计算游泳的方 向和时间。 可知所需要最短的总时间为使下面的函数 2 1 l L+ 啊( 1 1 ) 。 一 ( 1 5 ) 。 ) ( 7 6 0 ) 4 7 5 0 0 L 2 5 0 0 L 2 ) 4 7 ) 5( 2 0 0 ) ( 1 3 ) ， ， 1 ( 一 ) ( 1 5 ) ( 一 一( ( 1 一( 1 ) ) 这是一个单变量函数求极小的问题。利用诸如 Ma t h e ma t i c a 等数学软件可求得 L 8 0 6 ， ， 由此算得 丁 9 0 4 0 2 4 1 5分 4秒。可以证明 时为最优。 游泳路线 图( 略) 。 维普资讯 1 2 8 工 程 数 学 学 报 第 2 0卷 j “ c。 s + 孝 ， z ( 0 ) = ( T 1 ) = L 1 窘 ： _ H 1 4 其中 ( =2 2 8 z s ) 为常数， 首先， 我们仍设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化 ， 及 z=c o s 0 ， 若( 1 )有解 ， 则 l z (f) = 等 2 + “z ，L z (丁 ) (15) I ( f ) =“ f ， H 1 ： ( T 1 ) 是一条抛物线( 图略) 。类似于 1 中的作法得到， 给定 L， H，“， 的值， 满足二次方程 4 ( H +L ； ) “ z + 4 H U U Z + H 一 4 L U 2 =0 ( 1 6 ) 取绝对值较小的根 为 Hi +L 2 ( H +L ) “ 有实根的条件为 一 2 H +L 将( 1 4 ) 的 z代人( 1 2 ) 得 把( 1 6 ) 代人( 1 8 ) 得 T1= 2 L 1 所以总的时间为( L = + 4 u ( H + L ) 一 H + ( 4 u - 二 研 ( 1 0 0 0一L 0 ) 2=5 0 0一L 0 2 ， H0=7 6 0 ， H1 =2 0 0 ) H +L j L 0 + “ L 5 一 ( 一U 2 ) H j 4 ( H； +L ) 2 L 1 4 zz ( H + L ) 一 H ； + ( 4 2 2 + 研 研 ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) L1= ( 1 0 0 0一 Lo ) 2 利用数学软件求得当L 0=9 2 2 9 2 4 7I I ， L 1=3 8 5 3 8 z H e lm时间最少 T 8 9 2 4 7 8 s 1 4 分 5 2 秒。 T 0=5 5 6 9 7 2 s ， T 1 = 1 6 7 7 5 3 s 0 1 1 2 7 4 ， 0 0 1 1 4 5。 游泳路线图( 略) 。 容易想到流速随 变化时角度始终等于常数( 游泳角度不变) 不一定能使到达终点的 时间最短。所以， 我们可以先把 2 ， 2 0 0 等分为 一 1， ， Y i =i ll1 n ， =1 ， 7 ， H1 =2 0 0 2 ， H = =H1 n 。 设在 一 1 ， 上游 过的 z方向的距离为L ， i= 1 ， ， ， 游泳角度为 0 ， = C O S 0 ， i= 1 ， ， 。 于是 维普资讯 第 7 期 ” 抢渡长江”问题的数学建模和求解 1 2 9 ( y ) = v - j y ，0 Y h ， 2 n )= v ， y ，( i 一1 ) h y i h ， i=1 ， ， n n t J7J ( y )=n h， ( n 为符号简单计 ，以下仍记 z = ， 1 ) h y n h 因此在 y 一 1 ， y 上有 窘= “ + ) ( ti- 1 ) L J ， ) L J l窘= “ y ( ti- 1) = ( 卜1 ) h h 若 令 一 f f 1 ， x ( f ) ： ( f ) 一 i- i L J ，y( f )：y ( f ) 一( 一1 ) h， 则有 = 1 f d X I d r 1 d Y l d r ( 2 2 ) ( 2 3 ) =z z + ( Y ( t ) +( i 一1 ) h )x( o ) =0 ， x( ) = L ， = 一f 一 1 n t ( 2 4 ) ： _ 二 _ ， y ( 0 )=0 ， y ( )=h X r X T 厂_ d Y 一 二 兰 ： n h dr n h r “ 1 一z n h r j m = l y ( ) ： h = L = ( 2nu L 、 = 两边平方可求得 。 ( i 一1 ) +“ 十 与 + + ( + ( 2 5 ) ) ( ) ( 2 6 ) u、 ， 1一 z ) ( ) “ 1 一 h+2 ( r M z+ ( i 一1 ) h ) 一h ( 2 i 一1 ) +L h ( 2 一1 ) 2 ( h +L ； ) n “ 为实数 ， 所以要求 4 ( h +L ) n “ h ( 2 i 一1 ) 如果 H ， L ， 给定， 则 ： ，QH ： h r = f 。 2 r H +L j ( 2 7 ) ( 2 8 ) 一 M 维普资讯 1 3 0 工 程 数 学 学 报 第2 0 卷 给 出了 “必须 满足 的条件 。如果 H ， “， t 给定 ， 则 L H ( 一 i ) ( ) 1 = H (2 i - 1 ) v ) 2 1 L ， 必须满足的条件。 代人( 2 6 ) 可得 T，= 2 ( ! +L ； ) ( 2 9 ) ( 2 n u ) 一( 2 i 一 1 ) V 2 ) ( h ! +L ) 一 2 ( 2 i 一1 ) ： +2 ( 2 i 一 1 ) 儿 4 ( h +h 2 ) “ 一 h ( 2 一 1 ) 。 口 问 题化 为 求丁 ( L 0 ， L ， ， L ， ) =T 0 + 的 极 小 值的 问 题。 f U 如果 7 l：2 ， 则 h=1 0 0 ， H0=7 6 0 ， 1 0 0 0=L 0 +L1 +L2 。 设在 2 0 0 ， 9 6 0 中游过 的距离为 L 0 ， 则可以从 L 1 三 三 = 4 4 4 2 1 0 7 2 ， L 2 1 1 9 9 6 1 0 9 5 3 。 求得 L14 3 7 4 z ， L， 7 6 9 4 9” ， Ln 9 3 3 5 8 2， ， z L1+ L 2十 L 3= 1 0 0 0竹 T ： 2 7 、 I+2 T2+ T0= 8 8 4 6 9 8 T1= 9 2 6 7 6 5， 1 、 2= 7 4 8 4 9 5 ， T0= 5 4 9 6 4 8 5 1 1 3 4 ， 2 1 1 7 ： ， 0 o 1 1 3 。 L 4 3 7 4 ” 意即先从武昌汉阳门的正对岸处往上游 4 3 7 4 ” ， 再往下游。 游泳路线图( 略) 。 可以令 = 3 ， 4 ， 继续做下去。， 充分大时即近似得到L和 随 Y变化的规律。 Mo d e l i n g a n d Ana l y s i s Cr o s s i n g t h e o f t h e P r o b l e m ” S p e e d i l y Ya n g t z e Ri v e r ” Y E Qi x i a o B e ij i n g I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y ， B e i j i n g 1 0 0 0 8 1 ) Ab s t r a c t ：I n t h is p a p e r ，s o u r c e d e s i g n a n d f o r n ml a t i o n o f t h e c o n t e s t p r o b l e m S p e e d i l y Cr o s s i n g t h e Ya n g t z e Ri v e r ”a r e r e v e a l e dRe v i e ws f o r o u t s t a n d i