01答案04春季班02周帅二轮01

一一. 典型例题典型例题 1设a ，b 是不共线的两个非零向量，已知2ABapb ， 1 2 BCab ，若三点A，B， C共线，则p的值为() A2B4C2D4 【考点】平行向量（共线） 【分析】根据A，B，C三点共线即可得出,AB BC 共线，且知0BC ，从而得出存在实数 ，使得ABBC ，从而可以得出 1 2 2 p ，解出p即可 【解答】解：三点A，B，C共线， AB 与BC 共线， 存在，使ABBC ， 1 2 2 apbab ，且, a b 不共线， 根据平面向量基本定理得， 1 2 2 p ， 解得4p 故选：D 2平面给定三个向量(3,2),( 1,2),(4,1)abc （1）若abc ，求的值； （2）若向量akb 与向量2bc 共线，求实数k的值 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 （1）利用向量的数乘运算及向量相等的条件求解； （2）利用向量的数乘与加减运算及向量共线的坐标运算求解 【解答】解： （1）(3,2),( 1,2),(4,1)abc ， ( 1,2)(4,1)(4,2)bc ， 由abc ，得 43 22 ，解得 5 9 ， 8 9 ， 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 13 9 ； （2）(3akb ，2)(4k，1)(43k，2)k ， 2( 2bc ，4)(4，1)( 6 ，3)， 向量akb 与向量2bc 共线， 3(43)6(2)0kk，即 7 6 k 3已知| 4,| 3,(23 )(2)43ababab （1）求a 与b 的夹角； （2）求|ab ； （3）若()()abab ，求实数的值 【考点】数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系 【分析】 （1）由题意，结合向量数量积的性质可求cos，进而可求； （2）由向量数量积的性质可知， 222 |()2ababaa bb ，代入即可求解； （3）由()()abab ，结合向量数量积的性质展开后代入可求 【解答】解： （1）由题意得， 22 43483aa bb ， | 4a ，| 3b ， 64843cos2743， 1 2 cos， 0， 1 3 ； （2） 222 |()237ababaa bb ； （3） ()()abab ， 22 () ()(1)0ababaa bb ， 166(1)90， 22 15 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 4若 sincos 4 sin5cos ，则tan等于() A 1 7 B 1 3 C3D7 【考点】同角三角函数间的基本关系 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化简即可求解 【解答】解： sincostan1 4 sin5costan5 ， 解得：tan7 故选：D 5已知(0,) 2 ，(, ) 2 ， 1 cos 3 ， 7 sin() 9 （1）求sin的值； （2）求tan() 2 的值 【考点】两角和与差的三角函数 【分析】 （1）由已知求得sin，cos()的值，再由sinsin()，展开两角差 的正弦求解； （2）由（1）求得tan，再求出tan 2 的值，再由两角和的正切求解 【解答】解： （1）(, ) 2 ， 1 cos 3 ， 22 12 2 sin11() 33 cos ， 又(0,) 2 ，( 2 ， 3 ) 2 ， 从而 22 74 2 cos()1()1( ) 99 sin sinsin()sin()coscos()sin 714 22 21 ()() 93933 ； （2）由（1）得， 1 sin 3 ，(0,) 2 ，故 22 12 2 cos11( ) 33 sin sin2 tan cos4 222 22 222 1 1 222 cos 223 1 222 cossintan cossin cossintan ，解得 2 2 2 tan ， (, ) 2 ，( 24 ，) 2 ，则tan2 2 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 故 2 tantan2 5 2 24 tan() 1 22 1tantan1 22 6已知角的终边过点(1,2) （1）求 2sin()cos() cos()sin 的值； （2）若tan()1 ，求tan2的值 【考点】二倍角的三角函数；运用诱导公式化简求值 【分析】 （1）利用任意角的三角函数定义求出tan，利用诱导公式，同角三角函数基本关 系式化简所求即可得解 （2）利用两角和的正切函数公式可求tan，进而根据二倍角的正切函数公式即可求解 【解答】解：由角的终边过点(1,2)P，可得tan2， （1） 2sin()cos()2sincos2tan1221 3 cos()sincossintan121 （2） tantan2tan tan()1 1tantan12tan ， 解得：tan3， 22 2tan233 tan2 1134tan 7已知函数 2 ( )(sincos )f xxx，xR （1）求() 4 f 的值； （2）求函数( )f x的值域 【考点】三角函数的最值 【分析】 （1）化简函数( )f x，再求() 4 f 的值； （2）根据正弦函数的有界性，即可求出函数( )f x的值域 【解答】解： （1）函数 2 ( )(sincos )f xxx 22 sin2sin coscosxxxx 1sin2x ， ()1sin(2)1sin1 12 442 f ； （2）xR时，1 sin21x ， 0 1sin22x， 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 函数( )f x的值域为0，2 8已知函数 3 ( )2cos sin() 32 f xxx （）求( )f x的最小正周期； （）若直线x为函数()f xa图象的一条对称轴，求实数a的值 【考点】正弦函数的奇偶性和对称性 【分析】( ) I利用和角正弦公式及二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合周期公式 2 T 即可求解； ()II由( ) I可求()f xa，然后结合对称轴处函数取得最值可求a 【解答】解： 3 ( )( )2cos sin() 32 If xxx 133 2cos ( sincos ) 222 xxx 2 3 sin cos3 2 xxcos x 13 sin2cos2 22 xx 1 sin(2) 3 x T， ()II由( ) I可知 1 ()sin(22) 3 f xaxa， 直线x为函数()f xa图象的一条对称轴， ()fa为()f xa的最大或最新值， 即 11 ()sin(22)sin(2)1 33 faa ， 11 2 32 ak，kz 1 212 ak ，kz 9 在锐角ABC中， 角A，B，C对应的边分别是a，b，c， 且 3 cos2sin()10 2 AA （1）求角A的大小； （2）若ABC的面积3 3S ，3b 求sinC的值 【考点】余弦定理 【分析】 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos A的值，结合A的范围， 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 可求A的值 （2）利用三角形的面积公式可求bc的值，从而解得c的值，由余弦定理可求a的值，由正 弦定理可求sinC的值 【解答】解： （1） 3 cos2sin()10 2 AA cos2cos10AA ，可得： 2 2coscos0AA，解得： 1 cos 2 A ，或cos0A ， ABC为锐角三角形， 1 cos 2 A， 可得： 3 A （2） 113 sin3 3 222 ABC SbcAbc ，可得：12bc ， 又3b ，可得：4c ， 在ABC中，由余弦定理可知， 222 1 2cos169234251213 2 abcbcA ， 13a， 在ABC中，由正弦定理可知： sinsin ac AC ，可得： 3 4 sin2 39 2 sin 1313 cA C a 10已知向量(sin ,1)ax ，(1, )bk ，( )f xa b （1）若存在实数x使得ab 与ab 垂直，求实数k的取值范围； （2）若 1 ( ) 3 fk且(0, )，求tan 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量数量积的性质及其运算 【分析】 （1）根据条件可得()()0ab ab ，即 22 0ab ，列方程得出k关于x的关系， 根据正弦函数的性质得出k的范围； （2）根据条件可得 1 sin 3 ，再根据的范围求出cos，从而可得tan的值 【解答】解： （1） ab 与ab 垂直，()()0ab ab ，即 22 0ab ， 22 sin11xk 有解，又 2 0 sin1x， 2 01k， 故11k 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d （2）( )sinf xxk，故( )sinfk， 若 1 ( ) 3 fk，则 1 sin 3 ， (0, )， 2 2 cos 3 或 2 2 cos 3 2 tan 4 或 2 tan 4 11已知(2sin , 3cos )axx ，(cos , 2cos )bxx ，函数( )3f xa b ， （1）求函数( )yf x的单调增区间和对称轴方程； （2）若( ) 1f x ，求x的取值范围 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【分析】 （1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后通过正 弦函数的单调区间与对称轴方程求解即可 （2）化简不等式，利用正弦线求解即可 【解答】解： （1）(2sin , 3cos )axx ，(cos , 2cos )bxx ，函数( )3f xa b ， 所以 2 ( )2sin cos2 3cos3sin23cos2f xxxxxx 2sin(2) 3 x 由222 232 kxk ，kZ， 单调增区间为 5 ,() 1212 kkkz ， 对称轴方程为 5 , 122 k xkz （2）由( ) 1f x 得 1 sin(2) 32 x ， 得 5 222, 636 kxkkz ， 所以x的取值范围为 7 ,() 412 kkkz 12已知向量(cossin ,sin )axxx ，(cossin ,2cos )bxxx ，设( )f xa b ，xR （1）求函数( )f x的最小正周期及单调递增区间； （2）当时0 x， 2 ，求函数( )f x的最大值及最小值 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【分析】 （1） 利用平面向量的数量积的应用和三角函数关系式的变换的应用求出正弦型函数 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 的关系式，进一步利用整体思想的应用求出函数的最小正周期和函数的单调区间 （2）利用函数的定义域的应用求出函数的值域 【解答】解： （1）向量(cossin ,sin )axxx ，(cossin ,2cos )bxxx ， 所以( )(cossin )(cossin )2sin coscos2sin22sin(2) 4 f xa bxxxxxxxxx ， 所以函数的最小正周期为 2 2 T ， 令222() 242 kxkkZ ， 整理得 3 () 88 kx kkZ ， 所以函数的单调递增区间为 3 ,() 88 kkkZ （2）由于0 x， 2 ，所以 5 2, 444 x ， 当 5 2 44 x 时，即 2 x 时，函数的最小值为 2 2 ()1 2 ， 当2 42 x 时，即 8 x 时，函数的最大值为2 13已知向量(sin,sin(),(cos,sin() 224224 xxxx ab ，函数( )f xa b （1）求函数( )f x的单调递增区间； （2）若 6 ( ) 4 f，求sin(2) 6 的值 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【分析】 （1）利用数量积得到( )f x，通过三角变换化简，利用三角函数的单调区间列不等 式求解即可； （2）把所给条件化为三角函数方程，求得角，代入所求正弦值结合周期性可解 【解答】解： （1）( )f xa b sincossin()sin() 222424 xxxx 11 sincos 22 xx 2 sin() 24 x ， 由22 242 kxk ，kZ， 得 3 22 44 kxk ，kZ， 故( )f x的增区间为 3 2,2 44 kk ，kZ 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d （2）由 26 ( )sin() 244 f ， 得 3 sin() 42 ， 2 43 k 或 2 2 43 k ，kZ， 7 2 12 k ，或 11 2 12 k ，kZ， 7 sin(2)sin(4) 666 k 43 sin 32 ， 或 11 sin(2)sin(4) 666 k sin20， 故sin(2) 6 的值为 3 2 或 0 14己知向量 2 (2 3sin ,2cos),(2cos , 2)axx bx ，函数( )f xa bm，且()7 6 f （）求m的值； （）当0, 4 x 时，不等式( )215cf xc恒成立，求实数c的取值范围 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【分析】 （）把向量条件转化为三角方程，容易求解； （） 利用x的范围结合正弦函数得到( )f x的范围， 根据不等式恒成立的条件得到关于c的 不等式组，即可得解 【解答】解： （）由题设可得 ( )f xa bm 2 4 3sin cos4cosxxxm 31 4(sin2cos2 )2 22 xxm 4sin(2)2 6 xm ， ()7 6 f ， 4sin27 6 m ， 得7m ； 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d （）由（）得( )4sin(2)5 6 f xx ， 0 4 x ， 2 663 x ， 13 sin(2) 262 x ， 得3( ) 2 35f x， 由不等式( )215cf xc恒成立得 3 2152 35 c c ， 解得353c， 故实数c的取值范围为( 35,3) 二二. 巩固练习巩固练习 1已知向量(2,)am ，( 1,)bm ，若(2)abb ，则| (a ) A2B5C2 2D3 【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，列方程求出 2 m，从而求得模长|a 【解答】解：向量(2,)am ，( 1,)bm ， 则2(3,3 )abm ， 若(2)abb ，则(2)0ab b ， 即3 ( 1)30m m ， 解得 2 1m ， 所以 222 25am ， 所以|5a 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 故选：B 2已知 sin3cos 2 2cossin ，则 2 tan3tan等于() A2B0C 8 9 D 2 3 【考点】同角三角函数间的基本关系 【分析】 直接利用三角函数关系式的恒等变换和同角三角函数关系式的变换的应用求出结果 【解答】解： sin3costan3 2 2cossin2tan ，解得 1 tan 3 ，所以 22 118 tan3tan( )3 339 故选：C 3已知菱形ABCD的边长为 2，M为BD上靠近D的三等分点，且线段 2 7 3 AM （1）求DAB的值； （2）点P为对角线BD上的任意一点，求()PA PCPD 的最小值 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【分析】 （1）由题可得coscosABDADB，利用余弦定理，及2BMDM可以求出 2 3 DM ，故32DBDMABAD，所以ABD为等边三角形，则60DAB； （2）建立直角坐标系，用坐标向量化()PA PCPD 为 2 1137 7() 77 m ，再根据二次函数最 值求出最小值 【解答】解： （1）因为ABAD，所以coscosABDADB，即 222222 2 72 7 2()2() 33 2222 DMBM DMBM ， 又由题知2BMDM，代入可求的 2 3 DM ，故32DBDMABAD，所以ABD为 等边三角形，则60DAB； （2）以A为原点，AB所在直线为x轴建立如图所示坐标系： 则有(0,0)A，(2,0)B，(3, 3)C，(1, 3)D，故线段:32 3(12)DB yxx ， 设( ,32 3)P mm， 则 有(, 32 3)PAmm ，(3, 33)PCmm ， (1, 33)PDmm ， 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 所以 22 1137 ()(, 32 3)(42 ,2 32 3)722127() 77 PA PCPDmmmmmmm ， 因为12m ，所以当 11 7 m 时，取最小值 37 7 4已知两个不共线的向量, a b 满足(1, 3)a ，(cos ,sin )b ，R （1）若/ /ab ，求角的值； （2）若2ab 与7ab 垂直，求|ab 的值； （3）当0, 2 时，若存在两个不同的使得|3 | |abma 成立，求正数m的取值范围 【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 （1）根据向量的共线定理列方程得出tan3，从而得出的值； （2）根据向量垂直得出a b ，计算 2 ()ab ，开方得出|ab 的值； （3） 两边平方得出 2 m关于的函数( )f， 判断( )f的单调性和最值， 根据根的个数得出 2 m 的范围，从而得出结论 【解答】解： （1）/ /ab ，sin3cos0，tan3， 3 k ，kZ （2）| 2a ，| 1b ， 若2ab 与7ab 垂直，则(2) (7 )0abab ， 即 22 27150aba b ，即87150a b ， 1a b 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 222 ()27abaa bb ， |7ab （3）由|3 | |abma 得 2 2 2 (3 )72 3377 (cos3sin )3sin() 42464 aba b m a ， 令 7 ( )3sin() 64 f ，0， 2 ， 则( )f在0， 3 上单调递增，在( 3 ， 2 上单调递减， ( )f的最大值为 7 ()3 34 f ， 存在两个不同的使得|3 | |abma 成立，且 37 (0) 24 f， 13 () 24 f ， 2 137 3 44 m ，又0m ， 1323 22 m 5已知函数( )2sin(2)1 4 f xx （1）求( )f x的最小正周期和单调递增区间； （2）求函数( )f x的对称轴与对称中心 【考点】三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性和对称性；正弦函数的单调性 【分析】 （1）根据三角函数的周期和单调性进行求解即可 （2）根据三角函数的对称性进行求解 【解答】解： （1）函数的 周期 2 2 T ， 由222 242 kxk ，kZ， 得 3 88 kx k ，kZ， 即函数的单调递增区间为 3 8 k ， 8 k ，kZ （2） 由2 42 xk ， 得 28 k x ，kZ， 即函数( )f x的对称轴为 28 k x ，kZ， 由2 4 xk ，得 28 k x ，kZ，即函数( )f x的对称中心为( 28 k ，1)，kZ 6已知 3 sin 5 ，(0,) 2 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d （1）求sin() 6 的值； （2）求tan2的值 【考点】两角和与差的三角函数 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式求得cos与tan的值 （1）直接展开两角差的正弦求sin() 6 的值； （2）利用二倍角的正切求tan2的值 【解答】解： 3 sin 5 ，(0,) 2 2 4 cos1 5 sin，可得 sin3 tan cos4 （1）sin()sincoscossin 666 143343 3 252510 ； （2） 2 3 2 2tan24 4 tan2 9 17 1 16 tan 7已知0 2 ，0 2 ， 4 sin 5 ， 5 cos() 13 （）求sin的值； （）求 2 sin2 sincos2 的值 【考点】二倍角的三角函数 【分析】 （）直接利用三角函数的定义和关系式的变换的应用求出结果 （）利用同角三角函数关系式的变换求出结果 【解答】解： （）已知0 2 ，0 2 ， 所以0 由于 4 sin 5 ， 5 cos() 13 整理得 3 cos 5 ， 12 sin() 13 所以 12 35 416 sinsin()sin()coscos()sin 13 513 565 （）由于 43 sin,cos 55 ， 所以 4 tan 3 所以 2222 sin22sincos8 2tan sincos2sincossin3 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d 8已知向量(2cos ,1),(cos , 3sin2 )axbxx ，函数( )f xa b （1）求函数( )f x的单调增区间； （2）当0, 6 x 时，求函数( )f x值域 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【分析】 （1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函 数的单调性求解函数的单调增区间即可 （2）通过x的范围求出相位的函数( )f x的取值范围，利用正弦函数的有界性求解函数的值 域即可 【解答】解： （1）向量(2cos ,1),(cos , 3sin2 )axbxx ， 函数 2 ( )2cos3sin2f xa bxx 3sin2cos212sin(2)1 6 xxx ， 由222,(), 262 kxkkZ 得,() 36 kx kkZ 函数( )f x的单调增区间；, 36 kk ，kZ （2）当0, 6 x 时，20 6 x ， 2 ， 所以sin(2)0 6 x ，1，可得2sin(2)11 6 x ，3 函数( )f x值域为：1，3 9 在锐角ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对边的边长， 且满足32 sin0abA （1）求角B的大小； （2）若5ac，且ac，7b ，求a和c的值 【考点】解三角形 【分析】 （1）通过正弦定理，然后求解B的大小 （2）利用余弦定理结合已知条件求解即可 【解答】解： （1）32 sin0abA，3sin2sinsin0ABA， sin0A ， 3 sin 2 B ， B为锐角， 3 B 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d （2）由（1）可知 3 B ，又7b ， 由余弦定理得： 222 2cos 3 bacac ， 整理得： 2 ()37acac， 5ac，6ac， 又ac，3a，2c 10已知 2 ( )2sin2sin cosf xxxx （1）求出( )f x的单调减区间； （2）若 4 x ，0，求( )f x的最小值，并写出( )f x取得最小值时x的值 【考点】三角函数的最值 【分析】 （1）化简函数( )f x，根据三角函数的单调性求出( )f x的单调减区间； （2） 根据x的取值范围， 求出( )f x的取值范围， 即可得出最小值， 以及取最小值时对应x的 值 【解答】解： （1）化简 2 ( )2sin2sin cosf xxxx 1cos2sin2xx 22 2(sin2cos2 )1 22 xx 2sin(2)1 4 x ， 令 3 222 242 kxk ，kZ； 解得 37 222 44 kxk ，kZ； 即 37 88 kxk ，kZ， ( )f x的单调减区间为 3 8 k ， 7 8 k ，kZ； （2）若 4 x ，0，则2 2 x ，0， 3 2 444 x ， 2 1 sin(2) 42 x ， 22sin(2)1 4 x ， 课程与纸质资料 q q 2272845198 微信 k o i 2020w i n d ( )f x的最小值为2； 此时2 42 x ，解得 8 x ； ( )f x取得最小值时x的值为 8 11已知函数 2 3 ( )3sincos 2 f xcos xxx （1）求函数( )f x的最小正周期T和函数( )f x的单调递增区间； （2）若函数( )f x的对称中心为 0 (x，0)，求 0 0 x ，2 的所有 0 x的和 【考点】三角函数的周期性；正弦函数的奇偶性和对称性 【分析】 （1）化简( )f x，根据正弦函数的单调性列不等式求出单调区间； （2）求出( )f x在0，2 的对称中心